魏同利，劉家榮

（北方民族大學(xué) 基礎(chǔ)部，寧夏 銀川 750021）

量子化條件與不確定度關(guān)系

魏同利，劉家榮

（北方民族大學(xué) 基礎(chǔ)部，寧夏 銀川 750021）

物理學(xué)討論系統(tǒng)某個(gè)物理量的本征態(tài)時(shí)，因?yàn)椴淮_定關(guān)系的存在，通常會(huì)說(shuō)與其對(duì)應(yīng)的共軛量在這時(shí)將沒(méi)有意義或完全不確定，但這是不符合物理真實(shí)的，量子化條件與不確定度關(guān)系的同時(shí)存在似乎是矛盾的，但我們認(rèn)為任何物理系統(tǒng)的某個(gè)物理量的不確定度在確定條件下是確定的，量子化條件與海森堡不確定關(guān)系的共存提示了我們?cè)谟行﹩?wèn)題中不僅應(yīng)該考慮本征問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該考慮其不確定性，從而得到更加符合物理真實(shí)的圖像.

量子化條件；本征態(tài)；不確定度

1 問(wèn)題

在量子力學(xué)發(fā)展的初期，為了解決各種具體的問(wèn)題，提出了各種各樣的量子化條件，如玻爾在他的氫原子理論中提出：環(huán)繞原子核作運(yùn)動(dòng)的電子的角動(dòng)量必須為h/2 π的整數(shù)倍；粒子在無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)時(shí)其動(dòng)量與勢(shì)阱尺度的乘積必須為h的整數(shù)倍等，事實(shí)上，薛定諤正是根據(jù)動(dòng)量與空間，能量與時(shí)間的量子化條件得到了薛定諤方程.雖然如此，在量子化條件上仍然有著一些問(wèn)題需要探討,在量子化條件存在的同時(shí)，海森堡不確定關(guān)系也要成立，比如量子化條件p x=n h，同時(shí)又有△p△x≥h/2，這是一個(gè)矛盾，因?yàn)榫C合以上兩式，可以得到一個(gè)結(jié)論：動(dòng)量和尺度之間的乘積可以為任何數(shù)值，量子化條件將沒(méi)有任何意義.

根據(jù)量子力學(xué)的本征態(tài)理論，若系統(tǒng)處于某一力學(xué)變量的本征態(tài)，則每次測(cè)量均可觀察得到對(duì)應(yīng)于此本征態(tài)的本征值，由于海森堡不確定關(guān)系，由于該物理量完全確定，則其共軛物理量將完全不確定，這是通常所持的論點(diǎn).但是我們認(rèn)為這種看法是不全面的，主要的原因是：自然界不允許我們無(wú)限度把一個(gè)值確定，而其共軛量卻完全不確定.在狄拉克的《量子力學(xué)原理》中指出[1]：從物理上看，顯然，對(duì)q的所有值是等幾率的態(tài)，或者對(duì)p的所有值是等幾率的態(tài)，實(shí)際上都是不能得到的，對(duì)第一種情況是因?yàn)槌叽绲南拗?，?duì)第二種情況是因?yàn)槟芰康南拗?因此p的本征態(tài)或是q的本征態(tài)，實(shí)際上不能完全達(dá)到.

由于任何物理學(xué)量都有其共軛量，所以上述問(wèn)題不僅僅存在于正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量，事實(shí)上，所有物理學(xué)量的本征態(tài)都不可能完全達(dá)到，這種情況在物理學(xué)研究中廣泛的存在，有時(shí)甚至比較重要，但這種由于不確定度關(guān)系所導(dǎo)致的本征值偏移卻很少被提及，本文試圖對(duì)能量本征值的展寬作初步的探討.

2 討論

任何處于能量本征態(tài)的系統(tǒng)，都有能量的漲落，或者說(shuō)能譜存在一定的展寬，這當(dāng)然是由于不確定關(guān)系導(dǎo)致的.當(dāng)能級(jí)有展寬時(shí)，意味著系統(tǒng)的能量有一個(gè)微小的不確定度，根據(jù)關(guān)系：△E g△t≥攸/2，能量的共軛量時(shí)間也會(huì)有微小的不確定度，但是這種關(guān)于能量與時(shí)間的不確定關(guān)系并不是簡(jiǎn)單的△E越大，△t越小，我們認(rèn)為：在確定的物理?xiàng)l件下，△E和△t是可以確定的，它們?yōu)榭捎^測(cè)量.

例如，一束光的能量可以用二次量子化表象表示為：

這束光應(yīng)該有具有n攸ω的能量，光子處于確定的能量本征態(tài)，其能量不確定度△E=0，其時(shí)間不確定度△t為無(wú)窮大，等效為其相干長(zhǎng)度無(wú)限大.但是在實(shí)際的問(wèn)題中，每種光的相干長(zhǎng)度都不是有限大，而且相干長(zhǎng)度是可以測(cè)量的（等同于時(shí)間不確定度可測(cè)），所以能量本征值的不確定度也是一個(gè)可觀測(cè)量.這種關(guān)于能量的不確定度關(guān)系，有望在格林函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程理論中得到應(yīng)用[2]，以上面的光子問(wèn)題為例，假設(shè)光子數(shù)目為n，能量不確定度為△，根據(jù)格林函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程方法：

可以得到〈〈a,a+〉〉=

根據(jù)譜定理有

在格林函數(shù)理論中，通常認(rèn)為該系統(tǒng)光子的能級(jí)為攸ω，η為一無(wú)窮小的實(shí)數(shù)，態(tài)密度在該能級(jí)上為無(wú)窮大，在其它位置上為0，但是這并不符合物理真實(shí)，在任何情況下，其能量都不會(huì)是嚴(yán)格的攸ω，所以η應(yīng)該在具體的問(wèn)題當(dāng)中選取合適的量，如將（1）式中無(wú)窮小虛部替換為以不確定度△為大小的虛部，所得到的態(tài)密度為，這是以攸ω為中心的洛侖茲分布，可以真實(shí)反應(yīng)此光子系統(tǒng)的物理真實(shí).

能帶論認(rèn)為，能帶是由眾多的電子能級(jí)組成能量區(qū)域，考慮到本文所討論的內(nèi)容，我們認(rèn)為能帶區(qū)域的能級(jí)是連續(xù)的，簡(jiǎn)單取模型如下：

考慮少數(shù)一維金屬電子的行為，假設(shè)共一百個(gè)能級(jí)，均勻分布在-1到1之間，費(fèi)米能級(jí)位于0，哈密頓量可以寫(xiě)為

能級(jí)寬度為：△ε=2/100假設(shè)能量不確定度為：η=0.1△ε

格林函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程為：

有：

態(tài)密度函數(shù)為

任何能量處的占據(jù)數(shù)密度可以寫(xiě)為：

通過(guò)數(shù)值計(jì)算可以作出占據(jù)數(shù)密度圖：

可以看出，電子占據(jù)時(shí)會(huì)有一定的幾率出現(xiàn)于非能級(jí)出現(xiàn)處，電子能量態(tài)密度連續(xù)分布于能帶中.

3 結(jié)論

任何物理系統(tǒng)在具有確定本征態(tài)的同時(shí)，還具有確定的不確定度，可以用洛侖茲峰的半寬來(lái)描述，它有時(shí)是可以測(cè)量的（根據(jù)光的相干長(zhǎng)度來(lái)確定其不確定度），它在具體的問(wèn)題中需要具體來(lái)考慮它的大小，根據(jù)格林函數(shù)理論，它可以有效地得到使用.

參考消息：

〔1〕P.A.M，狄拉克.量子力學(xué)原理（第四版）.科學(xué)出版社.

〔2〕李正中.固體理論（第二版）.高等教育出版社.

O 413.1

A

1673-260X（2010）07-0012-02