莫文輝

(湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院機(jī)械系,湖北十堰442002)

基于隨機(jī)場(chǎng)的動(dòng)力分析

莫文輝

(湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院機(jī)械系,湖北十堰442002)

考慮材料空間多樣性,材料性能特性例如彈性模量或波松比被看成隨機(jī)過(guò)程。本文采用隨機(jī)場(chǎng)的中心點(diǎn)方法,在材料性能特性、幾何尺寸、所受載荷被看成隨機(jī)的情況下,結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程先用Newmark法轉(zhuǎn)化為靜力問(wèn)題。二階Taylor展開(kāi)隨機(jī)有限元被用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析,推導(dǎo)簡(jiǎn)單,易于編程。給出了基于隨機(jī)有限元的混凝土懸臂梁的振動(dòng)分析的一個(gè)計(jì)算實(shí)例,對(duì)計(jì)算結(jié)果做了比較,本文提出的方法是有效的。

Taylor;隨機(jī)有限元;動(dòng)力;分析

0 導(dǎo)言

巖土材料以及混凝土材料的彈性模量等許多結(jié)構(gòu)材料的物理參數(shù)具有明顯的空間差異性,將它們視為隨機(jī)場(chǎng)加以研究。隨機(jī)場(chǎng)的離散是各種隨機(jī)有限元方法均需解決的問(wèn)題,隨機(jī)場(chǎng)的離散形式對(duì)隨機(jī)有限元的計(jì)算和計(jì)算精度有著決定性的影響。最簡(jiǎn)單的離散是中心點(diǎn)法[1]。隨機(jī)場(chǎng)的局部平均法將一個(gè)單元的隨機(jī)場(chǎng)通過(guò)該單元的空間平均來(lái)描述[2][3]。隨機(jī)場(chǎng)可以用形狀函數(shù)和單元的節(jié)點(diǎn)值來(lái)描述[4]。利用 Karhunen-Loeve定理將隨機(jī)場(chǎng)離散成級(jí)數(shù)展開(kāi)[5]。隨機(jī)場(chǎng)局部積分法在單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)過(guò)程中采用隨機(jī)場(chǎng)在單元上的加權(quán)積分以考慮材料參數(shù)的隨機(jī)場(chǎng)[6][7]。隨機(jī)場(chǎng)采用級(jí)數(shù)展開(kāi)表示,運(yùn)用線性估計(jì)優(yōu)化理論,使方差的誤差最小[8]。

攝動(dòng)隨機(jī)有限元應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析,振動(dòng)微分方程組中的Ma(b,t)+f(d,v,b)=F(b,t)中的a、F、f用泰勒展開(kāi),并分別令0階項(xiàng)、1階項(xiàng)、2階項(xiàng)相等,得到一組微分方程組,求解該微分方程組后,可獲得d、v、a的均值和協(xié)方差[4]。將載荷看作隨機(jī)過(guò)程,用攝動(dòng)隨機(jī)有限元研究了隨機(jī)載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)[9]。用攝動(dòng)隨機(jī)有限元研究了結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng),給出了結(jié)構(gòu)在隨機(jī)幾何參數(shù)、隨機(jī)材料參數(shù)、隨機(jī)載荷作用下的非線性振動(dòng)的分析方法[10]。研究了諧波隨機(jī)激勵(lì)作用下的,多自由度隨機(jī)線性系統(tǒng)的振動(dòng),運(yùn)用了Neumann展開(kāi)隨機(jī)有限元[11]。

本文基于隨機(jī)場(chǎng)離散的中點(diǎn)法。用Newmark法將振動(dòng)微分方程組轉(zhuǎn)化為線性方程。把材料性能參數(shù)看成隨機(jī)的,運(yùn)用 Taylor展開(kāi)隨機(jī)有限元,對(duì)結(jié)構(gòu)的線性振動(dòng)進(jìn)行了研究。

1 隨機(jī)場(chǎng)[12]

隨機(jī)場(chǎng)最簡(jiǎn)單的離散方法是中點(diǎn)法。在一個(gè)網(wǎng)格范圍Ωe內(nèi)的隨機(jī)場(chǎng)用一個(gè)代替網(wǎng)格中點(diǎn)值的隨機(jī)變量來(lái)描述。

隨機(jī)場(chǎng)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)用網(wǎng)格中點(diǎn)來(lái)估算。

材料特性的空間變異性,例如彈性模量或波松比被假設(shè)為二維齊次隨機(jī)過(guò)程。材料性能的波動(dòng)部分被假設(shè)有0的均值。

自相關(guān)函數(shù)為

如果空間變異的隨機(jī)性是各向同性的,空間變異的自相關(guān)函數(shù)被假設(shè)是距離|ξ|的函數(shù)。一個(gè)各向同性的自相關(guān)函數(shù)如下所示

d是一個(gè)正數(shù),隨著它越大,相關(guān)性慢慢地消失。實(shí)際上,對(duì)自相關(guān)函數(shù)而言,d是相關(guān)性的一個(gè)度量尺度。σ0是隨機(jī)場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差。為了符合假設(shè)的自相關(guān)函數(shù),譜密度函數(shù)為

用有限元方法把結(jié)構(gòu)劃分為合適數(shù)量的小的單元。如果共有n個(gè)單元,那么聯(lián)系n個(gè)單元就有n個(gè)材料性能值。考慮齊次隨機(jī)場(chǎng)的波動(dòng)部分,假設(shè)材料性能變異圍繞均值波動(dòng)。ai=a(xi)(i=1,2,…,n)是n個(gè)隨機(jī)的值。它們的均值為0,協(xié)方差矩陣Caa描述相關(guān)特性,單元i、單元 j的相關(guān)性為

其中ξij=xi-yj,為單元中點(diǎn)和單元中點(diǎn)的距離。彈性模量的均值為 c1(1.0+θ1xi/L),網(wǎng)格中點(diǎn)的彈性模量的協(xié)方差為c2(1.0+θ2xi/l),c1、c2、θ1、θ2、l、L為常數(shù),xi為網(wǎng)格的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)?；陔S機(jī)場(chǎng)的中點(diǎn)法,用直接Monte Carlo方法,Taylor二階展開(kāi)法對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行計(jì)算。圖2所示結(jié)構(gòu)振動(dòng)的505節(jié)點(diǎn)的位移均值。Taylor二階展開(kāi)法計(jì)算結(jié)果與直接 Monte Carlo法很接近。直接Monte Carlo法模擬100次。眾所周知,隨著模擬次數(shù)增加,逐步逼近精確解。二階 Taylor展開(kāi)法與直接Monte Carlo法比較位移均值很接近。圖3所示結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)505振動(dòng)位移的偏差。二階 Taylor展開(kāi)法與直接Monte Carlo法比較位移偏差很接近。

4 結(jié)論

2 Taylor展開(kāi)隨機(jī)有限元方法

對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng),動(dòng)力平衡方程為

采用Newmark法把動(dòng)力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的靜力問(wèn)題

本文基于隨機(jī)場(chǎng)的中點(diǎn)法,研究了二階 Taylor展開(kāi)隨機(jī)有限元?jiǎng)恿Ψ治龅挠?jì)算方法。二階 Taylor展開(kāi)隨機(jī)有限元被推廣到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析。以懸臂梁為例進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算。

結(jié)構(gòu)的彈性模量看成 n個(gè)隨機(jī)變量 a1,a2,…,ai,…,an

(8)式可以改寫(xiě)為

從t時(shí)刻的狀態(tài)出發(fā),求出位移的均值、方差。一步一步地迭代可求得在t+t1△t(i1=2,3,…,n1)時(shí)刻位移的均值、方差。詳細(xì)計(jì)算過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。處進(jìn)行展開(kāi),并在兩邊同時(shí)取均值,可得

3 計(jì)算實(shí)例

圖1所示為懸臂梁。它的長(zhǎng)度為1 000,寬度為200,高度為50,承受載荷。懸臂梁的材料為混凝土,劃分為400個(gè)矩形網(wǎng)格,505個(gè)節(jié)點(diǎn),400個(gè)中點(diǎn)。彈性模量看作一個(gè)任意隨機(jī)過(guò)程,網(wǎng)格中點(diǎn)的

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Dynamic Analysis Based on Stochastic Field

MO Wen-hui
(Mechanical Department,Hubei University of Automotive Technology,Shiyan 442002,China)

Due to spatial variability of material property,Young’s modulus is assumed to be a stochastic process.The midpoint method of stochastic field is adopted.Material properties,geometry parameters and applied loads are assumed to be stochastic;the vibration equation of structure is transformed to a static problem using the Newmark method.The Taylor expansion stochastic finite element method(TSFEM)is extended for the structural vibration analysis,which is easy to derive and program.An example is given respectively and calculated results are compared to validate the proposed method.

Taylor;stochastic finite element;dynamic;analysis

book=2,ebook=83

TB12

A

1008-4738(2010)03-0107-03

2010-04-20

莫文輝(1969-),男,湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院機(jī)械系副教授,博士,研究方向:工程力學(xué),機(jī)械可靠性。