劉 瑩

(浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,浙江杭州310053)

考慮隨機(jī)時(shí)間的重置期權(quán)定價(jià)模型

劉 瑩

(浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,浙江杭州310053)

利用等價(jià)測(cè)度和鞅的方法,以外匯市場(chǎng)的波動(dòng)率為重設(shè)點(diǎn)依據(jù)的情況下推導(dǎo)了隨機(jī)時(shí)間重置期權(quán)中的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

重置期權(quán);隨機(jī)時(shí)間;違約金

最早的單點(diǎn)重置型賣權(quán)由Gray和W haley[1]提出,國(guó)內(nèi)的歐輝、王莉君、張寄洲[2-6]等人也對(duì)重置期權(quán)進(jìn)行了一定研究.但是上述的研究始終沒有對(duì)重設(shè)點(diǎn)的隨機(jī)性進(jìn)行討論,都是停留在事先指定好重設(shè)點(diǎn)的前提條件下展開的討論.該文針對(duì)傳統(tǒng)重置期權(quán)模型的缺點(diǎn),研究一種更具有隨機(jī)性的期權(quán)模式——隨機(jī)時(shí)間的重置期權(quán)模型.

1 模型的假設(shè)

設(shè)(Ω,F,(Ft)t≥0,P)為一個(gè)完備的概率空間,(Ft)t≥0是概率空間(Ω,F,P)上的一個(gè)對(duì)t遞增的子σ-域,假設(shè)對(duì)隨機(jī)變量的所有敘述幾乎處處成立或幾乎必然成立.E(X|Ft)表示隨機(jī)變量X關(guān)于到時(shí)間t為止可獲得的信息的條件期望.下面的隨機(jī)變量都是定義在這一概率空間上的.同時(shí)假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi),市場(chǎng)沒有任何交易費(fèi)用和稅收、無(wú)套利機(jī)會(huì)、交易能夠連續(xù)地進(jìn)行、允許賣空且標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)量是可分的.

假設(shè)到期時(shí)間為T,原定履約價(jià)為K,期權(quán)買賣雙方在事先約定:在期權(quán)到期日T之前,期權(quán)持有者有權(quán)利在任意時(shí)刻對(duì)期權(quán)進(jìn)行重新設(shè)置履約價(jià).假設(shè)重新設(shè)置履約價(jià)的時(shí)間為τ,τ是一個(gè)隨機(jī)時(shí)間,則該期權(quán)到期價(jià)值X(T)表示如下:

其中D(τ)表示在T時(shí)刻期權(quán)的持有者還必須付給對(duì)方一定的現(xiàn)金作為解除原來(lái)約定的違約金(D(τ)是時(shí)間的函數(shù)).

假設(shè)St表示可交易的基本標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,滿足

其中uS(t)和σS(t)為相應(yīng)價(jià)格過(guò)程在時(shí)刻t的期望收益率和瞬時(shí)波動(dòng)率,uS(t)和σS(t)是非隨機(jī)函數(shù)(其中σS(t)大于零).{Wt,0≤t≤T}是P下標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).{Ft,0≤t≤T}是由Wt和W′t產(chǎn)生的自然σ-域,假設(shè)Wt與W′t是相互獨(dú)立的,其中W′t表示一個(gè)P測(cè)度下另一個(gè)和Wt相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

下面就以一種特殊的歐式看漲期權(quán)為例.設(shè)隨機(jī)時(shí)間的重置歐式看漲期權(quán)的到期支付為X(T),則

其中第一部分是期權(quán)雙方不發(fā)生重新定價(jià)行為時(shí)的支付,第二部分為期權(quán)雙方通過(guò)協(xié)商發(fā)生重新定價(jià)行為時(shí)的支付,第三部分是期權(quán)持有者與對(duì)方協(xié)商要求重新定價(jià)所需支付的違約金.

2 重新點(diǎn)的定義

根據(jù)美國(guó)芝加哥大學(xué)Tsay[7]所建立的隨機(jī)波動(dòng)率模型,建立了以隨機(jī)波動(dòng)率為依據(jù)選擇重設(shè)點(diǎn)的隨機(jī)時(shí)間的重置期權(quán)的定價(jià)模型.在此考慮選擇債券市場(chǎng)、石油市場(chǎng)或外匯市場(chǎng)等非股票市場(chǎng)的波動(dòng)率模型,主要的原因有兩個(gè).其一,如果直接選擇股票市場(chǎng)的波動(dòng)率作為重設(shè)點(diǎn)的依據(jù),就容易給違約行為的發(fā)生帶來(lái)一定的困難.例如在股票明顯上漲的時(shí)候持有者想提出違約,另一方或者不愿意接受違約或者接受違約但提出更高要求的違約條件.其二,債券市場(chǎng)、石油市場(chǎng)或外匯市場(chǎng)等非股票市場(chǎng)和股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)存在著間接的聯(lián)系,如上海交通大學(xué)管理學(xué)院的馮蕓和吳沖鋒用統(tǒng)計(jì)分析的方法說(shuō)明了外匯市場(chǎng)的波動(dòng)往往對(duì)股票市場(chǎng)的價(jià)格產(chǎn)生一種滯后的影響.如果可以從外匯市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)來(lái)預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)情況,對(duì)于股票的另一方來(lái)說(shuō)就不會(huì)因?yàn)橹卦O(shè)的理由太直接而反對(duì)違約或?qū)`約行為提出更苛刻的違約條件.

假設(shè)外匯市場(chǎng)的波動(dòng)率{ε(t)}服從dε(t)=-ε(t)(1-α)d t+σεd W′t,其中σε>0是非隨機(jī)變量,并且假設(shè)|α|<1,使波動(dòng)率的過(guò)程平穩(wěn).{W′t,0≤t≤T}是P下標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).則ε(t)=那么就滿足一個(gè)隨機(jī)微分方程Langevin方程,即ε(t)～

設(shè)τc=inf{t:ε(t)>c}表示波動(dòng)率首次到達(dá)c的時(shí)刻,期權(quán)的持有者對(duì)賣出期權(quán)進(jìn)行重新設(shè)置履約價(jià);τd=inf{t:ε(t)≤d}表示波動(dòng)率首次到達(dá)d的時(shí)刻,期權(quán)持有者就對(duì)買入期權(quán)進(jìn)行重新設(shè)置履約價(jià);通常投資者會(huì)選擇組合期權(quán)進(jìn)行投資,所以取τ=τc∧τd表示上述事件只要有一個(gè)發(fā)生就可以進(jìn)行重新定價(jià).

為了計(jì)算期權(quán)的定價(jià)公式,下面只研究當(dāng)τ=τc時(shí)(或等價(jià)地d=-∞)的重新定價(jià).

3 風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度的轉(zhuǎn)換

選擇可交易的基本標(biāo)的資產(chǎn)St,令Zt=e-rtSt.則d Zt=Zt(u-r)d t+Ztσd Wt,記

定義測(cè)度Q:d Q=Λd P,滿足由Girsanov定理,可知PQ是P的等價(jià)鞅測(cè)度.且WQt=Wt+ρt,WQt是一個(gè)PQ測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),在PQ測(cè)度下Zt滿足:

引理1 設(shè)在概率P下,X與Y,Ft分別獨(dú)立,則 EQ(XY|Ft)=EQ(X)EQ(Y|Ft).

4 期權(quán)定價(jià)公式

定理1 設(shè)期權(quán)的到期日為T,期權(quán)買賣雙方協(xié)商要重新設(shè)置履約價(jià)的時(shí)間為τ,隨機(jī)時(shí)間的重置期權(quán)的歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為:

引理2 假設(shè)期權(quán)的到期日為T,期權(quán)買賣雙方協(xié)商要重新設(shè)置履約價(jià)的時(shí)間為τ,則隨機(jī)時(shí)間的重置歐式看漲期權(quán)持有者與對(duì)方協(xié)商要求重新定價(jià)所需支付的違約金的公式為:

由于三部分的求解方法類似,所以重點(diǎn)介紹第一部分的求解過(guò)程.下面直接給出第二部分和第三部分的兩個(gè)引理.

引理3 設(shè)期權(quán)的到期日為T,期權(quán)買賣雙方協(xié)商要重新設(shè)置履約價(jià)的時(shí)間為τ,則隨機(jī)時(shí)間的重置

5 期權(quán)定價(jià)公式的近似解

[1]Gray S F,Whaley R E.Reset put options:valuation,risk characteristics,and an application[J].Australian Journmal of Management, 1999,24(1):1-20.

[2]劉平兵,歐輝.重置期權(quán)的一種創(chuàng)新及其定價(jià)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2006(10):32-34

[3]歐輝,向緒言,楊向群.重置期權(quán)的創(chuàng)新及其在隨機(jī)利率情形下的定價(jià)[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào),2004(3):6-10.

[4]王莉君,張曙光.隨機(jī)利率下重置期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯,2002,17(4):471-478.

[5]朱海燕,張寄洲.隨機(jī)利率下兩類重置期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題[J].上海師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,37(5):447.453.

[6]張寄洲,李松芹.重置期權(quán)的創(chuàng)新及其定價(jià)問(wèn)題[J].上海師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,37(5):441-446.

[7]Tsay R S.金融時(shí)間序列分析[M].潘家柱,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006:329.

Reset Options M odel with Random Time

L IU Ying
(Department of Basic,Zhejiang Vocational College of Commerce,Hangzhou 310053,China)

Considering of the volatility of foreign exchange market,the paper derivates the p ricing formula of European call in reset op tions w ith random time by using equivalent measure and martingalemethods.

reset optionsmodel;random time;penalty

O211.6 MSC2000:91B28

A

1674-232X(2010)03-0209-06

DO I:10.3969/j.issn.1674-232X.2010.03.010

2010-02-21

2009年浙江省高校優(yōu)秀青年教師資助計(jì)劃(30202003).

劉 瑩(1977—),女,浙江溫州人,講師,碩士,主要從事金融數(shù)學(xué)研究.E-mail:mengmeng0930@126.com