王傳強(qiáng), 趙恒華

(遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧撫順113001)

并聯(lián)機(jī)床的奇異性研究

王傳強(qiáng), 趙恒華＊

(遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧撫順113001)

分別以速度矩陣行列式、雅可比矩陣行列式det(J)和可操作度為研究對象研究了并聯(lián)機(jī)床的奇異性,為并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。當(dāng)以速度矩陣行列式為研究對象時(shí),可將并聯(lián)機(jī)床的機(jī)構(gòu)奇異分為3類;當(dāng)det(J)或可操作度為零時(shí),可判斷并聯(lián)機(jī)床處于奇異形位。以det(J)和可操作度W為研究對象研究新型三桿三自由度并聯(lián)機(jī)床的奇異性,建立了該機(jī)床的數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)出了該機(jī)床的雅可比矩陣,運(yùn)用Matlab軟件計(jì)算出了該機(jī)床雅可比矩陣行列式的絕對值表達(dá)式|det(J)|及其可操作度W的表達(dá)式,經(jīng)分析得出其|det(J)|=W>0且|det (J)|=W≠∞,即該機(jī)床不存在奇異形位,具有較好的可操作性;在Matlab環(huán)境下研究了該機(jī)床的平穩(wěn)性,仿真結(jié)果表明該機(jī)床運(yùn)動時(shí)的平穩(wěn)性較好。

并聯(lián)機(jī)床; 雅可比矩陣; 奇異性; 平穩(wěn)性

并聯(lián)機(jī)床是20世紀(jì)90年代問世的新型數(shù)控機(jī)床,與傳統(tǒng)數(shù)控機(jī)床相比,并聯(lián)機(jī)床具有剛度重量比大、響應(yīng)速度快、加工精度高、環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)和技術(shù)附加值高等優(yōu)點(diǎn)[1-6],但是由于并聯(lián)機(jī)床的出現(xiàn)才不過十幾年的時(shí)間,還有許多理論和技術(shù)問題尚待攻克。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的復(fù)雜性首先表現(xiàn)為并聯(lián)多閉環(huán)機(jī)構(gòu)內(nèi)在的運(yùn)動學(xué)復(fù)雜性,目前對并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異形位的分析非常困難,幾乎沒有什么一般性的結(jié)論[7-8]。奇異性是并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)研究的重要內(nèi)容,也是并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)所需考慮的重要因素[9],因此本文對并聯(lián)機(jī)床的奇異性進(jìn)行了深入的研究,為并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)最優(yōu)化設(shè)計(jì)、性能分析、實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)早期就確定關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)等方面提供依據(jù)。

1 并聯(lián)機(jī)床的奇異性研究

奇異性是并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)所需考慮的重要因素。當(dāng)并聯(lián)機(jī)床處于奇異形位時(shí),機(jī)構(gòu)將獲得多余的不可控自由度或者變得剛化而失去部分自由度。機(jī)構(gòu)自由度的喪失意味著機(jī)構(gòu)某種功能的喪失,而機(jī)構(gòu)獲得額外的自由度則導(dǎo)致機(jī)構(gòu)失控,因此在設(shè)計(jì)和應(yīng)用時(shí)應(yīng)避免并聯(lián)機(jī)床工作在奇異位置。下面分3種方法來研究并聯(lián)機(jī)床的奇異性。

1.1 以速度矩陣行列式為研究對象

并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動學(xué)速度方程可以寫為

其中,Q是機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)輸入速度矩陣,S′是機(jī)構(gòu)驅(qū)動副輸入(關(guān)節(jié)輸入)速度矢量,R是動平臺的廣義速度矩陣,G′是機(jī)構(gòu)輸出(動平臺)速度矢量。

根據(jù)關(guān)節(jié)速度矩陣行列式det(Q)和廣義速度矩陣行列式det(R)的值可將并聯(lián)機(jī)床的機(jī)構(gòu)奇異分為3類:

第1類奇異:當(dāng)關(guān)節(jié)速度矩陣Q奇異且廣義速度矩陣R非奇異時(shí),即det(Q)=0且det(R)≠0時(shí),發(fā)生第1類奇異。此時(shí),雖然有非零的關(guān)節(jié)輸入速度矢量S′,但是機(jī)構(gòu)的動平臺卻不能移動,這一類的奇異點(diǎn)位于機(jī)構(gòu)工作空間的邊界面上,屬于機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)限制,而不是驅(qū)動關(guān)節(jié)坐標(biāo)的限制。

第2類奇異:當(dāng)廣義速度矩陣 R奇異且關(guān)節(jié)速度矩陣Q非奇異時(shí),即det(R)=0且det(Q)≠0且時(shí),發(fā)生第2類奇異。在這一類奇異點(diǎn)處,輸入的關(guān)節(jié)速度矢量S′為零,但是動平臺的速度不為零。在這種情況下,機(jī)構(gòu)的動平臺某些自由度不可控,造成動平臺有無限多種位姿。

第3類奇異:當(dāng)關(guān)節(jié)速度矩陣Q和廣義速度矩陣R同時(shí)奇異時(shí),即det(Q)=0且det(R)=0時(shí),發(fā)生第3類奇異。在這類奇異點(diǎn)處所有的主動副都鎖定不動,但是動平臺仍然可以運(yùn)動。

1.2 以雅可比矩陣行列式det(J)為研究對象

當(dāng)并聯(lián)機(jī)床的雅可比矩陣 J奇異時(shí),即det(J) =0時(shí),可判斷并聯(lián)機(jī)床處于奇異形位,此時(shí)機(jī)構(gòu)速度反解不存在,機(jī)構(gòu)將獲得多余的不可控自由度或者變的剛化而失去部分自由度。

1.3 以可操作度為研究對象

可操作度是將機(jī)器人的雅可比矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣乘積的行列式作為評價(jià)機(jī)器人操作能力的重要指標(biāo),即

其中,W是機(jī)器人的可操作度,J是機(jī)器人的雅可比矩陣。

當(dāng)W=0時(shí),可判斷機(jī)器人處于奇異形位;當(dāng)W=∞時(shí),可判斷機(jī)器人處于不定形位;當(dāng)W≠0且W≠∞時(shí),可判斷機(jī)器人處于非奇異形位,并且W的值能直觀的反映機(jī)器人遠(yuǎn)離奇異形位和不定形位的程度。

并聯(lián)機(jī)床是一種機(jī)器人化的機(jī)床,可采用上述相同方法以并聯(lián)機(jī)床的可操作度為指標(biāo)來研究并聯(lián)機(jī)床的奇異性。

2 并聯(lián)機(jī)床奇異性分析實(shí)例

以雅可比矩陣行列式det(J)=0和可操作度W為研究對象分析了新型三桿三自由度并聯(lián)機(jī)床這種典型機(jī)構(gòu)的奇異性,圖1為該機(jī)床的機(jī)構(gòu)模型簡圖。該機(jī)床主要由動平臺、定平臺、虎克鉸、平行機(jī)構(gòu)、驅(qū)動桿等部件組成,動平臺與定平臺均為正三角形。3根并聯(lián)安裝的驅(qū)動桿和平行機(jī)構(gòu)通過上、下虎克鉸將定平臺和動平臺連接起來,移動副由電機(jī)驅(qū)動的絲杠組成。伺服電機(jī)驅(qū)動3根驅(qū)動桿的伸縮,通過改變各驅(qū)動桿的長度,可以調(diào)整動平臺的位置。3根驅(qū)動桿控制動平臺的3個(gè)移動自由度,承受外力;由從動平臺和支撐桿組成的平行機(jī)構(gòu)限制3個(gè)轉(zhuǎn)動自由度,承受外力矩[10-12]。

Fig.1 The structural diagram of the new-type 3-legged 3-DOF parallel machine tool

忽略約束機(jī)構(gòu)的影響,建立圖2所示的空間坐標(biāo)系,機(jī)構(gòu)上下平臺鉸鏈中心點(diǎn)均按正三角形布置,各對應(yīng)邊分別平行,兩平臺相對位置在運(yùn)動中始終保持平行,沒有姿態(tài)變化。

在該機(jī)構(gòu)定平臺中心點(diǎn)處建立基坐標(biāo)系 Oa-XaYaZa,Za軸垂直向下,Ya軸過定平臺頂點(diǎn)A1,Xa軸正方向與邊A1A2相交;同理,在該機(jī)構(gòu)動平臺中心點(diǎn)處建立動坐標(biāo)系Ob-XbYbZb。令定平臺的外接圓半徑為 R,動平臺的外接圓半徑為 r,并且 R> r,各驅(qū)動桿的長度 A1B1、A2B2、A3B3分別為 l1,l2,l3且Lmin≤l1,l2,l3≤Lmax,又由于 △A1A2A3和△B1B2B3均為等邊三角形,則根據(jù)等邊三角形三線合一定理和勾股定理得出定平臺的3個(gè)頂點(diǎn)A1、A2、A3在基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa中的坐標(biāo)為

Fig.2 The 3-dimensional coordinate system of the newtype 3-legged 3-DOF parallel machine tool圖2新型三桿三自由度并聯(lián)機(jī)床的空間坐標(biāo)系

同理,動平臺的三個(gè)頂點(diǎn)B1,B2,B3在動坐標(biāo)系Ob-XbYbZb中的坐標(biāo)為

由于動平臺和定平臺始終保持平行,則動坐標(biāo)系Ob-XbYbZb相對基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa的齊次變換矩陣為[13]

其中(Xb,Yb,Zb)為動坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ob在基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa中的坐標(biāo)。

根據(jù)坐標(biāo)變換理論,動平臺3個(gè)頂點(diǎn)在基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa中的位置可表示為

其中,B′i是B1、B2、B3在基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa中的位置坐標(biāo),Bi是B1、B2、B3在動坐標(biāo)系Ob-XbYbZb中位置坐標(biāo),將公式(2)代人公式(4)得到動平臺3個(gè)頂點(diǎn)在基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa中的坐標(biāo)為

根據(jù)公式(1)和公式(5),由兩點(diǎn)間的距離公式可得

其中,c=R-r,(Xb,Yb,Zb)為動坐標(biāo)系的原點(diǎn)Ob在基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa中的坐標(biāo)。公式(6)為該機(jī)床的位置反解表達(dá)式。由公式(6)可得該機(jī)床的位置正解為

并聯(lián)機(jī)床的雅可比矩陣J是指從其關(guān)節(jié)空間運(yùn)動速度向操作空間運(yùn)動速度傳遞的廣義傳動比,即

其中,w為并聯(lián)機(jī)床末端在操作空間中的位置和方位,w′為并聯(lián)機(jī)床末端在操作空間中的廣義速度矢量,q為廣義關(guān)節(jié)變量,q′為關(guān)節(jié)速度矢量。將公式(8)展開可得

將該機(jī)床位置正解公式(7)兩邊對時(shí)間求導(dǎo)并代入公式(9)可得

則該新型三桿三自由度并聯(lián)機(jī)床的雅可比矩陣為

將公式(7)的值代入公式(11)求導(dǎo)可得

運(yùn)用Matlab軟件計(jì)算該機(jī)床雅可比矩陣行列式det(J)的絕對值為

運(yùn)用Matlab軟件求得該機(jī)床的可操作度W為

由此可知,該機(jī)床的

由公式(7)可知 Zb≥0,若 Zb=0,只有當(dāng)動平臺與定平臺重合時(shí)才能實(shí)現(xiàn),然而這在實(shí)際機(jī)構(gòu)中是不可能的,所以 Zb>0,則|det(J)|=W>0且|det (J)|=W≠∞。因此該機(jī)床不存在奇異形位,具有較好的可操作性。

由公式(6)對時(shí)間求導(dǎo)可得

其中,vOb為動平臺參考點(diǎn)Ob平動速度,vli為驅(qū)動桿l1、l2、l3的伸縮速度。則該機(jī)床的雅可比逆矩陣為

以基坐標(biāo)系 Oa-XaYaZa為參考系,(Xb,Yb, Zb)為動坐標(biāo)系的原點(diǎn) Ob在基坐標(biāo)系Oa-XaYaZa中的坐標(biāo),假設(shè)Ob點(diǎn)在Z=1 m截面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動,其速度分量為 vXb=0.02 m/s,vYb=0.02 m/ s,運(yùn)動時(shí)間t為10 s。選定該機(jī)床的結(jié)構(gòu)參數(shù)為:R =700 mm,r=200 mm。選定點(diǎn)Ob的初始值為 Xb=0,Yb=0,Zb=1 m,在Matlab下該機(jī)床驅(qū)動桿l1、l2、l3的伸縮速度變化如圖3所示。

從圖3可以看出,該機(jī)床驅(qū)動桿 l1、l2、l3的伸縮速度曲線連續(xù)并且非常光滑,說明該機(jī)床運(yùn)動時(shí)的平穩(wěn)性較好。

3 結(jié)束語

奇異性是并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)所需考慮的重要因素。本文分別以速度矩陣行列式、雅可比矩陣行列式det(J)和可操作度W為研究對象研究了并聯(lián)機(jī)床的奇異性,為并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。分析了新型三桿三自由度并聯(lián)機(jī)床的奇異性,推導(dǎo)出了該機(jī)床的雅可比矩陣,運(yùn)用Matlab軟件求出了該機(jī)床雅可比矩陣行列式的絕對值表達(dá)式|det (J)|及其可操作度W的表達(dá)式,經(jīng)分析得出其|det (J)|=W>0且|det(J)|=W≠∞,即該機(jī)床不存在奇異形位,具有較好的可操作性;在Matlab環(huán)境下研究了該機(jī)床的平穩(wěn)性,仿真出了該機(jī)床驅(qū)動桿l1、l2、l3的伸縮速度變化曲線,仿真結(jié)果表明該機(jī)床運(yùn)動時(shí)的平穩(wěn)性較好。

Fig.3 The speed of telescopic driving linksl圖3 l桿的伸縮速度

[1]顧玲,管榮根.基于卡爾曼濾波數(shù)據(jù)融合的并聯(lián)機(jī)床動態(tài)定位方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2007,43(7):195-201.

[2]李強(qiáng),閆洪波,張玉寶.并聯(lián)機(jī)床發(fā)展的歷史、研究現(xiàn)狀與展望[J].機(jī)床與液壓,2007,35(3):206-209.

[3]高建設(shè),程麗,趙永生.新型5自由度并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動學(xué)自標(biāo)定研究[J].計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng),2007,13(4):738-743.

[4]劉遠(yuǎn)偉,吳海兵.并聯(lián)機(jī)床加工性能的實(shí)驗(yàn)研究[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2008,27(5):625-627.

[5]陳靜,劉強(qiáng).基于遺傳算法的新型2-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2008,25(2):21-24.

[6]王瑞,劉文濤,紀(jì)校娟.一種新型串并聯(lián)機(jī)床的工作空間分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2009,26(5):61-64.

[7]Sandipan Bandyopadhyay,Ashitava Ghosal.Analysis of configuration space singularities of closed-loop mechanisms and parallel manipulators[J].Mechanism and machine theory,2004,39:519-544.

[8]李鷺揚(yáng).6-SPS型并聯(lián)機(jī)床若干關(guān)鍵理論研究[D].南京:南京航空航天大學(xué),2007.

[9]韓先國.并聯(lián)機(jī)床相關(guān)理論及設(shè)計(jì)方法研究[D].北京:北京航空航天大學(xué),2002.

[10]盛忠起,姚群,蔡光起.并聯(lián)機(jī)床研究[J].機(jī)械,2002,29(3):4-5.

[11]左扣成.3-TPT型并聯(lián)機(jī)床的誤差分析與仿真[D].沈陽:東北大學(xué),2005.

[12]姜媛媛.基于 Pro/E的并聯(lián)機(jī)床實(shí)體建模[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2009,26(4):24-26.

[13]張鐵,謝存禧.機(jī)器人學(xué)[M].廣州:華南理工大學(xué)出版社,2004.

(Ed.:WYX,Z)

Research on the Singularity of Parallel Machine Tools

WANG Chuan-qiang,ZHAO Heng-hua＊
(School of Mechanical Engineering,Liaoning Shihua University,Fushun Liaoning113001,P.R.China)

17November2009;revised27December2009;accepted15April2010

The singularity of parallel machine tools was researched,which was based on the research objects of the speed matrix determinant,Jacobian matrix determinant det(J)and operabilityWrespectively.The researches provided a basis for the design of the structural parameters about parallel machine tools.The singularity of bodies about parallel machine tools can be divided into three categories when the speed matrix determinant was put as the research object.Parallel machine tools can be judged at the singularity when det(J)=0 or the operability was zero.The singularity was researched for a new type of 3-legged 3-DOF parallel machine tool when det(J)and the operabilityWwere put as the research objects.The mathematical model of the machine tool was established.The Jacobian matrix of the machine tool were derived.The expressions of |det(J)|and the operabilityWabout the machine tool by Matlab had been worked out.|det(J)|=W>0 and|det(J)|=W≠∞were obtained by the analysis.That is,there is no singularity about the machine tool.Besides,the machine tool has good operability.The stationarity of the machine tool was researched in the environment of Matlab.The simulation results show that the machine tool has good stationarity.

Parallel machine tools;Jacobian matrix;Singularity;Stationarity

TH122

A

10.3696/j.issn.1006-396X.2010.02.023

1006-396X(2010)02-0084-05

2009-11-17

王傳強(qiáng)(1985-),男,山東臨沂市,在讀碩士。

遼寧省自然科學(xué)基金(20052211);遼寧省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃(05L231)。

＊通訊聯(lián)系人。

＊Corresponding author.Te1.:+86-413-6860718;fax:+86-413-6860718;e-mail:zhh@lnpu.edu.cn