付晶園，羅明奇，馬少仙

（西北民族大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州730030）

灰色微分方程的參數(shù)改進(jìn)

付晶園，羅明奇，馬少仙

（西北民族大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州730030）

分析了在求解微分方程（1）時由于給定的定解條件的不合理性，結(jié)合灰色系統(tǒng)理論和多元統(tǒng)計分析的原理，提出使用擬合原始數(shù)據(jù)的曲線方程近似代替微分方程求解中的參數(shù)常數(shù)c，使得預(yù)測方程得到一定的改進(jìn).

微分方程；參數(shù)；預(yù)測

灰色系統(tǒng)（Grey System）理論是八十年代發(fā)展起來的一門新學(xué)科.自從1982年我國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論（Gray Theory）以來，灰色系統(tǒng)理論已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于各個學(xué)科中.艾什比（Ashby）將內(nèi)部信息未知的對象稱為黑箱（Black Box），這種稱謂已被人們普遍接受.這里用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明確，用“灰”表示部分信息明確，部分信息不明確.相應(yīng)的，信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)，信息未知的系統(tǒng)稱為黑色系統(tǒng)，部分信息明確，部分信息不明確的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).

1 相關(guān)理論

依據(jù)灰色系統(tǒng)理論［1］，GM（1，1）模型的具體算法如下：

生成序列X（1）相應(yīng)的微分方程為：

B中背景值Z（1）為X（1）的緊鄰均值生成序列：Z（1）=（z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）），其中，z（1）（k）= 0.5（x（1）（k）+x（1）（k-1）），k=2，3，…，n.

在求解微分方程（1）時，得出通解為：

將其離散化，得到：

為了求解常數(shù)c，需要一個定解條件，在GM（1，1）中，令（1）=x（1）（1）=x（0）（1），則有：

（4）即為GM（1，1）的預(yù)測方程，此時可利用一次累減（1-IAGO）得到還原序列：

2 主要結(jié)論

由相關(guān)理論可知，在求解微分方程（1）時，得到（2），將其離散化得到（3），為了求解常數(shù)c，需要一個定解條件，在 GM（1，1）中，令（1）=x（1）（1）= x（0）（1），得到預(yù)測公式（4），由給定的初值條件可知，擬合曲線在坐標(biāo)平面（k，x（1）（k））必然經(jīng)過點（1，x（1）（1）），而由最小二乘法原理，擬合曲線不一定通過第一個數(shù)據(jù)點，但是其必定與第一個建模的數(shù)據(jù)點具有一定的差距，于是，將（1）=x（1）（1）作為已知條件的理論根據(jù)并不存在，另外，考慮到x（1）（1）是一個很舊的數(shù)據(jù)，與未來的關(guān)系不密切，而且不是通過累加生成得到的，規(guī)律性不強(qiáng)，更不符合灰色系統(tǒng)理論的信息原則.同時由于定解條件給定的不唯一性，使得無法確定一個精確度相對較高的預(yù)測方程，基于此，對于GM（1，1）模型的改進(jìn)方式有很多種，譚冠軍的GM（1，1）模型的背景值構(gòu)修正［2-4］；孫辰軍，王翠茹的GM（1，1）模型的殘差修正［5］；王忠桃，彭鑫的初值修正的灰色預(yù)測模型的改進(jìn)［6］.

通過對微分方程（1）的求解中，得到了通解（2），在通解（2）的求解中不再引入初值條件，不再化為定解問題，而是根據(jù)多元統(tǒng)計分析的思想，并結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度的性質(zhì)，在其中引入曲線擬合，即：根據(jù)灰色系統(tǒng)模型理論建立預(yù)測方程（1），得到其通解（2），關(guān)于（2）中的參數(shù)c，由經(jīng)濟(jì)學(xué)原理知道，當(dāng)年的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)總是和前一年的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)具有一定的關(guān)系，所以根據(jù)已知的數(shù)據(jù)依據(jù)多元統(tǒng)計分析的原理，建立曲線擬合方程f（t），其必然是關(guān)于前一年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，并將此擬合曲線方程作為參數(shù)c的取值，由此通過（2）進(jìn)行預(yù)測研究.

據(jù)此得出：

其中f（t）是根據(jù)已知數(shù)據(jù)所進(jìn)行曲線擬合方程.于是，在原始數(shù)據(jù)序列滿足準(zhǔn)指數(shù)和光滑性的前提下可以據(jù)此來進(jìn)行預(yù)測研究.

［1］劉思峰，黨耀國，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

［2］譚冠軍.GM（1，1）模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用（Ⅰ）[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2000（4）：98-103.

［3］譚冠軍.GM（1，1）模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用（Ⅱ）[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2000（5）：125-132.

［4］譚冠軍.GM（1，1）模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用（Ⅲ）[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2000（6）：70-74.

［5］孫辰軍，王翠茹.殘差灰色預(yù)測模型的改進(jìn)與應(yīng)用[J].統(tǒng)計與決策，2005（3）：19-20.

［6］王忠桃，彭鑫.基于初值修正的灰色預(yù)測模型的改進(jìn)及其應(yīng)用[J].重慶工學(xué)院學(xué)報，2007（10）：81-84.

［7］張大海，江世芳，史開泉，等.灰色預(yù)測公式的理論缺陷及改進(jìn)[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2002（8）：140-142.

［8］羅榮桂，陳煒.灰色模型的一點改進(jìn)及應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，1988（4）：46-52.

責(zé)任編輯：畢和平

IMprovement of Parameters of the Gray Differential Equation

FU Jingyuan，LUO Mingqi，MA Shaoxian
（College of Computer Science and Information Engineering，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030，China）

The unreasonabilty in solving grey differential equations（1）on the basis of the given boundary conditions was analyzed.Combined with the ray systeMtheory and the principle of multivariate statistical analysis，the curve equation approximation instead of parameters constant in solving differential equations was proposed，which also improve the forecast accuracy.

differential equation；parameter；forecast

O 175

A

1674-4942（2010）02-0123-02

2010-02-20