楊國(guó)華武艷強(qiáng)楊 博張風(fēng)霜韓月萍周海濤董運(yùn)鴻

1)中國(guó)地震局第一監(jiān)測(cè)中心,天津 300180

2)中國(guó)地震局地震預(yù)測(cè)研究所,北京 100036

應(yīng)變計(jì)算與分析的若干問(wèn)題及有關(guān)偏差的修正＊

楊國(guó)華1)武艷強(qiáng)2)楊 博1)張風(fēng)霜1)韓月萍1)周海濤1)董運(yùn)鴻1)

1)中國(guó)地震局第一監(jiān)測(cè)中心,天津 300180

2)中國(guó)地震局地震預(yù)測(cè)研究所,北京 100036

對(duì)多種平面與球面應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算模型進(jìn)行分析,指出何種模型屬于無(wú)偏差應(yīng)變計(jì)算模型,何種模型為有偏差應(yīng)變計(jì)算模型,何種模型偏差可以修正,何種模型只適用于均勻介質(zhì)的應(yīng)變計(jì)算而不能外延,何種模型可以用于作連續(xù)應(yīng)變場(chǎng)的求解與分析;給出利用應(yīng)變結(jié)果計(jì)算球面差異運(yùn)動(dòng) (位移)的修正關(guān)系,并論證了球面應(yīng)變模型中非微分項(xiàng)的含義。

GNSS;水平應(yīng)變計(jì)算;模型適應(yīng)性;偏差修正;應(yīng)變?yōu)V波

1 引言

在應(yīng)變場(chǎng)描述的早期研究中,由于研究的空間尺度較小,通常是將局部球面運(yùn)動(dòng)投影到高斯平面,然后在平面上利用運(yùn)動(dòng) (位移)與應(yīng)變的關(guān)系求解研究區(qū)的應(yīng)變場(chǎng)。隨著 GNSS的引入,研究區(qū)的空間尺度得以擴(kuò)大,在平面上的研究已顯得不適宜,因此球面應(yīng)變計(jì)算模型相繼出現(xiàn)[1-11]。然而,這些模型在理論上并非一致,適用范圍也不盡相同,有的存在偏差,這在一定程度上影響了計(jì)算結(jié)果。此外,由于對(duì)應(yīng)變的廣譜性沒(méi)有得到充分的肯定與了解,也使得應(yīng)變分析變得混亂。為此,本文試圖澄清這一問(wèn)題,使得應(yīng)變計(jì)算與分析準(zhǔn)確、有效。

2 水平應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算模型或計(jì)算式

2.1 平面水平應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算模型或計(jì)算式

在平面直角坐標(biāo)系下,進(jìn)行地形變分析所用的應(yīng)變模型或計(jì)算式可歸為 4類。一類是在已知平面運(yùn)動(dòng)解析式的情況下通過(guò)微分方程求解應(yīng)變,第二類是根據(jù)離散點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)通過(guò)建立應(yīng)變與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系方程求解應(yīng)變,第三類是利用離散邊長(zhǎng)的相對(duì)變化量求解兩個(gè)正交方向上的正應(yīng)變和它們之間的剪應(yīng)變,第四類是基于Delaunay的三角單元法計(jì)算應(yīng)變。

若已知東、北向運(yùn)動(dòng)的解析式 fx(x,y)、fy(x, y),求解應(yīng)變的計(jì)算式為:

若已知離散點(diǎn)東、北向的運(yùn)動(dòng) (位移)vx(xj,yj)、vy(xj,yj),根據(jù)運(yùn)動(dòng)與應(yīng)變關(guān)系方程可求解應(yīng)變:

若已知離散邊長(zhǎng)相對(duì)變化量εj和方位角φj,根據(jù)耶格法建立方程可求解應(yīng)變:

若已知Delaunay三角單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) (xi, yi)和相應(yīng)的水平運(yùn)動(dòng) vx(xi,yi)、vy(xi,yi),通過(guò)建立運(yùn)動(dòng)與位置的平面方程[9]:

然后利用式(1)獲得三角形單元的平均應(yīng)變,即

2.2 球面水平應(yīng)變場(chǎng)計(jì)算模型或計(jì)算式

已知東、北向運(yùn)動(dòng)的解析式 fe(λ,φ)、fn(λ,φ),求解應(yīng)變的計(jì)算式為:

式中R為地球的平均半徑。

已知離散點(diǎn)東、北向的運(yùn)動(dòng) ve(λj,φj)、vn(λj, φj),根據(jù)運(yùn)動(dòng)與應(yīng)變關(guān)系方程可求解應(yīng)變:

已知離散大地線長(zhǎng)相對(duì)變化量εj和方位角φj,根據(jù)耶格法建立方程可求解應(yīng)變:

已知Delaunay三角單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) (λj, φj)和相應(yīng)的水平運(yùn)動(dòng) ve(λj,φj)、vn(λj,φj),同樣仿照平面模式獲得三角形單元的平均應(yīng)變。

2.3 不同情況下計(jì)算模型的差異與適用性

2.3.1 解析法

平面模型式(1)從理論上講僅是忽略了應(yīng)變計(jì)算的高次項(xiàng),由于高次項(xiàng)的數(shù)值非常小,在通常應(yīng)用中將其忽略不會(huì)產(chǎn)生不可接受的問(wèn)題,所以可以認(rèn)為是一個(gè)嚴(yán)密的算式。它可適用于平面非均勻介質(zhì)的連續(xù)應(yīng)變計(jì)算。為了與平面模型對(duì)比,現(xiàn)將球面模型式(4)做等價(jià)變換,為:

式中,sλ和 sφ分別為經(jīng)、緯向大地線長(zhǎng)度。從形式上則不難發(fā)現(xiàn),東向應(yīng)變多了算項(xiàng),剪切應(yīng)變也多了算項(xiàng),而且是非微分項(xiàng)。由此使人產(chǎn)生誤解,認(rèn)為球面應(yīng)變計(jì)算與運(yùn)動(dòng)基準(zhǔn)有關(guān);由于運(yùn)動(dòng)基準(zhǔn)的相對(duì)性,感覺(jué)難以適從,此外這還與通常的應(yīng)變分析中與基準(zhǔn)無(wú)關(guān)的認(rèn)識(shí)相悖,所以蓋模型沒(méi)有得到廣泛應(yīng)用。實(shí)際上這是由于坐標(biāo)系統(tǒng)的不一致所出現(xiàn)的現(xiàn)象。

為了簡(jiǎn)要地說(shuō)明這一問(wèn)題,假定坐標(biāo)的“北”向(“經(jīng)”線)間是平行的,類似于卯酉圈,這時(shí)質(zhì)元可向“北”作無(wú)形變運(yùn)動(dòng);然而,用現(xiàn)行球面坐標(biāo)的定義卻無(wú)法給出直接的描述。換句話說(shuō),現(xiàn)行的北向運(yùn)動(dòng)僅是上述無(wú)形變“北”向運(yùn)動(dòng)的投影,因此質(zhì)元向“北”向運(yùn)動(dòng)時(shí),現(xiàn)行北向運(yùn)動(dòng)的投影描述則必然顯示經(jīng)向間的距離在縮短,即出現(xiàn)了偏差。若假定質(zhì)元的“北”向運(yùn)動(dòng)為 fN(λ,φ),當(dāng)Δ λ→0時(shí),則 fn(λ,φ)→fN(λ,φ)、Δ λ→sinΔ λ,那么由于北向投影所造成經(jīng)度方向運(yùn)動(dòng)的變化量為:

相應(yīng)地東向應(yīng)變偏差則為:

與式(9)中東向應(yīng)變的非微分項(xiàng)大小相等,方向相反。對(duì)于北向應(yīng)變不論運(yùn)動(dòng)質(zhì)元向何方向運(yùn)動(dòng),其應(yīng)變量均不存在偏差,但剪切應(yīng)變卻不然,這是因?yàn)樵谇蛎嫔蠠o(wú)形變質(zhì)元運(yùn)動(dòng),其角速度不變,線速度在平行圈間(如緯度)是不同的。然而,實(shí)際計(jì)算剪應(yīng)變是用線速度,所以必然出現(xiàn)偏差,這種偏差只存在于東向運(yùn)動(dòng),其大小為:

相應(yīng)地剪切應(yīng)變偏差則為:

剪切應(yīng)變偏差大小與剪切應(yīng)變算式中的非微分項(xiàng)相等,符號(hào)相反。

分析表明,在球面上計(jì)算應(yīng)變,直接套用直角坐標(biāo)系下的應(yīng)變算式是有偏的。式 (4)則是應(yīng)變計(jì)算的無(wú)偏算式,它適合于球面非均勻介質(zhì)連續(xù)應(yīng)變場(chǎng)的計(jì)算與分析。

然而,盡管我們已經(jīng)明了非微分項(xiàng)源于對(duì)偏差的修正,但運(yùn)動(dòng)必然涉及到基準(zhǔn)問(wèn)題。由上述推導(dǎo)可知,這里的運(yùn)動(dòng)在球面上帶有某種絕對(duì)性,故目前無(wú)法給出嚴(yán)格精確的結(jié)果。現(xiàn)假定地球表面在水平運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生地球表面積變化之和為零,那么在全球范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)若滿足

則可認(rèn)為該運(yùn)動(dòng)在地球表面上具有絕對(duì)性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。式中D是整個(gè)地球表面的空間范圍;dm是質(zhì)量元;r、V是 dm的位置矢量和速度矢量。ITRF參考框架早期是以這一準(zhǔn)則而獲得的,ITRF2000、ITRF2005雖不嚴(yán)格符合這一要求,但偏差很小。這就是說(shuō),當(dāng)前應(yīng)變修正量計(jì)算所用的運(yùn)動(dòng)結(jié)果依ITRF參考框架所給出的運(yùn)動(dòng)結(jié)果方可。因此,式(4)的恰當(dāng)使用可獲得球面連續(xù)無(wú)偏應(yīng)變場(chǎng)。

2.3.2 離散運(yùn)動(dòng)法

當(dāng)無(wú)法獲得運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的解析式但研究區(qū)內(nèi)具有離散測(cè)點(diǎn)及其相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí),通常通過(guò)運(yùn)動(dòng)與應(yīng)變的關(guān)系方程求解應(yīng)變。在平面上利用式 (2),在球面上利用式(5)。式(2)為嚴(yán)密關(guān)系方程,由此所獲得的應(yīng)變是無(wú)偏差的,但它的適用范圍只是在均勻介質(zhì)條件下。如果將求解 3個(gè)應(yīng)變參量,通過(guò)一定的方法轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼?3個(gè)應(yīng)變參量解析式,則可適用于連續(xù)應(yīng)變場(chǎng)的求解,但目前尚未獲得較為理想的結(jié)果,能獲取的主要是低頻信息或中低頻以內(nèi)的信息。就式(5)而言,實(shí)質(zhì)上與式 (2)一致,整體運(yùn)動(dòng) 3個(gè)參量、應(yīng)變 3個(gè)參量,都適用相對(duì)運(yùn)動(dòng)量計(jì)算應(yīng)變參量,所不同的是坐標(biāo)系統(tǒng)。由上述分析可知,由于坐標(biāo)系統(tǒng)非直角坐標(biāo)系統(tǒng),故后者必然存在偏差,若偏差得以修正,則它的適用范圍與式(2)同。

2.3.3 線應(yīng)變法

式(3)與式 (6)實(shí)際是通過(guò)不同方向的應(yīng)變量求解兩個(gè)正交方向上的正應(yīng)變和它們之間的剪應(yīng)變。不論在平面還是在球面上,均不存在偏差。但如果用三角形邊長(zhǎng)的應(yīng)變量求解兩個(gè)正交方向上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變,并通過(guò)空間上各個(gè)三角形所求的正應(yīng)變和剪應(yīng)變進(jìn)行連續(xù)應(yīng)變場(chǎng)模擬分析是不適宜的,這時(shí)則存在不可修正的偏差。為了解釋這一問(wèn)題現(xiàn)舉例說(shuō)明。假定連續(xù)形變塊體A內(nèi)有5個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn),其差異運(yùn)動(dòng)結(jié)果如圖 1所示。很顯明,這是一個(gè)存在變形的塊體。若運(yùn)動(dòng)恰好分別符合以兩個(gè)三角形重心為圓心、半徑相同時(shí)所給出的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)果,那么依式 (3)、(6)計(jì)算應(yīng)變則必然為零。由此得出了無(wú)形變的結(jié)論,這顯然是錯(cuò)誤的。所以,這種方法只能用于均勻介質(zhì)形變塊體的應(yīng)變求解,不適用非均勻介質(zhì)塊體的連續(xù)應(yīng)變求解。

圖 1 塊體A的相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Sket of the relative motion of blockA

2.3.4 Delaunay三角單元法

Delaunay三角單元法是當(dāng)前使用較多的一種方法,并“以元代面”的方式使應(yīng)變?cè)诳臻g上連續(xù)起來(lái)。在平面上該方法計(jì)算結(jié)果其一與三角形的組成有關(guān)(即多解性);其二相鄰單元的應(yīng)變計(jì)算彼此間互不顧及;其三,由于三角形的頂點(diǎn)分布不均勻 (即非等邊),所以計(jì)算所得到的應(yīng)變結(jié)果并不在同一頻譜域內(nèi),這是該方法在使用中應(yīng)注意或存在的最大問(wèn)題。因?yàn)椴煌l譜域的應(yīng)變值相差可以大到以數(shù)量級(jí)計(jì),所以在進(jìn)行空間對(duì)比分析時(shí),很容易得出不正確的結(jié)論。此外,如果使用式 (2)、(5)進(jìn)行計(jì)算,由圖 1可知,不僅上述問(wèn)題依舊,就連續(xù)應(yīng)變場(chǎng)分析來(lái)說(shuō)還存在失真問(wèn)題。

3 由球面應(yīng)變結(jié)果計(jì)算位移 (運(yùn)動(dòng))的關(guān)系式

在某些情況下或分析研究的需求,需要利用連續(xù)應(yīng)變(率)參量求解連續(xù)位移參量。在平面坐標(biāo)系統(tǒng)下根據(jù)式(2)有

由式(15)可獲取研究區(qū)的相對(duì)位移。但在球面上則不能直接用無(wú)偏連續(xù)應(yīng)變參數(shù)計(jì)算,故還需由式(16)才能獲得球面坐標(biāo)系下相對(duì)位移的正確結(jié)果。

4 有偏模型獲得水平應(yīng)變場(chǎng)的修正

應(yīng)變計(jì)算中,由于大部分學(xué)者更多地是使用式(5)或式 (2)。通過(guò)分析可知,盡管有偏,但可修正。對(duì)于較高頻的應(yīng)變 (量級(jí)在 10-8及以上)根據(jù)實(shí)際情況可以考慮忽略這一修正,但對(duì)低頻應(yīng)應(yīng)變 (量級(jí)在 10-9)則不能忽略,因?yàn)樗鼈兓旧咸幵谕粋€(gè)量級(jí)上。修正算式如下:

該式所用的運(yùn)動(dòng)結(jié)果是 ITRF參考框架下的運(yùn)動(dòng)結(jié)果。筆者以 1999—2007年 GNSS平均運(yùn)動(dòng)速率為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果表明:中國(guó)大陸東向應(yīng)變率修正量大小分布的變化范圍為 -2.5～3.0,在空間的變化過(guò)程為西大東小,西部地區(qū)的變化梯度較大,東部較小;東、北向剪切應(yīng)變修正量的變化范圍為0.9～2.8,從變化趨勢(shì)看為北大南小。此外,以上述3個(gè)應(yīng)變量為基礎(chǔ)進(jìn)一步計(jì)算,如最大主應(yīng)變、最小主應(yīng)變、最大剪切應(yīng)變和面應(yīng)變等都存在相應(yīng)的變化。由此可知,應(yīng)變修正量在低頻應(yīng)變及弱形變地區(qū)(如中國(guó)東部地區(qū))分析中是不可缺少的。

5 應(yīng)變分析中的廣譜性問(wèn)題

當(dāng)前在應(yīng)變分析中的廣譜性問(wèn)題多被忽略或沒(méi)有得到應(yīng)有的重視,造成了利用同一運(yùn)動(dòng)結(jié)果而得到的應(yīng)變結(jié)果差異甚大,讓人們有無(wú)所適從之感。這除了存在模型選用不恰當(dāng)或模型不完善的問(wèn)題外,還與數(shù)據(jù)采用點(diǎn)的空間分布與取用有關(guān),尤其觀測(cè)值存在明顯的誤差干擾則更是如此。我們不能否認(rèn)的一個(gè)問(wèn)題是,依據(jù)當(dāng)前的測(cè)站密度與觀測(cè)誤差,如果不進(jìn)行進(jìn)一步處理,其應(yīng)變信息與誤差干擾的量級(jí)基本相當(dāng),尤其在中國(guó)東部地區(qū)。我們不應(yīng)該回避這一問(wèn)題,同時(shí)我們也必須清楚地殼介質(zhì)是非各向同性的,應(yīng)變具有廣譜性是一個(gè)基本的事實(shí)。這就是說(shuō),即使采用無(wú)偏差應(yīng)變計(jì)算模型,而接下來(lái)的進(jìn)一步處理做與不做,如何做,最后所得到的結(jié)果仍然不一定相同。圖 2是采用式(4)計(jì)算川滇地區(qū)1999—2007年?yáng)|、北向剪切應(yīng)變率并在不同的后處理情況下所得到的結(jié)果[12]。由此我們可以看到,計(jì)算結(jié)果的不同可能存在兩個(gè)方面的原因:其一是模型使用不恰當(dāng),其結(jié)果具有失真性;其二是模型使用恰當(dāng),但由于信息分離的不同而造成了差異,即應(yīng)變所包含的譜域范圍不同,它不屬于錯(cuò)誤。圖 2(a)結(jié)果所包含的應(yīng)變譜域相對(duì)較寬,高頻應(yīng)變成分較為豐富,圖 2(b)結(jié)果所包含的應(yīng)變譜域相對(duì)較窄,主要側(cè)重于較低頻應(yīng)變信息的描述。

6 結(jié)語(yǔ)

在球面連續(xù)應(yīng)變分析中所存在的問(wèn)題主要有兩方面:模型選用不恰當(dāng)以及有的模型存在偏差。因此,使球面應(yīng)變分析產(chǎn)生了混亂。筆者舉薦球面無(wú)偏差計(jì)算模型式(4),該式不但沒(méi)有偏差,而且可包含各種頻譜的應(yīng)變信息 (依測(cè)站密度所能表征的),故可利用濾波方法分離出所需要的應(yīng)變信息[12];以三角形邊長(zhǎng)相對(duì)變化為依托的耶格法在連續(xù)計(jì)算與分析中應(yīng)該拋棄;以式 (5)為依托的連續(xù)應(yīng)變計(jì)算是有偏差的,在低頻應(yīng)變分析中是不可忽略的,通過(guò)偏差修正則可得到無(wú)偏結(jié)果,可謹(jǐn)慎使用,Delaunay三角單元法 (斜面法)通過(guò)偏差修正后雖可進(jìn)行的連續(xù)應(yīng)變分析,但在實(shí)際中難以滿足等邊條件,故形變信息比較混雜。此外,如果利用無(wú)偏應(yīng)變結(jié)果計(jì)算相對(duì)運(yùn)動(dòng),則需按要求進(jìn)行有偏處理。

圖 2 川滇地區(qū)東、北向間剪切應(yīng)變率Fig 2 Results of shear strain rate between E and N

致謝 感謝王敏研究員提供的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)結(jié)果!

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11 劉序儼,黃聲明,梁全強(qiáng).旋轉(zhuǎn)橢球面上的應(yīng)變與轉(zhuǎn)動(dòng)張量表達(dá) [J].地震學(xué)報(bào),2007,29(3):240-249.(Liu Xuyan,Huang Shengming and Liang Quanqiang.Expression of strain and rotation tensor in geodetic coordinates [J].Acta Seismologica Sinica,2007,29(3):240-249)

12 楊博,張風(fēng)霜,韓月萍.球面水平應(yīng)變場(chǎng)無(wú)偏差計(jì)算的實(shí)現(xiàn)與濾波 [J].(待刊)(Yang Bo,Zhang Fengshuang and Han Yueping.No-deviation calculation and filtering of spherical horizontal strain field[J].(to be published))

SEVERAL PROBLEM S OF STRA IN CALCULATI ON AND ANALYSIS AND CORRECTI ON OF RELATED DEVIATI ON

Yang Guohua1),Wu Yanqiang2),Yang Bo1),Zhang Fengshuang1),
Han Yueping1),Zhou Haitao1)and Dong Yunhong1)
1)First CrustM onitoring and Application Center,CEA,Tianjin 300180
2)Institute of Earthquake Science,CEA,B eijing 100036

There existsmany kindsof calculation modelsof plane and spherical strain fields,but the results are different.It is analyzed the representative models,and points outwhich model has unbias aswell aswhich one has deviation,which models deviation can be corrected aswell aswhich one can only be used to the strain computing of unifor m medium but can not be extended and which model can be used the calculation and analysis of continuous strain field.Besides,it’s also provides the correction relationship for computing spherical difference movement (displacement)by strain results,and demonstrates themeaning of the non-differential ter m in spherical strain model.

GNSS;horizontal strain calculation;model applicability;deviation correction;strain filtering

P551

A

1671-5942(2010)04-0059-05

2009-12-12

中國(guó)地震局地震預(yù)測(cè)研究所基本科研業(yè)務(wù)專項(xiàng)(02092401);“十一五”國(guó)家科技支撐課題(2006BAC01B03-01-01);中國(guó)地震局“強(qiáng)化華北地區(qū)強(qiáng)震監(jiān)視跟蹤項(xiàng)目”

楊國(guó)華,男,1957年生,研究員,從事地殼形變及其動(dòng)力學(xué)研究.E-mail:ygh5710@136.com