畢 磊, 肖本賢, 于海濱, 郁 伉

(合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,安徽合肥 230009)

0 引 言

在數(shù)控機(jī)床加工過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)遇到2種誤差：跟蹤誤差和輪廓誤差[1]。跟蹤誤差是某一時(shí)刻期望位置與實(shí)際位置之間的距離;而輪廓誤差是實(shí)際位置到期望輪廓之間的距離。這2種誤差中,輪廓誤差對(duì)加工精度有更重要的影響。輪廓誤差是由各個(gè)軸的誤差耦合而成。由于系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí),各個(gè)軸不可避免地受到負(fù)載擾動(dòng)和參數(shù)不匹配的影響,因而不可避免地形成了輪廓誤差。文獻(xiàn)[2]研究了伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性對(duì)機(jī)床加工精度的影響,所得結(jié)果說(shuō)明了這一點(diǎn)。因此,本文在利用干擾觀測(cè)器提高單軸精度的基礎(chǔ)上,針對(duì)交叉耦合,利用預(yù)測(cè)的思想進(jìn)一步減小輪廓誤差,提高加工精度。

1 輪廓誤差分析

跟蹤誤差與輪廓誤差示意圖,如圖1所示。

圖1 跟蹤誤差與輪廓誤差示意圖

圖1 中,e表示某一時(shí)刻的跟蹤誤差(瞬時(shí)點(diǎn)實(shí)際位置與期望位置之間的誤差),ε表示某一時(shí)刻的輪廓誤差(瞬時(shí)點(diǎn)實(shí)際位置距離期望位置在軌跡法線(xiàn)方向上的偏差),其中,ex、ey表示跟蹤誤差在x、y軸上的分量;

εx、εy表示輪廓誤差在x、y軸上的分量。

ε可用(1)～(3)式來(lái)表示,即其中,θ是指定位置軌跡切線(xiàn)與x軸的夾角。實(shí)際運(yùn)行時(shí),各軸的位置誤差ex、ey能實(shí)時(shí)地檢測(cè)出來(lái),而sinθ、cosθ的計(jì)算如下：

2 系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)

2.1 干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

干擾觀測(cè)器的基本思想,是將外部力矩干擾以及模型參數(shù)變化造成的實(shí)際對(duì)象與名義模型輸出的差異等效到控制輸入端,即觀測(cè)出等效干擾。在控制中引入等效的補(bǔ)償,實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的完全控制。其基本結(jié)構(gòu)如圖2所示[3]。

但對(duì)于實(shí)際的物理情況,其實(shí)現(xiàn)存在如下問(wèn)題：①通常情況下,G P(s)的相對(duì)階不為零,其逆在物理上難以實(shí)現(xiàn);②對(duì)象G P(s)的精確數(shù)學(xué)模型無(wú)法得到;③考慮到測(cè)量噪聲的影響,該方法的控制性能將下降。

圖2 干擾觀測(cè)器基本結(jié)構(gòu)

鑒于上述問(wèn)題可用圖3等效。

圖3 改進(jìn)后的干擾觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖

其中,Δ(s)是可變的傳遞函數(shù)。由魯棒穩(wěn)定性分析,干擾觀測(cè)器Q(s)魯棒穩(wěn)定的充分條件是[3]：

(7)式是Q(s)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ),通過(guò)Q(s)的設(shè)計(jì),可以實(shí)現(xiàn)魯棒性[4]。忽略非建模動(dòng)態(tài)和不確定性的影響,對(duì)于一個(gè)二階系統(tǒng),G n(s)?？擅枋鰹?其中,J n為等效慣性力矩;b n為等效阻尼系數(shù)。

通過(guò)低通濾波器Q(s)的設(shè)計(jì)可以較好地抵抗外加干擾,理想的Q(s)階數(shù)應(yīng)比執(zhí)行機(jī)構(gòu)的階數(shù)高1或2。對(duì)于二階對(duì)象系統(tǒng),常采用如下簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)形式的3階低通濾波器：

其中,ωc為低通濾波器Q(s)的截止頻率。增加ωc的值可以增加Q(s)的帶寬,能夠更加有效地抑制干擾。但是隨著ωc的增加,系統(tǒng)的穩(wěn)定性就會(huì)降低。因此,ωc的選擇[5]要兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾效果。理論上Q(s)的階數(shù)越高,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能越好,但是也會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況。

本文的干擾觀測(cè)器旨在為每個(gè)軸設(shè)計(jì)一個(gè)高性能的閉環(huán)控制器,并且可以有效地預(yù)測(cè)單軸系統(tǒng)內(nèi)部和外部的干擾[6,7]。干擾觀測(cè)器不需要對(duì)干擾信號(hào)建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型,其結(jié)構(gòu)也較為簡(jiǎn)單,有利于滿(mǎn)足實(shí)時(shí)需要。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),系統(tǒng)的干擾可以歸結(jié)為外部擾動(dòng)以及由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)和其理想數(shù)學(xué)模型之間的參數(shù)變化而產(chǎn)生的誤差,因此利用干擾觀測(cè)器對(duì)干擾信號(hào)進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)和補(bǔ)償,在一定的誤差內(nèi)就可以將實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)的模型用其參考模型來(lái)替代。在這里形成一個(gè)雙閉環(huán)結(jié)構(gòu),內(nèi)環(huán)為干擾觀測(cè)器,外環(huán)用傳統(tǒng)的PID控制,如圖4所示。

圖4 基于干擾觀測(cè)器的單軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.2 基于一次指數(shù)平滑模型的交叉耦合控制

指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)法[8-10]在經(jīng)典預(yù)測(cè)、控制模型中得到了廣泛的應(yīng)用,是組合預(yù)測(cè)中的重要方法之一。

其中,α為平滑系數(shù),為0～1之間的定常值,屬于靜態(tài)參數(shù)。

由(9)式可以推出：

由(10)式可以看出,指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)法有4個(gè)顯著的特點(diǎn)：①利用全部歷史數(shù)據(jù)和相關(guān)信息;②遵循“厚近薄遠(yuǎn)”的原則加權(quán)平均,修勻數(shù)據(jù);③公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,且每一項(xiàng)及其參數(shù)有明確的含義;④預(yù)測(cè)速度快,需要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)少,計(jì)算簡(jiǎn)單,適合于長(zhǎng)時(shí)間的預(yù)測(cè)。

在工業(yè)領(lǐng)域中很多情況下,預(yù)測(cè)控制都只局限于過(guò)程控制,而快速系統(tǒng)要求控制算法的計(jì)算周期必須限制在很短的范圍內(nèi),因此預(yù)測(cè)控制在伺服系統(tǒng)中并不多見(jiàn)。但是預(yù)測(cè)算法用于伺服系統(tǒng)時(shí),用來(lái)描述過(guò)程動(dòng)態(tài)行為的信息是直接從生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)到的過(guò)程響應(yīng),且不需要事先知道過(guò)程模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的有關(guān)先驗(yàn)知識(shí),也不必通過(guò)復(fù)雜的系統(tǒng)辨識(shí)來(lái)建立過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)不斷地檢測(cè)系統(tǒng)輸出與預(yù)測(cè)模型輸出的誤差來(lái)進(jìn)行校正,能在一定程度上克服預(yù)測(cè)模型誤差和某些不確定干擾等影響,使系統(tǒng)的魯棒性得到增強(qiáng)[11]。

對(duì)于本文輪廓誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償系統(tǒng),預(yù)測(cè)補(bǔ)償?shù)幕具^(guò)程是：實(shí)時(shí)檢測(cè)系統(tǒng)各個(gè)單軸的跟蹤誤差,并且與上一時(shí)刻對(duì)這一時(shí)刻跟蹤誤差的預(yù)測(cè)值共同預(yù)測(cè)出下一時(shí)刻的跟蹤誤差,并由交叉耦合預(yù)測(cè)出輪廓誤差,再由分派公式計(jì)算各單軸輪廓誤差補(bǔ)償控制量,對(duì)控制器的輸出進(jìn)行提前修正。

跟隨誤差的遞推形式為：

由(11)式對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行預(yù)測(cè),可以計(jì)算出輪廓誤差,再利用交叉耦合的思想將輪廓誤差分配到各個(gè)軸上?；窘Y(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 帶預(yù)測(cè)法的交叉耦合控制結(jié)構(gòu)圖

圖5 中ux,t+1、uy,t+1為經(jīng)過(guò)誤差比例調(diào)節(jié)后得到的各軸輪廓誤差補(bǔ)償控制量,計(jì)算公式為：

因此經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)并且由交叉耦合控制修正后,各軸對(duì)應(yīng)的控制器實(shí)際輸入為：

其中的±要看輪廓誤差的實(shí)際方向情況而定。

3 仿 真

對(duì)以上設(shè)計(jì)的系統(tǒng)擬在Matlab7.0.4 Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真。這里取系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳遞函數(shù)形式分別為K m/(Ts+1)和Kn/s。因此,Pn=K/[s(Ts+1)]。

仿真時(shí),取兩軸參數(shù)不匹配情況：K x=K y=10 s-1,Tx=0.035 s、Ty=0.045 s。兩軸的位置環(huán)采用常規(guī) PD控制器,參數(shù)相同：K p=5.5,K d=7.0。

由于P(s)=Pn(s)[1+Δ(s)M(s)],仿真時(shí)選取 M(s)=(0.3s-0.1)/(0.2s+0.1),Δ(s)為一個(gè)小的隨機(jī)值。

考慮到Pn為2階,低通濾波器選為前面所述的3階,其標(biāo)準(zhǔn)形式為(8)式,在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,截止頻率ωc的選取要盡可能的大,多次仿真證明,當(dāng) ωc=22.5時(shí),系統(tǒng)的抗干擾能力較好。

仿真曲線(xiàn)采用正弦波 y=sin 10t,擾動(dòng)采用的是UniforMRandoMNumber模塊。仿真結(jié)果比較如圖6所示。

圖6 輪廓誤差仿真結(jié)果比較

仿真結(jié)果表明,干擾觀測(cè)器可以明顯減小系統(tǒng)的輪廓誤差,同時(shí)在交叉耦合控制器中加入指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)法后,也能很明顯地減小系統(tǒng)的輪廓誤差。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以進(jìn)一步減小系統(tǒng)輪廓誤差為研究方向,提出了在系統(tǒng)的各個(gè)單軸加上干擾觀測(cè)器形成單軸閉環(huán),再在兩軸之間加上利用了指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)法的交叉耦合控制思想,使得輪廓誤差進(jìn)一步縮小。此方法與現(xiàn)有的輪廓誤差控制方法相比,最大的區(qū)別就是在于指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)法的引入,利用了全部歷史數(shù)據(jù),對(duì)誤差進(jìn)行預(yù)測(cè),使得誤差變化均勻,并且能進(jìn)一步縮減。

本文在指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)法的利用上也只是一種嘗試,指數(shù)平滑模型本身有一定的缺陷。因?yàn)閰?shù)α的取值以及初值的選取對(duì)平滑效果都有很大的影響。在模型中α的值一旦確定,則計(jì)算過(guò)程中α值為一常量。定常的α不隨t而變,這樣當(dāng)原始序列在不同時(shí)段起伏變化時(shí),對(duì)于較前期的數(shù)據(jù)序列合適的α,對(duì)較后時(shí)期的平滑、預(yù)測(cè)也不一定是合適的。因此,α值如何確定[15],使指數(shù)平滑模型有一定的自適應(yīng)性,也是以后重要的一個(gè)研究方向。

[1] 王廣炎,張潤(rùn)孝,帥 梅,等.數(shù)控機(jī)床的輪廓誤差控制[J].機(jī)床與液壓,1999,(6)：59-61.

[2] 虞文華,吳昭同,楊世錫.伺服系統(tǒng)動(dòng)特性對(duì)數(shù)控機(jī)床圓軌跡加工精度影響的機(jī)理[J].中國(guó)機(jī)械工程,1995,6(1)：21-23.

[3] 劉金琨.先進(jìn)PID控制及其 MATLAB仿真[M].北京：電子工業(yè)出版社,2003：176-180.

[4] Choi Y J,Yang K J,Chung W K.On the robustness and performance of disturbance observers for second-order systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2003,48(2)：315-321.

[5] KiMB K,Chung W K,Oh S R.Disturbance observer based approach to the design of sliding mode controller for high performance positioning systems[C]//2002 IFAC,15th Triennial World Congress,Barcelona,Spain,2002：1-6.

[6] Ohnishi K.Robust motion control by disturbance observer[J].Journal of the Robotics Society of Japan,1993,11(4)：486-493.

[7] Chen Wenhua,Balance D J,Gawthrop P J,et al.A nonlinear disturbance observer for robotic manipulators[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2000,47(4)：932-938.

[8] 李如忠.水質(zhì)預(yù)測(cè)理論模式研究進(jìn)展與趨勢(shì)分析[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2006,29(1)：26-30.

[9] 齊 穎.一次指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)法及實(shí)際應(yīng)用[J].北京機(jī)械工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2004,19(4)：50-53,59.

[10] 王振龍,胡永宏.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京：科學(xué)出版社,2007：28-124.

[11] 張建國(guó).預(yù)測(cè)控制在數(shù)控機(jī)床伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用研究[J].漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,22(1)：35-38.

[12] 王慈光.二次指數(shù)平滑法中確定初始值的簡(jiǎn)便方法[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2004,39(3)：269-271.

[13] 熊?chē)?guó)強(qiáng).確定指數(shù)平滑參數(shù)的最優(yōu)化方法[J].西安理工大學(xué)學(xué)報(bào),2000,16(3)：313-315.

[14] 王東星,朱建秋,楊引霞.一種指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的參數(shù)優(yōu)化方法及實(shí)現(xiàn)[J].微機(jī)發(fā)展,2005,15(3)：1-3,41.

[15] 黎鎖平,劉坤會(huì).平滑系數(shù)自適應(yīng)的二次指數(shù)平滑模型及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2004,24(2)：95-99.