于歡歡,張金良

用變分迭代法求解Hirota-Satsuma型耦合KdV方程組

于歡歡,張金良

(河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南洛陽(yáng)471003)

用變分迭代法研究了Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程組,求出了 Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程組的近似解,利用Matlab對(duì)近似結(jié)果和精確解進(jìn)行了模擬.

變分迭代法;Hirota-Satsuma型耦合KdV方程組;Matlab;模擬

變分迭代法來(lái)源于量子力學(xué),后來(lái)被工程師Inokuti[1]等應(yīng)用于求解非線性方程,取得了比較理想的效果.但是,由于這種方法識(shí)別Lagrange乘子很繁雜,一直未得到普遍的關(guān)注和應(yīng)用.1999年,何吉?dú)g[2]對(duì)廣義的拉格朗日乘子做了修正,引入限制變分的概念,提出一種簡(jiǎn)單而快速的變分迭代方法:首先設(shè)初始迭代為含有若干參數(shù)的等式,然后利用一般的Lagrange乘子來(lái)構(gòu)造修正函數(shù),這里通過(guò)變分原理[3]確定Lagrange乘子的最優(yōu)值.變分迭代法能夠得到真實(shí)解的一個(gè)收斂的連續(xù)逼近解,而且變分迭代法不受任何限制,如線性和非線性問(wèn)題中的小參數(shù)限制等.它以類似的方式處理線性問(wèn)題和非線性問(wèn)題,而且其收斂性也得到了驗(yàn)證[4].

近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)變分迭代方法作了大量的研究,一些研究人員將其用于求解非線性的積分微分方程[5]、KdV方程[6]、量子力學(xué)中的微擾問(wèn)題[7]、厄爾尼諾/拉尼娜-南方海濤模型[8]、海-氣振子ENSO模型[9]、厄爾尼諾大氣物理機(jī)理上的一些問(wèn)題[10]以及研究赤道海氣振子模型[11]等,也有學(xué)者將變分迭代方法與現(xiàn)存的方法進(jìn)行了比較,結(jié)果證明變分迭代法收斂到真實(shí)解的速度較快[12].本文利用變分迭代方法求解廣義的 Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程組的近似解,并利用Matlab對(duì)其近似結(jié)果和精確解進(jìn)行模擬.

1 求解Hirota-Satsuma型耦合KdV方程組

在文獻(xiàn)[13]中介紹了含有三個(gè)位勢(shì)的4×4階矩陣的譜問(wèn)題,其中一種類型的方程為廣義的 Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程.近年來(lái),許多學(xué)者用不同的方法對(duì)廣義的 Hirota-Satsuma型耦合KdV方程進(jìn)行了研究,如擴(kuò)展的tanh函數(shù)展開法[14]、符號(hào)計(jì)算法[15]以及代數(shù)方法[16]等.

考慮一個(gè)廣義的Hirota-Satsuma型耦合 KdV方程組

初始條件為

式中c0,c2,β和k均為常數(shù).它的精確解為

用變分迭代方法對(duì)方程(1)～(3)建立如下校正泛函

式中λ1,λ2和λ3是廣義的拉格朗日乘子和為限制變分量,即δ

對(duì)式(10)～(12)取變分得

于是,可得以下駐值條件

從而,可以識(shí)別拉氏乘子得

將其代入到式(10)～(12)得到迭代公式

假設(shè)初始近似解為

令分別將式(16)、(17)、(18)代入到式(13)、(14)、(15)得到

由于c0,c2,β和k均為常數(shù),這里令β=2,c0= c2=k=1,則有

A=-2,B=4,C=-4,D=4.

于是方程的近似解(25)～(27)為

同理,將式(28)～ (30)帶入變分迭代公式(19)～ (21)得到

利用變分迭代公式(19)～ (21),還可以計(jì)算出三階以及更高階的近似解.

當(dāng)β=2,c0=c2=k=1時(shí),方程(1)～(3)的精確解為

利用Matlab,方程組(1)～ (3)的精確解和近似解見圖1～圖9.

圖1 β=2,c0=c2=k=1時(shí),u(x,t)的精確解圖像

2 結(jié)束語(yǔ)

由模擬結(jié)果可以看出,用變分迭代法求解廣義Hirota-Satsuma耦合 KdV方程組,一階迭代近似解的圖形與精確解吻合的相當(dāng)好,由此可以根據(jù)近似解來(lái)研究廣義 Hirota-Satsuma耦合 KdV方程組孤波的波形變化和特征.但是,在進(jìn)一步迭代的時(shí)候,由于t的冪次高,所得近似解的圖形與精確解偏差較大.這也說(shuō)明變分迭代方法在應(yīng)用中有一定的局限性,但仍是解決這類問(wèn)題的強(qiáng)有力工具.

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Variational iteration method for solving the Hirota-Satsuma coupled KdVequations

YU Huanhuan,ZHAN GJinliang
(School of Mathematics and Statistics,Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003,China)

In this paper,the variational iteration method were applied to investigate the Hirota-Satsuma coupled KdV equations,and some approximate solutions were obtained.Using Matlab,the approximate solutions and exact solutions of the Hirota-Satsuma coupled KdV equations were simulated.

variational iteration method;Hirota-Satsuma coupled KdV equations;Matlab;simulation

O175.2

A

1671-9476(2010)05-0038-04

2010-05-12

河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究項(xiàng)目(No.092300410179);河南科技大學(xué)博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(No.09001204)

于歡歡(1986-),男,河南通許人,碩士研究生,主要從事非線性數(shù)理方程研究;張金良(1966-),男,河南唐河人,教授,博士,研究方向:非線性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題.