趙俊鋒，王 飛，賈 有

（1.忻州師范學(xué)院專科部，山西 忻州 034000；2.長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

S5的子群

趙俊鋒1，王 飛2，賈 有1

（1.忻州師范學(xué)院?？撇?，山西 忻州 034000；2.長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

小階數(shù)對(duì)稱群在有限群論研究中具有重要的作用，但隨著n的增大，結(jié)構(gòu)也越復(fù)雜。文章利用傳遞與正規(guī)性計(jì)算出了S5的所有子群，并給出了嚴(yán)格的證明。

共軛類；n次對(duì)稱群；長(zhǎng)度

1 引言

對(duì)稱群在群論發(fā)展史上起著十分重要的作用，關(guān)于對(duì)稱群Sn子群的研究，文獻(xiàn)［1］研究了S4子群的個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)［2］研究了對(duì)稱群S4及其正規(guī)子群的若干性質(zhì)。但當(dāng)n>4時(shí)，對(duì)Sn的研究大部分都是借助于計(jì)算機(jī)編程來(lái)實(shí)現(xiàn)的。例如文獻(xiàn)［3］利用計(jì)算機(jī)給出了S5所有冪零子群和可解子群，文獻(xiàn)［4］［5］利用計(jì)算機(jī)研究了S5的基本性質(zhì)，本文經(jīng)過(guò)計(jì)算并通過(guò)嚴(yán)格的證明給出了S5的所有子群。

2 主要結(jié)果

定理 S5共有156個(gè)子群，可分為19個(gè)共軛類：

平凡子群有兩個(gè)共軛類：｛1｝，｛S5｝長(zhǎng)度都為1；

2階子群都同構(gòu)于C2，可分為2個(gè)共軛類，即：｛＜（12）＞g|g∈S5｝,長(zhǎng)度為 10；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為15；

3階子群都同構(gòu)C3，有1個(gè)共軛類，即：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 10；

4階子群有3個(gè)共軛類，即：｛＜（1234）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 15；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 15；

｛＜（12）（34），（13）（24）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 5；

其中＜（1234）＞≌C4，＜（12）（34）＞≌C2×C2，＜（12）（34），（12）（24）＞≌C2×C2

5階子群都同構(gòu)于C5，有1個(gè)共軛類，即：

｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 6；

6階子群有3個(gè)共軛類，即：

｛Sg｛1，2，3｝|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 10；

｛＜（12），（345）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 10；

｛＜（12），（34），（345）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 10；

其中 S｛1，2，3｝ ≌S3，＜（12），（345）>≌C6，

＜（12），（34），（345）>≌S3

8階子群都同構(gòu)于D8，有1個(gè)共軛類，即：

｛＜（12），（1423）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 15；

10階子群都同構(gòu)于D10，有1個(gè)共軛類，即：

｛＜（12345），（12），（35）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 6；

12階子群有兩個(gè)共軛類，即：｛Ag｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，長(zhǎng)度為5；

｛（S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝）｝，長(zhǎng)度為10；

其中 A｛1，2，3｝≌A4，S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝≌S2×S3

20階子群都同構(gòu)于＜x，y|y4=x5=1，xy=x2＞，有1個(gè)共軛類，｛＜（12345）（|2354）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 6；

24階子群都同構(gòu)于S4，有1個(gè)共軛類，即：

｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 5

60階子群有1個(gè)共軛類，即：｛A5｝，長(zhǎng)度為1.

證明 由（i1，i2，…，i）sσ=σ-（1i1，i2，…，i）sσ=（iσ1，iσ2，…，iσ）s，知S5中元素可分為7個(gè)共軛類，分別為：（｛1）｝；

因?yàn)镾5=120，由Largrange定理可知S5的子群的階可能為：

1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。

下面首先分別找 S5的 1，2，3，4，5，6，8，10，12，20，24，60，120階子群。最后證明S5中不存在15，30，40階的子群。除了｛1｝和S5這兩個(gè)平凡子群外，找其它子群的方法如下。

2階子群：

因?yàn)镾5中每個(gè)2階元生成一個(gè)2階子群，故S5的2階子群的個(gè)數(shù)等于S5中不同2階元的個(gè)數(shù)。即25個(gè)，可分為2個(gè)共軛類，即 ｛＜（12）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 10；

｛＜（12），（34）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 15.

3階子群：

因?yàn)镾5中每個(gè)3階元生成一個(gè)3階子群，由于每個(gè)3階元子群含兩個(gè)3階元且它們互為逆元，故S5的3階子群的個(gè)數(shù)等于S5中不同3階元的個(gè)數(shù)的一半，10個(gè)3階子群，1個(gè)共軛類，如下：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為=10.

4階子群：

設(shè)H為S5的任一4階子群，則H有不動(dòng)點(diǎn)。

事實(shí)上，假設(shè) H無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)，若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上傳遞，則 5||H|，即 5|4，矛盾。若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上不傳遞，則H≤S3×S2，此時(shí)H≌C2×C2必有不動(dòng)點(diǎn)。矛盾。

從而 S5的 4階子群為 S｛1， 2，3，4｝ ，S｛1， 2，3，5｝，S｛1， 2，4，5｝ ，S｛1， 3，4，5｝ ，S｛2， 3，4，5｝的所有4階子群，又因?yàn)榧喜煌?階子群一定不重復(fù)。

所以S5的4階子群共有35個(gè)，3個(gè)共軛類，如下：

5階子群：

因?yàn)镾5的每個(gè)5階元生成一個(gè)5階子群，又由于每個(gè)5階子群含4個(gè)5階元，且任兩個(gè)不同的5階子群的交為1，故S5的5階子群的個(gè)數(shù)為5階元個(gè)數(shù)的，即6個(gè)，1個(gè)共軛類：H5，1｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為=6.

6階子群：

以下分有不動(dòng)點(diǎn)和無(wú)不動(dòng)點(diǎn)兩種情況討論：

（1）有不動(dòng)點(diǎn)時(shí)：S4的子群可知，S5的所有6階子群為：｛Sg｛1，2，3｝|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 C35=10

（2）無(wú)不動(dòng)點(diǎn)時(shí)：則 6階子群在 ｛1，2，3，4，5｝上不傳遞。事實(shí)上，若在 ｛1，2，3，4，5｝上傳遞，則5|6矛盾。所以H≤S2×S3=（S｛a，b｝×S｛c，d，e｝）。

斷言H只能為循環(huán)群或S3.

事實(shí)上，若H有6階元，則H為循環(huán)群。否則，有Sylow定理知H中有唯一的3階子群K。設(shè)K=〈a〉，由于|H：K|=2，故K是H的正規(guī)子群。任取b∈HK，則o（b）=2。于是H=K∪Kb=｛1，a，ab，a2，a2b，b｝且bK=Kb由 此 得ba∈｛a， ab，a2b｝.簡(jiǎn)單驗(yàn)證易得，ba=a2b令 σ 是H到S3得映射，其中 a→（123），b→（12），易驗(yàn)證 σ 是 H到 S3的同構(gòu)映射，即H≌S3。

當(dāng)H交換，即H為循環(huán)群時(shí)有10種情形，1個(gè)共軛類。即：｛＜（12），（345）＞g|g∈S5｝長(zhǎng)度為 C25<（12），（345）>≌C6

當(dāng)H不交換時(shí)，有10種情形，1個(gè)共軛類；

｛＜（12）（34），（345）＞g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 10，<（12）（34），（345）>≌C3.

8階子群：

若H為S5的8階子群，則H在｛1234 ｝上有不動(dòng)點(diǎn)。

事實(shí)上，H在 ｛1，2，3，4，5｝上無(wú)不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，若H在｛1，2，3，4，5｝ 上傳遞，則有 5|8，矛盾。若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上不傳遞，則H≤S2×S3，進(jìn)而8|12，矛盾。由S4的8階子群可知S5的8階子群有15個(gè)，1個(gè)共軛類；

｛＜（12）（1423）＞g|g∈S5｝長(zhǎng)度為 15，且 <（12），（1423）>≌D8.

10階子群：

設(shè) H為 S5的 10階子群，α（abcde），α∈H，o（α）=5

有 Sylow定理知，n5|2，n5=1+5k，從而 n5=1，進(jìn)而＜α＞是H的正規(guī)子群，H≤Ns（5＜α＞），H中有4個(gè)5階元，5個(gè)2階元。由定理3.3知Ns（5＜α＞）中只有5個(gè)2階元，從而

H=｛＜（abcde）＞，（be）（cd），（ae）（bd），（ad）（k），（ac）（de），（ad）（ce）｝=＜（abcde），（be），（cd）＞≌D10

所以所有10階子群有一個(gè)共軛類為：

｛＜（12345），（12）（35）＞g|g∈S5｝長(zhǎng)度為 6，且

＜（12345），（12），（35）＞≌D10.

12階子群：

設(shè)H為12階子群，若有不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，由S4子群可知S5的12階子群同構(gòu)于A4，一個(gè)共軛類，即：｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，長(zhǎng)度為5。若無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，則H在 ｛1，2，3，4，5｝上不傳遞，（否則，5|12，矛盾。）進(jìn)而 H≤S3×S2，又H=S3×S2所以 H=S3×S2.進(jìn)而得12階子群的另一個(gè)共軛類：

｛（S｛1，2｝ ×S｛3，4，5｝g|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 10.

20階子群：

設(shè)H為20階子群，若o（α）=5，下面證明NS（5＜α＞）=H，易知＜α＞為H得Sylow5子群。對(duì)于H，由Sylow定理知n5|4，n5=1+5k從而n5=1，即＜α＞是H的正規(guī)子群，所以H≤NS（5＜α＞）.

又由H=NS（5＜α＞）=20，從而H=NS（5＜α＞）。所以20階子群共有6個(gè)，（1個(gè)5階子群＜α＞，對(duì)應(yīng)1個(gè)20階子群NS（5＜α＞）），1個(gè)共軛類，即：

24階子群：

若 H為 24階子群，則 H在（1，2，3，4，5}上有不動(dòng)點(diǎn)。事實(shí)上，H在 ｛1，2，3，4，5｝ 上無(wú)不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，若 H在 ｛1，2，3，4，5｝上傳遞，則5|24，矛盾。若H在 ｛1，2，3，4，5｝上不傳遞，則H≤S3×S2，24|12，矛盾。從而 S5的 24階子群只能為 S4，即得共軛類：｝|g∈S5｝，長(zhǎng)度為 5.

60階子群：

設(shè)H為S5的60階子群，G：H=2，所以H是G的正規(guī)子群。

進(jìn)一步知H為某幾個(gè)S5中元素的共軛類的并，且必含有（1），又S5元素共軛類長(zhǎng)度依次分別為：

1，10，20，15，30，20，24。

而60只能分解為1+15+24+20，所以

經(jīng)驗(yàn)證其不成群。所以60階子群只有1個(gè)，即 ｛A5｝。

下面證明S沒(méi)有15，30，40階子群。

S5沒(méi)有15階子群。

事實(shí)上，若S5有15階子群H，＜α＞為H的5階子群。

由Sylow定理知，＜α＞是H的正規(guī)子群。進(jìn)而H≤NS（5＜α＞），又H有3階元，而NS（5＜α＞）無(wú)3階元，矛盾，所以S5沒(méi)有15階子群。

S5沒(méi)有30階子群。

事實(shí)上，若S5有30階子群H，＜α＞為H的5階子群。由Sylow定理知，n5=1或6。若n5=1同上可得矛盾。所以n5=6，此時(shí)H有1個(gè)1階元，24個(gè)5階元。即H包含了S5中所有的5階元，又由于Sylow定理知n3|10，n3=1+3k，從而n3=1，或者n3=10。若n3=10，又1個(gè)3階子群有2個(gè)3階元，且不同3階子群交為1。所以H有20個(gè)3階元，此時(shí)與H矛盾。所以n3=1，即只有1個(gè)3階子群，設(shè)為＜α＞，＜b＞是H的正規(guī)子群。不妨設(shè) b=（ijk），又（ijklm）∈H。但（ijk）（ijklm）=（jkl）?＜（ijk）＞，從而與＜α＞是H的正規(guī)子群矛盾。所以S5沒(méi)有30階子群。

S5沒(méi)有40階子群。

設(shè)H為S5的40階子群，由Sylow定理知，n5=1+5k，n5|8。所以n5=1，即H有4個(gè)5階元，剩余35個(gè)2冪階元。由Sylow定理知，n2=1+2k，n2|5，所以 n2=1或者 5.若 n2=1，此時(shí)與｜H｜=40矛盾。所以n5=5，即有5個(gè)8階子群。又因?yàn)楣?5個(gè)2階元，所以其8階子群的交只能為1，但右前面找的8階子群知，任意兩個(gè) 8階子群的交都不為 1，如＜（12），（1423）＞和＜（13），（1234）＞，且（12）（34）∈＜（12），（1423）＞∩＜（13），（1234）＞從而產(chǎn)生矛盾。所以S5沒(méi)有40階子群。

［1］孫自行，崔方達(dá).4次對(duì)稱群.子群的個(gè)數(shù)及其證明［J］.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，（4）：129-132.

［2］馬建萍.對(duì)稱群.及其正規(guī)子群的若干性質(zhì)［J］.青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，（2）：16-18.

［3］徐明耀，黃建華，李慧陵.有限群引論［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

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Abstract：Small order of symmetry group plays an important role in research of finite group theory，but as the number n is increasing,the structure of S5is more complicated.This paper calculates all the subgroups of S5appling the transitivity and normality and gives the strict proof.

Keywords：conjugacy class；the symmetric group of degree n；length

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

The Subgroups of S5

ZHAO Jun-feng1，WANG Fei2，JIA You1
（1.The Specialist Division of Xinzhou Teachers University，Xinzhou Shanxi034000；2.Department of Mathematics Changzhi University，Changzhi Shanxi046011）

O211.4

A

1673-2014（2010）05-0050-03

2010—08—17

趙俊鋒（1979— ），女，山西繁峙人，助理講師，主要從事代數(shù)方面的研究。