李媛媛,許 璐

求矩陣n次根的矩陣函數(shù)法及應(yīng)用

李媛媛,許 璐

(江漢大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院,湖北武漢430056)

針對(duì)求矩陣n次方根的問(wèn)題,提出了利用矩陣函數(shù)進(jìn)行求解的方法,通過(guò)應(yīng)用實(shí)例的對(duì)比,表明了此種方法在特定條件下是簡(jiǎn)便可行的.

譜;根矩陣;矩陣函數(shù);Lagrange-Hermit插值

n次根的研究在算子理論中有重要意義,應(yīng)用廣泛且至今仍方興未艾.近年來(lái),由于來(lái)自換位提升理論、插值理論以及系統(tǒng)控制理論中某些問(wèn)題的刺激,許多學(xué)者從各方面對(duì)方陣n次根的存在性及存在形式進(jìn)行了深入的研究,并給出了一些判定定理.

本文就計(jì)算n次根給出了一種新的算法 ——矩陣函數(shù)法,旨在準(zhǔn)確快速求出根,盡量減小誤差,使計(jì)算機(jī)在操作中總迭代次數(shù)減少.以平方根計(jì)算為例,按通常解矩陣方程組方法,若利用n2+2n+3個(gè)存儲(chǔ)單元,需要n3次乘法和n2(n-1)次加法,若利用2n2+3個(gè)存儲(chǔ)單元,需要n2次乘法和n2(n-1)次加法,而求立方根等計(jì)算量可想而知.本文所敘述的矩陣函數(shù)法,其求根過(guò)程避免解多元方程組,可使計(jì)算量和存儲(chǔ)量都大為減少,而且容易編制程序在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),大大提高了計(jì)算效率和求解效率.

1 概念與引理

定義1[1]設(shè)A∈Cn×n,λA={λ1,…,λs;λi≠λj,i≠j}為矩陣A的譜,矩陣A的最小多項(xiàng)式為m(t)=(t-λ1)m1(t-λ2)m2…(t-λs)ms,其中mk≥1(k=1,2,…,s)是矩陣A的λk項(xiàng)的指數(shù).如果 f是一元實(shí)值或復(fù)值函數(shù),且存在f(λk),f(1)(λk),…,f(mk-1)(λk),k=1,…,s,則稱 f為定義在A的譜λA上的函數(shù).

引理1[2]設(shè)A∈Cn×n,J是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,P∈Cn×n,A=PJ P-1.若函數(shù)f(λ)在A的譜上有定義,則 f(A)= Pf(J)P-1= Pdiag[f(J1),…,f(Jn)]P-1,Ji為di×di階Jordan塊,其中

引理2[2]設(shè)λ1,…,λs是不同的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),而m1,…,ms是正整數(shù),m=m1+…+ms.設(shè)f是一元實(shí)值或復(fù)值函數(shù),存在 f(j)(λk)(j=0,…,mk-1;k=1,…,s),則存在唯一的次數(shù)不超過(guò)m-1的多項(xiàng)式

使得 P(j)(λk)=f(j)(λk)(j=0,…,mk-1;k=1,…,s),其中

式(1)稱為L(zhǎng)agrange-Hermit插值公式,λ1,…,λs稱為插值點(diǎn).當(dāng)m1=m2=…=ms=1時(shí),s=m,

稱為L(zhǎng)agrange插值公式.

2 主要結(jié)果

定理1 若矩陣A可以對(duì)角化,則A可開(kāi)n次方(n∈N).

證 因?yàn)锳可以對(duì)角化,故存在可逆陣 P,使得 P-1AP=diag(λ1,…,λn)(λi≠0,i=1,…,n),從而A= Pdiag(λ1,…,λn)P-1= P[diag(,…,)]nP-1={P[diag(λ,…,λ)]P-1}n,即 A有一個(gè)形如P(,…P-1的 n次方根.

定理2 不含零特征根的復(fù)方陣有n次根(n∈N).

證 對(duì) ?A∈Cn×n,存在可逆陣 P,使得 P-1AP=J,其中,J=diag(J1,J2,…,Jr),Ji為di×di階Jordan塊.由A不含零特征根,即λi≠0,從而函數(shù) f(λ)=λ1/n在A的譜上有定義,且有

由引理1可知

所以

標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣.

定理3 若矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中沒(méi)有以0為特征值的1階以上的Jordan塊時(shí),則A可開(kāi)n次方.

…,Jr都沒(méi)有0為特征值,從而A的一個(gè)n方根為

定理4(求矩陣n次根的矩陣函數(shù)法) 當(dāng)多項(xiàng)式 P(λ)=a0+a1λ+a2λ2+…+am-1λm-1滿足 P(k)(λi) =)(k)時(shí),有A1/n=a0E+a1A+a2A2+ …+am-1Am-1,其中 ai由 P(k)(λi)=(k)決定.

證 在引理2中,取 f(λi)=,用Lagrange-Hermit插值公式確定ai,得到 f(A)=A1/n的逼近函數(shù) P(A),即A1/n=a0E+a1A+a2A2+…+am-1Am-1.

3 應(yīng)用實(shí)例

當(dāng)然,A還有其他形式的平方根,只需取不同形式的J1/n(僅是符號(hào)的差別以及若當(dāng)型排列次序的差別)代入即可.

解法二(矩陣函數(shù)法) A的最小多項(xiàng)式m(λ)=(λ-2)2,P(λ)=a0+a1λ,P(1)(λ)=a1,f(2)= a0+2a1,f(1)(2)=a1,解得 a1=f(1)(2),a0=f(2)-2f(1)(2),所以,f(A)=a0E+a1A=.取 f(λ)=λ1/2,有代入上式得.取 f(λ)=λ1/n,有

與解法一相比,解法二省去了求 P,P-1的過(guò)程.

例2 設(shè)J=Jm(λ)是特征值為λ的m階Jordan塊,λ為復(fù)數(shù),則J能開(kāi)方的充要條件是:m=1或m≥2.求m≥2時(shí)的平方根形式.

解(證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4],其實(shí)很顯然) 文獻(xiàn)[4]求J的平方根的解法是:通過(guò)矩陣相乘得出方程組,解方程組得出各項(xiàng)的規(guī)律,然后歸納總結(jié)出各項(xiàng)的具體形式,整個(gè)解法比較直接,但是過(guò)程比較繁瑣.現(xiàn)利用矩陣函數(shù)的方法求解.取 f(λ)=λ1/2,則

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)求矩陣方根的問(wèn)題,提出了利用矩陣函數(shù)進(jìn)行求解的方法,并且給出了利用矩陣函數(shù)法求解矩陣方根的實(shí)例.對(duì)比表明,該方法是簡(jiǎn)便可行的.但是,當(dāng)矩陣存在兩個(gè)以上的零特征根時(shí),由于不能保證函數(shù)在矩陣的譜上有定義,就不能直接利用該方法了.

[1]陳景良,陳向輝.特殊矩陣[M].北京:清華大學(xué)出版社,2001:121;539-541.

[2]史昌榮.矩陣分析[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1995:193-196.

[3]朱德高.一個(gè)Jordan塊的平方根矩陣[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1999(3):318-321.

[4]Li Yuanyuan.The Nonlinear matrix Equation and its Applications to Graph Theory[C].ICICIC2008(Third International Conference on Innovative Computing,Information and Control).

[5]Li Yuanyuan.The general solution of Nonliear Matrix Equation[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,33(1):83-86.

[6]李媛媛.矩陣m次根的賦范性質(zhì)[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,25(2):11-14.

Them-th root of a matrix

LI Yuanyuan,XU Lu
(School of Mathematics and Computational Science,Jianghan University,Wuhan 430056,China)

Them-th roots of a matrix has been considered.The form of its solution has been found by the matrix functions.And gave some application examples,the method of the matrix functions is simple in specific conditions.

spectrum;root matrix;the matrix function;Lagrange-Hermit interpolation

O151.21

A

1671-9476(2010)05-0010-04

2010-05-10

2008武漢市屬高?？蒲匈Y助項(xiàng)目(No.2008K050)

李媛媛(1974-),女,安徽桐城人,講師,碩士,主要從事組合矩陣論及其應(yīng)用研究;“基于準(zhǔn)譜的矩陣代數(shù)根問(wèn)題算法設(shè)計(jì)及應(yīng)用”項(xiàng)目負(fù)責(zé)人.