鄭福昌

(武夷學(xué)院電子工程系,福建武夷山354300)

彈簧系統(tǒng)的彈性勢能與重力勢能一樣是對一定的勢能零點(diǎn)而言的,否則,勢能沒有意義,但選擇不同的勢能零點(diǎn),彈性勢能不同。在普通物理學(xué)中,相當(dāng)一部分學(xué)生在彈性勢能概念和計(jì)算上經(jīng)常出錯。本文將在勢能概念的基礎(chǔ)上,對在選擇不同彈性勢能零點(diǎn)時勢能值的計(jì)算方法進(jìn)行討論,在此基礎(chǔ)上通過特例對出現(xiàn)錯誤的原因進(jìn)行深入分析。

1 彈性勢能的零點(diǎn)選擇

勢能值只具有相對意義,即它是相對于勢能零點(diǎn)來講的,而勢能零點(diǎn)的選擇具有任意性,通?？梢愿鶕?jù)解題的方便,靈活恰當(dāng)?shù)剡x取。勢能零點(diǎn)選擇不同,勢能值也不同,但兩點(diǎn)間的勢能差并不因零點(diǎn)選擇的不同而改變,重力勢能如此,彈性勢能也不例外,這是勢能的共同特點(diǎn)。在力學(xué)教材中是以彈簧自由長度處為彈性勢能零點(diǎn)導(dǎo)出勢能值的表達(dá)式:Ep=kx2,所以常引起一種錯覺,似乎彈性勢能的零點(diǎn)只能取在彈簧的自由長度處。其實(shí)不然,彈性勢能的零點(diǎn)可以取在彈簧的自由長度處,也可以取在其他位置,彈性勢能的零點(diǎn)原則上可以任意選取。如果彈性勢能的零點(diǎn)取在彈簧自由長度處,則根據(jù)勢能的定義“保守力的功等于物體系勢能增量的負(fù)值”,顯然在由零勢能狀態(tài)變化到任一狀態(tài)的過程中,彈性力總是做負(fù)功的,因此由零勢能狀態(tài)到任意狀態(tài)彈性勢能總是增加的,故當(dāng)以彈簧自由長度處為彈性勢能零點(diǎn)時,彈性勢能總是正值。

彈性勢能的零點(diǎn)原則上可以任意選取,若不選在彈簧自由長度處,則系統(tǒng)在任意狀態(tài)下的彈性勢能不能保證總是正值,即在某些狀態(tài)下可能是正值,而在另外一些狀態(tài)下可能為負(fù)值。

2 零點(diǎn)不選在彈簧自由長度處時,彈性勢能的計(jì)算

當(dāng)彈性勢能零點(diǎn)不選在彈簧自由長度處時,仍可根據(jù)勢能的定義“保守力的功等于物體系勢能增量的負(fù)值”,計(jì)算出任一狀態(tài)下系統(tǒng)的彈性勢能。

下面通過對一水平放置且一端固定,另一端連一物體的彈簧(如圖1所示)進(jìn)行分析。設(shè)彈簧勁度系數(shù)為k,物體位于O點(diǎn)(x=0)時,彈簧處于自由長度。

圖1

2.1 以O(shè)點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)

以彈簧自由長度處O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右為坐標(biāo)軸正向建立坐標(biāo)。當(dāng)物體位于A′點(diǎn)時,彈簧被拉伸,拉彈簧過程中,彈性力的功為

式中-kx為彈性力,因 x>0,所以-kx沿x軸負(fù)向,而d x>0。

根據(jù)勢能的定義有:-(EpA′-0)=-所以物體位于A′點(diǎn)時,系統(tǒng)的彈性勢能 EpA′=kx

可見,當(dāng)以彈簧自由端O點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)時,任一狀態(tài)下系統(tǒng)彈性勢能可以表示為:

并且它恒為正值。

2.2 以A點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)

在物體由A點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)過程中,彈性力做正功,系統(tǒng)的彈性勢能應(yīng)減少,故當(dāng)物體位于A點(diǎn)和O點(diǎn)之間時,系統(tǒng)的彈性勢能均為負(fù)值。由A點(diǎn)運(yùn)動到O點(diǎn)過程中,彈性力做功WAO=∫(-kx)d x=。因以 A點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn),即 EpA=0,所以物體位于O點(diǎn)時,系統(tǒng)的彈性勢能 EpO=

同理可以求得,物體位于B點(diǎn)時系統(tǒng)的彈性勢能EpB=-

在物體由O點(diǎn)運(yùn)動到A′點(diǎn)的過程中,由于彈性力做負(fù)功,彈性勢能增加,彈性力做功WOA′=-。故有 EpO-EpA′=-,所以物體位于A′點(diǎn)時系統(tǒng)的彈性勢能 EpA′=EpO+=0。

同理可以分別計(jì)算出物體位于B′點(diǎn)、C點(diǎn)和C′點(diǎn)處時系統(tǒng)的彈性勢能為:EpB=EpB′=-

2.3 結(jié)果分析

從以上可以清楚地看出:

1 )若以彈簧自由長度處為彈性勢能零點(diǎn),則彈性勢能恒為正值。

2 )若彈性勢能零點(diǎn)不選在彈簧自由長度處,則系統(tǒng)在任意狀態(tài)下的彈性勢能不能保證總為正值,在某些狀態(tài)下可能為負(fù)值。

3 )以不同點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)時,同一狀態(tài)的彈性勢能值是不同的。但任意兩確定狀態(tài)的彈性勢能差是不變的。

3 選擇不同彈性勢能零點(diǎn)時小球第一次經(jīng)過O′點(diǎn)的速率

一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定,另一端懸掛一個質(zhì)量為m的小球,這時平衡位置在點(diǎn)O′,如圖2所示?，F(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸Δx并達(dá)到B點(diǎn)的位置,靜止釋放后小球向上運(yùn)動,試求小球第一次經(jīng)過O′點(diǎn)時的速率。

圖2

3.1 O點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)

以彈簧自由長度處O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),豎直向下為坐標(biāo)軸正向建立坐標(biāo)系。把小球所處的B點(diǎn)位置取為系統(tǒng)的重力勢能零點(diǎn),而系統(tǒng)的彈性勢能零點(diǎn)取在彈簧未發(fā)生形變時的O點(diǎn)。設(shè)受小球重力作用,彈簧伸長了Δx0,而到達(dá)了O′點(diǎn)。

O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能:

B狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能:

由O′狀態(tài)和B狀態(tài)的機(jī)械能守恒,可得

式中v是小球達(dá)O′點(diǎn)時的速率。因小球處于O′點(diǎn)時重力等于彈性力,故有

由式(1)、(2)可求得小球到達(dá)O′點(diǎn)時的速率

3.2 O′點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)

3.2.1 誤區(qū)分析

以彈簧自由長度處的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),豎直向下為坐標(biāo)軸正向建立坐標(biāo)系,B點(diǎn)取為系統(tǒng)的重力勢能零點(diǎn),將彈性勢能的零點(diǎn)選在O′點(diǎn),得O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能

B狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能

由O′狀態(tài)和B狀態(tài)的機(jī)械能守恒,可得

故有

顯然,在同一參考系下討論的速率問題,由于彈性勢能零點(diǎn)選擇不同而得出了不同的結(jié)果。當(dāng)然,式(5)所得結(jié)果是錯誤的。這一錯誤結(jié)果的出現(xiàn),是什么原因造成的呢?難道說O′點(diǎn)處不能選為彈性勢能零點(diǎn)?顯然,并不是勢能的零點(diǎn)不可以任意選擇。式(5)所應(yīng)用的彈性勢能的表達(dá)式是 Ep,其前提條件是選擇物體處于平衡位置(彈簧未發(fā)生形變)時系統(tǒng)的彈性勢能為零。在應(yīng)用 Ep時,已經(jīng)默認(rèn)選O點(diǎn)為勢能零點(diǎn),現(xiàn)在又選O′點(diǎn)為勢能零點(diǎn),無形中選了兩個勢能零點(diǎn),這也就是導(dǎo)致式(5)錯誤的原因。由以上可知,如將彈性勢能的零點(diǎn)選在O′點(diǎn),相應(yīng)小球在B點(diǎn)位置的彈性勢能應(yīng)有不同的值。

3.2.2 正確解法

下面就以O(shè)′點(diǎn)為彈性勢能的零點(diǎn),B點(diǎn)為系統(tǒng)的重力勢能零點(diǎn),O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能:E (O′)=m g(Δx)+m v2;B狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能: E(B)=-k(Δx)2+k(Δx+Δx0)2。由O′狀態(tài)和B狀態(tài)機(jī)械能守恒有:

由此可得

3.3 B點(diǎn)為彈性勢能零點(diǎn)

下面就以O(shè)′點(diǎn)為彈性勢能的零點(diǎn),B點(diǎn)為系統(tǒng)的重力勢能零點(diǎn),可得O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能:;B狀態(tài)時系統(tǒng)的機(jī)械能:E(B)=0。由O′狀態(tài)和B狀態(tài)機(jī)械能守恒有:k(Δx0)2-k(Δx+Δx0)2+m g(Δx)+=0。由此可得

需要特別注意的是,公式 Ep=是在選擇了彈簧無形變狀態(tài)為勢能零點(diǎn)得到的,Ep=m g h也是選定了勢能零點(diǎn)在h=0處。那么,h=0在什么地方呢?顯然,物體在B點(diǎn)位置取為系統(tǒng)的重力勢能零點(diǎn),這時O′的高度是h=Δx(在上面的求解過程中正是這樣選擇的),也可以把O′點(diǎn)位置取為系統(tǒng)的重力勢能零點(diǎn),這時B點(diǎn)的高度是h=-Δx。這兩種選擇都滿足h=0,Ep=0。

由上面分析可知,公式 Ep=和 Ep= m g h中的x和h具有不同的含義。h是物體所處的高度,只有相對意義,而 x代表彈簧的形變,具有絕對意義。

以上所討論的問題只涉及在相同參考系下同一坐標(biāo)原點(diǎn)(彈簧自由長度處)的情況,實(shí)際上如果在同一參考系下選擇不同的坐標(biāo)原點(diǎn),彈性勢能的表示式也不同。限于篇幅此問題以后再做討論。

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