黃麗月,胡艷芳,陶 燕

(紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南蒙自661100)

關(guān)于嚴(yán)格偽壓縮映射與均衡問題的一個修正迭代格式

黃麗月,胡艷芳,陶 燕

(紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南蒙自661100)

在Hilbert空間,論文給出了關(guān)于嚴(yán)格偽壓縮映射與均衡問題的一個修正的迭代格式.在迭代參數(shù)滿足新的條件下,獲得了一個強(qiáng)收斂定理,所得結(jié)果是相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果的補(bǔ)充和完善.

嚴(yán)格偽壓縮映射;不動點(diǎn);均衡問題;強(qiáng)收斂

0 引言

設(shè)表示實(shí)Hilbert空間,〈.,.〉和‖.‖分別表示它的內(nèi)積及范數(shù),是的非空閉凸子集.設(shè)映射Φ:C×C→R(其中是實(shí)數(shù)集).關(guān)于Φ的均衡問題(簡稱EP)是指:找一個元x∈C使得

設(shè)EP(Φ)表示問題(1)的解集.如果,Φ(x,y)=〈Ax,y-x〉,其中映射A:C→H是非線性算子,則問題(1)退化為經(jīng)典變分不等式問題:找一個元x∈C,使得

設(shè)T是H中的映射,D(T)和R(T)分別表示T的定義域和值域,F(T)表示T的不動點(diǎn)集,F(T)={x∈D(T):Tx=x}.如果‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,?x,y∈D(T),則稱T是非擴(kuò)張映射;如果存在常數(shù)k且0≤k<1,使得

則稱T是k-嚴(yán)格偽壓縮映射.顯然,非擴(kuò)張映射是0-嚴(yán)格偽壓縮映射.通過迭代逼近方法,許多作者討論了均衡問題(1)與某些非線性算子不動點(diǎn)問題的公共逼近解,例如文獻(xiàn)[1-4].在文獻(xiàn)[1]中,曾六川等建立了關(guān)于k-嚴(yán)格偽壓縮映射的迭代格式

其中{an},{rn}是非負(fù)實(shí)數(shù)列且滿足{an}?[a,β](a,β∈(k,1))和>0.曾六川等獲得下面的結(jié)果:

定理C1[1]設(shè)C是H的非空閉凸子集,映射Φ:C×C→R滿足(A1)-(A4)(見第二節(jié)),T:C→C是k-嚴(yán)格偽壓縮映射且(T)∩EP(Φ) ?.設(shè)x1∈C,{xn}和{un}迭代格式(3)產(chǎn)生的序列.若(3)的迭代參數(shù)an, rn滿足條件:(i){an}?(a,β),a,β∈(x,1);(ii)>0.則{xn}和{un}分別弱收斂于P∈F(T)∩EP(Φ).

定理C2[1]設(shè)C是H的非空閉凸子集,映射Φ:C×C→R滿足(A1)-(A4)(見第二節(jié)),T:C→C是k-嚴(yán)格偽壓縮映射且F(T)∩EP(Φ) ?.設(shè)x1∈C,{xn}和{un}是迭代格式(3)產(chǎn)生的序列.若迭代格式(3)的迭代參數(shù)an,rn滿足下面的條件:(i),{an}?(a,β),a,β∈(k,1);:(ii)(xnF(T))∩EP(Φ))=0,其中

d(xnF(T))∩EP(Φ))表示xn到F(T))∩EP(F))的距離.

為了證明本文的結(jié)果,需要介紹下面的預(yù)備知識.

1 預(yù)備知識

設(shè)H表示實(shí)Hilbert空間,則對于任何λ∈[0,1]和?x,y∈H有

則 (1)Tr是單值的;

(2)?y∈H,有‖Tr(x)-Tr(y)‖2≤〈Tr(x)-Tr(y),x-y〉

(3)F(Tr)=EP(Φ)

(4)EP(Φ)是非空閉凸集.

引理1.4設(shè)?x,y∈H,則‖x+y‖2≤‖y‖2+2〈x,x+y〉.

引理1.5[7]設(shè){an}是非負(fù)實(shí)數(shù)列并滿足

ax+1≤(1-an)an+anσn+yn,n≥0

若(i)an∈[0,1],Σan=∞,(ii),lim supσn≤0,(iii)yn≥0,Σyn<∞,則當(dāng)n→∞,an→0.

引理1.6[8]設(shè)C是實(shí)H ilbert空間的閉凸子集,T:C→C是k-嚴(yán)格偽壓縮映射,則I-T是半閉的,即當(dāng)xn弱收斂于x和(I-T)xn強(qiáng)收斂于y時,x∈C和(I-T)x=y,其中I是恒等映射.

2 定理及其證明

定理2.1設(shè)是C實(shí)H ilbert空間H的非空閉凸子集,映射滿足條件Φ:C×C→R滿足條件(A1)-(A4), T:C→C是k-嚴(yán)格偽壓縮映射(其中0≤k<1),EP(Φ)∩F(T)≠?,定義序列{xn}和{un}為:

其中v,x1∈C,σ∈(0,1-k),an∈(0,1),an,βn,rn滿足下列條件:

證明.首先證明{xn}有界.設(shè)u∈?,由于T是k-嚴(yán)格偽壓縮映射,因此從(4)式得到:

另一方面,從引理1.3知un=Tynxn,因此‖un-u‖≤‖Tynsn-Tyn‖≤‖xn-u‖,于是

上述(6)式可用數(shù)學(xué)歸納法證明,這里略去.從(6)式可知{x}界.因此,{y}和{z}也有界.

由un=Trnxn和引理1.3得

和

在(9)取yn+1和在(10)取y=u可得

和

致 謝:

首先,衷心感謝大學(xué)生科技創(chuàng)新基金的支持.其次,在本文的撰寫過程中,何振華老師作為我的指導(dǎo)老師,他嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神,精益求精的工作作風(fēng),深深地感染和激勵著我.他給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持,在此衷心的感謝何老師.

〔1〕L.-C.Ceng,S.Al-Homidan,Q.H.Ansari,J.-C.Yao,An iterative scheme for equilibrium problems and fixed pointproblems of strict pseudo-contraction mappings[J],Journal of Computational and AppliedMathematics,2009,15:967-974

〔2〕A.Tada,W.Takahashi,Strong convergence theorem for an equilibrium problem and a nonexpansive mapping[J],Optim.Theory Appl.,133(2007)359-370.

〔3〕XiaolongQin,Shih-sen Chang,Yeol JeCho,Iterative methods for generalized equilibrium problems and fixed point problemswith applications[J],NonlinearAnalysis,doi:10.1016/j.nonr wa.2009.10.017.

〔4〕P.L.Combettes,S.A.Hirstoaga,Equilibrium programming in Hilbert space[J],Nonlinear convexAnal.6(2005)117-136.

〔5〕Tomonari Suzuki,Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces[J],Fixed

book=8,ebook=194

O17

A

1008-9128(2010)04-0037-06

2010-05-21

紅河學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新基金(SSTIF0936)。指導(dǎo)教師:何振華

黃麗月,女,紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院06級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)A班.