梁 青，陳傳鐘

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南 ?？?571158）

幾類廣義Feynman-Kac半群的強(qiáng)連續(xù)性

梁 青，陳傳鐘*

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南 ?？?571158）

本文研究幾類廣義Feynman-Kac半群的強(qiáng)連續(xù)性問題.利用文[1]和文[2]中的結(jié)果，得到了幾類由狄氏型產(chǎn)生的強(qiáng)連續(xù)和不強(qiáng)連續(xù)廣義Feynman-Kac半群的例子.

狄氏型；廣義Feynman-Kac半群；強(qiáng)連續(xù)

1 引言

設(shè)E是一個局部緊的完備可分度量空間，B（E）為E上的σ-代數(shù)，m為（E，B（E））上的σ-有限測度，（E，D（E））是L2（E，m）上的正則對稱狄氏型，（Xt）t≥0是其聯(lián)系的馬氏過程.有關(guān)狄氏型理論的概念及符號見文[3-4].設(shè)u∈D（E），～u為u的一個擬連續(xù)版本，由狄氏型理論知有如下的Fukushima分解：

此半群是由函數(shù)u與馬氏過程（Xt）t≥0產(chǎn)生的，稱為由函數(shù)u產(chǎn)生的廣義Feynman-Kac半群.

定理1［1-2］（）t≥0是 L2（E，m）上的強(qiáng)連續(xù)半群當(dāng)且僅當(dāng)（Qu，D（E）b）下半有界，其中這里（Qu，D（E）b）下半有界是指存在一個常數(shù)α＞ 0，使得Qu（f，f）+α（f，f）m≥0，?f∈D（E）b成立.

考慮如下形式的狄氏型（E，D（E））：

這里d x為Lebesgue測度，U是Rd上的開集，（aij）1≤i，j≤d的元素aij為定義在 U上的函數(shù)，這里的導(dǎo)數(shù)是Schwartz分布意義下的導(dǎo)數(shù).楊曉玲在[9]中假設(shè)U=｛x∈Rd＜1，xi＞0，1≤ i≤d｝，aij=0，i≠ j；aii＞0，1≤ i≤ d的條件之下，給出了具體的函數(shù)例子，并證明由這些函數(shù)產(chǎn)生的廣義Feynman-Kac半群分別具有強(qiáng)連續(xù)和不強(qiáng)連續(xù)，這些例子豐富了文[1，2]中內(nèi)容.本文繼續(xù)這個問題的研究，去掉（aij）中非對角線上元素為零的假設(shè)條件，得到了更多具有強(qiáng)連續(xù)性和不強(qiáng)連續(xù)的廣義Feynman-Kac半群例子.進(jìn)一步豐富了這類廣義Feynman-Kac半群強(qiáng)連續(xù)性問題的實(shí)例.為了方便我們先給出兩個引理：

引理1［1］（）t≥0是 L2（E，m）上的強(qiáng)連續(xù)半群當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)0≤ a≤ 1，A≥ 0，使得下面條件成立：

2 主要結(jié)果

則當(dāng)α＞0時，uα（x）∈D（E）.事實(shí)上，

由于當(dāng)α＞0時，2α+1＞-1，

因此

又因?yàn)?/p>

下面給出本文的主要結(jié)果，并用不同的方法來證明.

證明一：因?yàn)棣痢?1，所以有

因此，由引理2知，（Puαt）t≥0是L2（U，d x）上的強(qiáng)連續(xù)半群.證畢.

證明二：設(shè)f∈D（E），

考慮式（1）中定義的狄氏型（E，D（E））.令d= 2取

定理4 如果下面條件之一成立：

所以（Qu，D（E）b）非下半有界，再定理 1知（）t≥0不強(qiáng)連續(xù).

（2）同理可證.證畢.

［1］Chen C Z，Sun W.Strong continuity of generalized Feynman-Kac seMigroups：necessary and sufficient conditions[J]. J Func Anal，2006，237：446-456.

［2］Chen C.Z.，Ma Z.M.，Sun W.On Girsanov and Generalized Feynman-Kac Transformations for Symmetric Markov Process[J].World Scientific，2007，10（2）：141-163.

［3］Ma Z M，R?ckner M.Introduction to the theory of（Non-symmetric）Dirichlet forms[M].Berlin：springerverlag，1992.

［4］Fukushima M，Oshima Y，Takeda M.Dirichlet Forms and symmetric Markov Processes [M].NeWYork：Walter de Gruyter Berlin，1994.

［5］Ma Z M，Albeverio S.Perturbation of Dirichlet formslower semi-boundedness，closability and forMcores[J].J Funct Anal，1991，99：332-356.

［6］Glover J，Rao M，?ik?c H，et al.Quadratic forms corresponding to the generalized Schr?dinger seMigroup[J].J Funct Anal，1994，125：358-378.

［7］Zhang T.Generalized Feynman-Kac seMigroups，associated quadratic forms and asymptotic properties[J].Potential Anal，2001，14：387-408.

［8］Chen Z Q，Zhang T S.Girsanov and Feynman-Kac type transformations for symmetric Markov processes[J].Ann Inst H Poinca?é Probab Statist，2002，38：475-505.

［9］楊曉玲.幾類特殊廣義Feynman-Kac半群的強(qiáng)連續(xù)性分析[D].海口：海南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2009.

責(zé)任編輯：畢和平

Strong Continuity of Some Classes of Generalized Feynman-Kac SeMigroups

LIANG Qing，CHEN Chuanzhong*
（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

In this paper，the strong continuity of some classes of generalized Feynman-Kac semigroups is studied，we obtain some examples of Generalized Feynman-Kac Semigroups that may be strongly continuous or not strongly continuous.

Dirichlet form；generalized Feynman-Kac semigroup；strongly continuous

O 211.62

A

1674-4942（2010）02-0134-05

2010-02-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10961012）

*通訊作者