余 靜,谷 峰

(杭州師范大學理學院,浙江杭州310036)

帶誤差項的廣義Halpern-Mann型迭代序列的強收斂定理

余 靜,谷 峰＊

(杭州師范大學理學院,浙江杭州310036)

為證明Φ-偽壓縮映象不動點的迭代收斂性,引進了帶誤差項的廣義Halpern-Mann型迭代算法,并利用此迭代算法和一些分析技巧,證明了Φ-偽壓縮映象不動點的一個新的強收斂定理.

Banach空間;Mann迭代序列;Halpern迭代序列;廣義Halpern-Mann型迭代序列;Φ-偽壓縮映象

1 引言和預備知識

定義4 設E為實Banach空間,稱T:D(T)?E→E是Φ-強偽壓縮映象,如果?x,y∈D(T),存在j(x-y)∈J(x-y)和一個嚴格遞增函數(shù)Φ:[0,∞)→[0,∞),Φ(0)=0,使得

近年來,許多學者致力用各種迭代算法去逼近非線性算子不動的研究,得到了許多好的結果[1-9].

1953年,M ann引進了一個迭代格式定義如下:

定義5[1]設E為實Banach空間,K是E的非空子集,T:K→K是一個算子,{αn}是[0,1]中的序列,則如下定義的序列{xn}∞n=0稱為Mann迭代序列:

1998年,Xu引進了一個迭代格式定義如下:

定義6[2]設E為實Banach空間,K是E的非空子集,T:K→K是一個算子,{αn},{βn}和{γn}是[0,1]中的3個實數(shù)列,滿足αn+βn+γn=1.則如下定義的序列{xn}∞n=0稱為帶有誤差項的Mann迭代序列:

其中{vn}?D(T)是一個有界序列.

1967年,Halpern引進了一個迭代格式定義如下:

定義7[3]設E為實Banach空間,K是E的非空子集,T:K→K是一個算子,{αn}是[0,1]中的序列,則如下定義的序列{xn}∞n=0稱為Halpern迭代序列:

其中u∈D(T)是一個固定的點.

在此分別引進廣義Halpern-Mann型迭代序列與帶誤差的廣義的Halpern-Mann型迭代序列如下:

其中{αn′}∞n=0,{βn′}∞n=0,{γn′}∞n=0,{δn′}∞n=0與{αn}∞n=0,{βn}∞n=0,{γn}∞n=0,{δn}∞n=0,{σn}∞n=0分別是[0,1]中的滿足一定條件的序列,且αn′+βn′+γn′+δn′=αn+βn+γn+δn+σn=1,{un}∞n=0是E中的有界序列.顯然,式(5)是式(6)的特例,式(5)和式(7)都是式(8)的特例,式(5)、(6)、(7)、(8)又都是式(9)的特例.

文獻[4]和[5]分別在Banach空間中研究了非擴張非自映象映象和偽壓縮映象不動點的迭代收斂定理,文獻[6]在半序線性空間中研究了一類非單調(diào)映射不動點的存在唯一性及其迭代收斂性.

文章使用帶誤差項的廣義Halpern-M ann型迭代序列(9)去逼近Φ-偽壓縮算子的不動點,證明了一個新的強收斂定理,所得結果改進、推廣和統(tǒng)一了文獻[7]和[8]的相關結果.

引理1[9]設E是實Banach空間,則?x,y∈E,?j(x+y)∈J(x+y),有

引理2[10]設Φ:[0,+∞)→[0,+∞)為嚴格遞增函數(shù),且Φ(0)=0,{θn},{ρn},{λn}為非負實序列,且滿足若有θ2n+1≤θ2n-2λnΦ(θn+1)+ρn,?n≥1,則lni→m∞θn=0.

2 主要結果

定理1 設E是實Banach空間,D為E的非空凸子集,映象T:D→D為一致連續(xù)、值域有界的Φ-偽壓縮映象.設T的不動點集為F(T),設q為T的不動點,對任意給定的x0,u∈D,設{xn}∞n=0是由(9)所定義的具誤差的廣義Halpern-Mann型迭代序列,其中{αn},{βn},{γn},{δn}和{σn}是[0,1]中的5個實數(shù)列,且滿足:因為{αn},{βn},{γn},{δn},和{σn}是[0,1]中且滿足條件αn+βn+γn+δn+σn=1的實數(shù)列,所以由條件ii),iii)可知,?N,當n>N時,有β2n+2βnγn≤1.從而式(14)可化簡為

注 由于M ann迭代序列、具誤差的M ann迭代序列、Halpern迭代序列和廣義Halpern-M ann型迭代序列都是具誤差的廣義Halpern-Mann型迭代序列的特殊情況,因此文章結果對于迭代格式(5)、(6)、(7)、(8)也都成立.可見,文章結果統(tǒng)一、改進和發(fā)展了現(xiàn)有文獻的一些相關結果.

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Strong Convergence Theorem of Generalized Halpern-Mann Type Iterative Sequence with Errors

YU Jing,GU Feng
(College of Science,Hangzhou No rmal University,Hangzhou 310036,China)

To p rove the iteration convergence ofΦ-pseudocontractive mapping fixed point,the paper has introduced the generalized Halpern-Mann type iterative algorithm w ith erro rs,and taking advantage of this iterative algorithm and some analysis techniques,it has p roved a new strong convergence theo rem ofΦ-pseudocontractivemapping fixed point.

Banach space;Mann iterative sequence;Halpern iterative sequence;generalized Halpern-Mann type iterative sequence;Φ-pseudocontractive mapping

O177.91 MSC2000:47H06;47H10;47H17

A

1674-232X(2010)03-0200-04

DO I:10.3969/j.issn.1674-232X.2010.03.008

2010-02-07

國家自然科學基金資助項目(10771141);浙江省自然科學基金資助項目(Y605191);杭州師范大學研究生教改項目;杭州師范大學研究生創(chuàng)新基金項目.

余 靜(1986—),女,浙江慈溪人,應用數(shù)學專業(yè)碩士研究生,主要從事非線性泛函分析及其應用的研究.

＊通訊作者:谷 峰(1960—),男,遼寧沈陽人,教授,主要從事非線性泛函分析及其應用的研究.E-mail:gufeng99@sohu.com