施泱

(山西大學(xué)工程學(xué)院，山西太原 030013）

用弧微分向量證明重積分換元定理

施泱

(山西大學(xué)工程學(xué)院，山西太原 030013）

利用曲線坐標(biāo)系中的弧微分向量，建立了坐標(biāo)系變換中面積元素與體積元素之間的關(guān)系，從而給出了重積分換元定理的簡(jiǎn)潔證明方法.

弧微分 面積元素 體積元素 換元法

傳統(tǒng)的重積分換元定理的證明方法是從幾何的角度建立不同坐標(biāo)系下面積微元、體積微元的聯(lián)系，證明過(guò)程非常繁瑣.本文利用微分及弧微分的概念，引入一種無(wú)窮小向量，弧微分向量，并利用向量的向量積及混合積為工具，直接建立了坐標(biāo)系變換中，面積元素、體積元素之間的關(guān)系

1 二重積分換元定理的證明

定理1 設(shè)f(x，y)在xoy平面上的閉區(qū)域D上連續(xù)，變換T∶x=x(u，v)，y=y(u，v)，將uov平面上的閉區(qū)域D′變?yōu)閤oy平面上的閉區(qū)域D，且滿足

(1)x=x(u，v)，y=y(u，v)在D′上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);

(2)在D′上雅可比式

(3)變換D′→D是一對(duì)一的則有

圖1 直角坐標(biāo)變換圖

圖2 弧微分向量變換圖

2 三重積分換元定理的證明

定理2 設(shè)f(x，y，z)在空間oxyz上的閉區(qū)域Ω上連續(xù)，變換T∶x=x(u，v，w)，y=y(u，v，w)，z=z(u，v，w)將空間ouvw上的閉區(qū)域Ω′變?yōu)閛xyz上的閉區(qū)域Ω，且滿足

(1)x=x(u，v，w)，y=y(u，v，w)，z=z(u，v，w)在Ω′上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);

(2)在Ω′上雅可比式

(3)變換Ω′→Ω是一對(duì)一的

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A Proof of M ultip le Integral Substitution Theorem by Arc Differential Vector

SHIYang
(Engineering College,ShanxiUniversity，Taiyuan Shanxi,030013)

By using the arc differential vector of curvilinear coordinate system，this paper establishes the relationship between area elementand volume element，and thus presents a simplermethod of provingmultiple integral substitution theorem.

arc differential;area element;volume element;substitution

O177.6

A

〔編輯 高海〕

1674－0874（2010）04－0018－02

2010-04-23

施泱(1968-)，男，山西太原人，講師，研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué).