楊新平 周彩菊 晏 龍 李 斌

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,云南 楚雄 675000)

非線性的雙目數(shù)碼成像定位模型

楊新平 周彩菊 晏 龍 李 斌

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,云南 楚雄 675000)

利用透視對(duì)應(yīng)鏈的觀點(diǎn)建立雙目定位的非線性模型,該模型參數(shù)實(shí)際含義清楚明了,表達(dá)式直觀準(zhǔn)確,數(shù)據(jù)計(jì)算簡(jiǎn)單流暢,具有很強(qiáng)的創(chuàng)新性。

雙目視別;射影對(duì)應(yīng);透視;空間定位

1 引言

隨著社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)環(huán)境的發(fā)展,對(duì)每一個(gè)家庭或部門(mén)而言,生產(chǎn)及人身安全問(wèn)題日益成為一個(gè)嚴(yán)重的社會(huì)問(wèn)題。解決這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)有的主要方法和手段通常是在不同空間區(qū)域設(shè)置一些數(shù)碼攝像機(jī),通過(guò)數(shù)碼雙目計(jì)算機(jī)視覺(jué)的自適應(yīng)識(shí)別系統(tǒng),得到了兩幅二維圖像,應(yīng)用計(jì)算機(jī)圖像處理、圖像匹配、三維重建等方法,實(shí)現(xiàn)從二維圖像恢復(fù)為場(chǎng)景的三維圖像。這是一種模擬人的雙目視覺(jué)的方法,將此方法應(yīng)用于現(xiàn)有監(jiān)控系統(tǒng),能在很大程度上消除安全隱患問(wèn)題。

80年代美國(guó)麻省理工學(xué)院人工智能實(shí)驗(yàn)室的Marr提出了一種視覺(jué)計(jì)算理論,并將其應(yīng)用在雙目匹配技術(shù)上,這項(xiàng)技術(shù)可以通過(guò)兩張有視覺(jué)差異的平面圖產(chǎn)生有深度的立體圖形,它為雙目立體視覺(jué)發(fā)展理論奠定了基礎(chǔ)。目前雙目計(jì)算機(jī)視覺(jué)識(shí)別技術(shù)不僅只是用于監(jiān)控管理,而且因?yàn)樗母咝院鸵撞僮餍允沟眠@項(xiàng)技術(shù)在社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛運(yùn)用?；谶@樣一個(gè)應(yīng)用背景,對(duì)于與這項(xiàng)技術(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問(wèn)題就成為一個(gè)很有研究?jī)r(jià)值的課題,同時(shí)也是一個(gè)難題,相應(yīng)問(wèn)題的解決可以為計(jì)算機(jī)的模擬及圖形識(shí)別提供數(shù)學(xué)理論依據(jù)。

相機(jī)成像定位模型從現(xiàn)有文獻(xiàn)資料來(lái)看,分成線性模型和非線性模型兩種,文獻(xiàn) [1]解決了機(jī)械手抓取目標(biāo)物的空間位置的確定問(wèn)題,達(dá)到了相應(yīng)的精度要求。文獻(xiàn) [2]解決了攝像機(jī)參數(shù)的標(biāo)定方法,并把標(biāo)定的參數(shù)和出廠參數(shù)作了比較。類(lèi)似的文章較多,但大多數(shù)文獻(xiàn)均是基于已有的數(shù)學(xué)模型 (1)展開(kāi)討論的,并且大量已有文獻(xiàn),都是在參數(shù)矩陣已知或半已知的情況下才開(kāi)展研究的。該模型屬于射影幾何中的線性模型:

至于非線性模型,文獻(xiàn)[3]中用幾何綜合法建立了一個(gè)非線性模型,但該模型中表達(dá)式比較復(fù)雜,閱讀困難,難以理解,圖形直觀性也不夠。

本文采用空間解析幾何的思想,結(jié)合射影幾何的有關(guān)知識(shí),用透視鏈的觀點(diǎn)建立了雙目定位的非線性模型,該模型參數(shù)實(shí)際含義清楚明了,表達(dá)式直觀準(zhǔn)確,數(shù)據(jù)計(jì)算簡(jiǎn)單流暢,這是本文與其他文章的最大差別也是本文的最大創(chuàng)新。

2 非線性模型的建立

實(shí)際應(yīng)用中常用兩部相機(jī)來(lái)定位,對(duì)于物體上一個(gè)特征點(diǎn),用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得特征點(diǎn)的像,分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。當(dāng)知道兩部相機(jī)的相對(duì)位置時(shí),就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)空間位置坐標(biāo)。

如在十字路口設(shè)置的交通監(jiān)管(電子警察),就是用兩臺(tái)像機(jī)確定違章車(chē)輛的位置。通過(guò)對(duì)電子警察觀察后發(fā)現(xiàn),用于攝像的兩部相機(jī),有一部在放置時(shí),基本上保證光軸線與路的中間分界線平行,可以照得車(chē)輛的正面車(chē)牌照片,另一部在放置時(shí),光軸線往往與路的中間分界線有一個(gè)角度,目的是通過(guò)該像機(jī)拍到違章車(chē)輛的側(cè)面像片,從而通過(guò)計(jì)算機(jī)視覺(jué)的自適應(yīng)識(shí)別技術(shù),還原違章車(chē)輛的空間位置。根據(jù)這一點(diǎn)作出模型假設(shè):

(1)兩臺(tái)相機(jī)的配置完全一致,拍攝環(huán)境對(duì)相機(jī)的拍攝效果不產(chǎn)生影響。

(2)兩臺(tái)相機(jī)相對(duì)于地面的高度是等高的。

(3)固定第一臺(tái)相機(jī)的拍攝位置時(shí),盡最大可能保證它的光軸線平行于路的中間分界線從而也就垂直于靶標(biāo)面(被拍目標(biāo)物的特征點(diǎn)所在平面)。

在建立模型之前,為了更清楚闡述建模的思想,先在平面上討論兩臺(tái)平行放置的照相機(jī)模擬人類(lèi)視覺(jué)空間定位的數(shù)學(xué)原理(圖1)以兩臺(tái)相機(jī)的光心A,B為原點(diǎn),平面 EC和DF分別為成像平面,特征點(diǎn) H在兩像平面上的像分別是 C,D,兩像機(jī)的光軸線此時(shí)垂直于靶標(biāo)面MHZ,這是理想狀態(tài),實(shí)際情況是有一臺(tái)相機(jī)的光軸線斜對(duì)著靶標(biāo)面。如果知道像點(diǎn) C,D坐標(biāo),建立求解 H在坐標(biāo)系A(chǔ)-xzy下的空間坐標(biāo)(x,z,y)的數(shù)學(xué)模型。

圖1 雙目立體視覺(jué)成像原理

根據(jù)這一原理,我們將兩個(gè)相機(jī)的空間成像透視原理繪制成圖(圖2)。該圖詳細(xì)刻畫(huà)了兩臺(tái)相機(jī)成像的射影原理,這是本文解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

設(shè)靶標(biāo)所在平面為 PMH,Q為靶標(biāo)面上實(shí)物點(diǎn) P在A相機(jī)(A也代表A相機(jī)的光心)的成像面上的像,Q′為靶標(biāo)面上實(shí)物點(diǎn)P在B相機(jī)(B也代表B相機(jī)的光心)的成像面上的像,P在垂直于成像平面的水平面MHCE(在兩相機(jī)等高的假設(shè)之下,MHCE平面正是A,B及它們的光軸線交點(diǎn)O確定的平面AOB)上投影為H,Q在MHCE面上的投影為C,C就是實(shí)物點(diǎn)H在A相機(jī)的像平面上的像,過(guò)A作靶標(biāo)面 PMH的垂線,垂足為M,交像平面于 E,E為M的像。所以EQC就為實(shí)物M PH在A相機(jī)的像平面上的像,它們構(gòu)成一個(gè)以A為中心,A相機(jī)的像平面與靶標(biāo)面的一個(gè)透視對(duì)應(yīng)關(guān)系,三角形 EQC為三角形M PH的透視三角形。同理,Q′在MHCE面上的投影為D,D就是實(shí)物點(diǎn) H在B相機(jī)的像平面上的像,F為M在B相機(jī)的像平面上的像。在兩相機(jī)等高的假設(shè)下,MHCE平面與MHDF平面是同一平面,三角形FQ′D為三角形M PH的第二組透視三角形。兩次透視構(gòu)成了一個(gè)透視對(duì)應(yīng)鏈。由射影幾何的定理可知,兩次透視形成一個(gè)射影對(duì)應(yīng),將A相機(jī)的像平面上的像點(diǎn)映射成B相機(jī)的像平面上的像點(diǎn)。本文就是根據(jù)這一原理建立一個(gè)非線性的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)該模型可以由兩張像平面上點(diǎn)的坐標(biāo),定位出空間特征點(diǎn)的坐標(biāo)。

首先以A相機(jī)的光心為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,光軸方向AM為z軸,xAy平面平行于A相機(jī)的像平面,建立第一個(gè)右手坐標(biāo)系A(chǔ)-xzy,固定A相機(jī)的位置后,選定空間適當(dāng)位置O點(diǎn)為中心,以適當(dāng)長(zhǎng) R為半徑繞O在平面MHCE內(nèi)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度β,確定位置B。(需要一個(gè)有拍攝經(jīng)驗(yàn)的人參與確定)在B點(diǎn)設(shè)置第二臺(tái)相機(jī),光軸方向沿BO方向,對(duì)靶標(biāo)面 PMH進(jìn)行拍攝,兩臺(tái)相機(jī)的光軸交于O點(diǎn),從而平面MHCE與平面AOB是同一個(gè)平面。

圖2 兩部相機(jī)空間成像原理圖

這樣從兩個(gè)位置實(shí)現(xiàn)了對(duì)靶標(biāo)面 PMH同時(shí)進(jìn)行照相,所成的圖像為三角形 EQC及三角形 FQ′D。記 ∠AOB=β,以B相機(jī)的光軸方向?yàn)?z′軸,x′B y′平面平行于B相機(jī)的像平面建立第二個(gè)右手坐標(biāo)系B-x′z′y′(圖 2)。

在該射影對(duì)應(yīng)中,對(duì)于相機(jī)A來(lái)講,由于QC垂直于MHCE面,PH垂直于MHCE面,所以, QC∥PH。又因?yàn)楣廨S方向AM(z軸)垂直于靶標(biāo)面 PMH,光軸方向AM又垂直于A相機(jī)的像平面,所以A相機(jī)的像平面就平行于靶標(biāo)面 PMH。從而有:

在實(shí)際拍照過(guò)程中,正好相當(dāng)于A相機(jī)的鏡頭正對(duì)著靶標(biāo)面進(jìn)行拍照,如前面所述的電子警察一樣,A相機(jī)這樣設(shè)置是合理的。

在兩坐標(biāo)系 A-xzy及 B-x′z′y′下,設(shè) C(x0,z0,0),H(x,z,0),P(x,z,y),Q(x0,z0,y0), Q′(x′,z′,y′)由 (2.1)得

由透視仿射知識(shí)可知,點(diǎn) H在B相機(jī)像平面上的成像點(diǎn)是D(x′,z′,0)過(guò)H作HN⊥BO, NH在平面MHCE上。

對(duì)于B相機(jī),由物理知識(shí)可知,像距z′、物距BN具有下列關(guān)系(因?yàn)镹的像是

數(shù)碼相機(jī) B拍照時(shí),所成的相為實(shí)像,由物理學(xué)知識(shí)可知:z′>f,上式是有意義的。將(2.5)代入(2.4)得NH

對(duì)于A相機(jī),由物理知識(shí)可知,像距 z0,物距AM=z具有下列關(guān)系(因?yàn)镸的像是 E):數(shù)碼相機(jī)A拍照時(shí),所成的相也是實(shí)像,由物理學(xué)知識(shí)可知:z0>f,上式是有意義的。

將(2.6)、(2.7)式代入(2.3)整理得:

綜合(2.8)、(2.9)、(2.10)得雙數(shù)碼相機(jī)的空間定位的非線性模型:

其中 f為兩相機(jī)的焦距,相機(jī)取定后它的值自然知道。如果兩臺(tái)相機(jī)焦距不同,設(shè)A相機(jī)與B相機(jī)的焦距份別為 f1,f2,只要對(duì)模型(2.11)中的 f稍加改動(dòng),數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)不變,就得到相應(yīng)的模型(2.12)。

3 模型求解和評(píng)價(jià)

圖3 模型求解流程圖

(1)兩臺(tái)相機(jī)拍攝同一個(gè)特征點(diǎn)后得到兩張相片,從兩張相片上得到兩個(gè)像點(diǎn)的坐標(biāo),分別記為 (x0,z0,y0)、(x′,z′,y′),由相機(jī)在設(shè)置時(shí)的具體位置可以知道R及β的值,按照?qǐng)D3的計(jì)算步驟進(jìn)行計(jì)算,最終得到空間特征點(diǎn)的坐標(biāo) (x,z,y)。在數(shù)學(xué)軟件Matlab環(huán)境下,將上述坐標(biāo)按圖 3所示流程,依次代入模型(2.11),可以非常容易地計(jì)算出空間特征點(diǎn)的坐標(biāo)。

(2)在非線性模型中,參數(shù)R,β實(shí)際含義清楚明,模型的表達(dá)式直觀、準(zhǔn)確,模型的數(shù)值計(jì)算非簡(jiǎn)單,實(shí)際應(yīng)用中有很強(qiáng)的可操作性。在設(shè)置兩臺(tái)相機(jī)相對(duì)位置時(shí),需要確定一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢命c(diǎn)O、半徑 R、轉(zhuǎn)角β,需要一個(gè)有實(shí)際攝影經(jīng)驗(yàn)的人員參與這項(xiàng)工作。

(3)由于缺少位于不同位置的兩部相機(jī)實(shí)際拍攝的兩張照片,相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)也就無(wú)法獲得,所以無(wú)法進(jìn)行實(shí)證分析,這是本文的一個(gè)缺陷。但這不影響文中嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和數(shù)學(xué)技巧。實(shí)證部分就只能由相關(guān)領(lǐng)域的人員在具有第一手資料的基礎(chǔ)上展開(kāi)進(jìn)一步討論。

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(責(zé)任編輯 劉洪基)

The NolinearM odel of Binocular D igital I maging Location

YANG Xin-ping;ZHOU Ca i-ju;YAN Long;L I Bin
(Department of M athematics,Chuxiong N or m al University,Chuxiong675000,China)

There are two topics in the CUMCM in 2008(China Undergraduate Mathematical Contest inModeling)which are A and B problems.A topic is about binocular digital imaging location.It is very difficult to solve this problem,and needs clever mathematical skills.Based on the viewpoint of perspective correspondence link,this paper sets up a nolinearmodel of binocular visual location which actualmeaning of parameter is very clear,analytic formula is audio-visual and exact and calculation is simple and easy.The model is new and original.

binocular visual recognition;projective transform;perspective;spatial location.

O224

A

1671-7406(2010)03-0026-06

2009-11-23

楊新平 (1969—),男,云南姚安人,講師,主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。