●張禹水 (鄞州中學(xué) 浙江寧波 315000)

概率知識是高中數(shù)學(xué)新課程新增加的內(nèi)容，也是排列、組合知識的應(yīng)用及延伸.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍感覺概率問題比較抽象、難以理解.在解題過程中也往往會因?yàn)楦拍罾斫獠煌?、審題不嚴(yán)、考慮不周或忽視公式成立的條件等等而出現(xiàn)錯誤.為此，筆者對概率問題中學(xué)生易犯的錯誤作如下歸納總結(jié)，供讀者借鑒與參考.

類型1 “等可能”與“非等可能”概念混同

例1 將一枚骰子連續(xù)拋擲2次，所得點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率是多少?

剖析將一枚骰子連續(xù)拋擲2次，有36種等可能事件：

例2 某人有5把鑰匙，其中有1把是辦公室的抽屜鑰匙，但他忘了是哪一把，于是他便將5把鑰匙逐把地不重復(fù)試開.問恰好第3次打開抽屜的概率是多少?

錯解5把依次逐把試開，相當(dāng)于5把鑰匙在5個位置的全排列，即n=.“第3次打開”即是第3次已經(jīng)打開，只需考慮第1次和第2次的情形，則 m=，所以

剖析由等可能事件的概率定義知：n為一次試驗(yàn)中所包含的所有基本事件數(shù)，m為此試驗(yàn)中事件A所包含的基本事件數(shù).從集合的角度看：在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)n個結(jié)果組成一個集合U，這n個結(jié)果就是集合U的n個元素;包含m個結(jié)果的事件A對應(yīng)于U的含有m個元素的子集A.因此事件A的概率是子集A的元素個數(shù)與集合U的元素個數(shù)的比值.在錯解中取n=，是把“5把鑰匙依次逐把打開”作為“一次試驗(yàn)”，但取m=，是把事件A作為“第3次恰好打開情形下前3個位置的排列”，顯然前后兩者不是同一試驗(yàn)類型.從集合角度看，此時A也不是U的子集，所以解答錯誤.正確解法如下：

5把鑰匙依次逐把試開，相當(dāng)于5把鑰匙在5個位置的全排列，即n=，“恰好第3次打開”說明抽屜鑰匙固定在第3個位置，因此m=，所以

若強(qiáng)調(diào)“第3次恰好打開”的情形，則“一次試驗(yàn)應(yīng)確定為前3次試開中，抽屜鑰匙在第3個位置，得 n=A35，m=A24，所以

類型2 “有序”與“無序”概念混同

例3 甲、乙2人參加普法知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙2人依次各抽取1道題.

(1)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少?

(2)甲、乙2人至少有1人抽到選擇題的概率是多少?

(2)設(shè)甲、乙2人至少有1人抽到選擇題為事件A，則甲、乙2人都未抽到選擇題為事件.由對立事件的計算公式，得

剖析本題中把“12個停車位停8輛車”作為一次試驗(yàn)，計算n時把停車方法按有序進(jìn)行，即作為排列問題處理.而在計算m時僅考慮4個空位相連而沒有考慮8輛車的有序排放問題，即作為組合問題處理.由等可能事件概率意義知，前后兩者不是同一試驗(yàn)類型，因此解答錯誤.正確解法如下：

要正確解決有關(guān)概率問題，必須充分理解概率的定義，在解題時要認(rèn)真分析題意，確實(shí)把握n與m的意義，這樣才能正確解題.

類型3 “互斥事件”與“獨(dú)立事件”概念混同

例5 甲、乙、丙3名射手擊中目標(biāo)的概率分別為0.7，0.8，0.85.若他們 3 個人分別向目標(biāo)發(fā)射1槍，試求3彈都脫靶的概率.

錯解設(shè)甲發(fā)射1槍擊中目標(biāo)為事件A，乙發(fā)射1槍擊中目標(biāo)為事件B，丙發(fā)射1槍擊中目標(biāo)為事件C，則甲、乙、丙3人分別向目標(biāo)發(fā)射1槍擊中目標(biāo)為事件ABC，從而甲、乙、丙3人分別向目標(biāo)發(fā)射1槍擊中目標(biāo)的概率為：

因此3個人分別向目標(biāo)發(fā)射1槍3彈都脫靶的概率為：

剖析上述錯誤在于將相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，認(rèn)為“3彈都未中”的對立事件是“3彈都中”.而事實(shí)上，這兩者不是對立事件.正確的解法應(yīng)為：

甲、乙、丙脫靶的概率分別為

因此3彈都脫靶的概率是

例6 甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，2人恰好都命中2次的概率是多少?

錯解設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則2人都恰好投中2次為事件A+B，于是

剖析本題錯誤的原因是把相互獨(dú)立并同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將2人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和.互斥事件是指2個事件不可能同時發(fā)生;2個事件相互獨(dú)立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生與否沒有影響.它們雖然都描繪了2個事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系根本不同.正確解法如下：

設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，則2人都恰好投中2次為事件A·B，于是

類型4 “互斥事件”與“對立事件”概念混同

例7 甲、乙2名同學(xué)分別解1道數(shù)學(xué)題，每個人解出這道題的概率都是0.6，求至少有1個人解出這道題的概率.

錯解甲、乙2人都解不出題的概率都是1-0.6=0.4，從而2位同學(xué)都解不出的概率是0.4+0.4=0.8，因此至少有1個人解出的概率為1-0.8=0.2.

剖析上述錯解的原因是把“互斥事件”與“對立事件”混同，互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下3個方面：

(1)2個事件對立，則必定互斥，但互斥并不一定對立;

(2)互斥的概念適用于多個事件，但對立的概念只適用于2個事件;

(3)2個事件互斥只表明這2個事件不能同時發(fā)生，即至多有1個發(fā)生，但也可以2個都不發(fā)生，而對立事件則表示它們有且只有1個發(fā)生.

因此，上述問題的正確解法應(yīng)為：

甲、乙2名同學(xué)解出這道題的概率分別為

甲、乙2名同學(xué)解不出這道題的概率分別為

因此甲、乙都解不出這道題的概率為

至少有1個人解出_這道題的概率是

例8 已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A，B兩組，每組4支.求：

(1)A，B兩組中有1組恰有2支弱隊的概率;

(2)A組中至少有2支弱隊的概率.

(2)A組中至少有2支弱隊包含2種情形，即A組中有2支弱隊而B組中有1支弱隊，或者A組中有3支弱隊而B組中沒有弱隊.由互斥事件概率的定義，得A組中至少有2支弱隊的概率是

剖析在錯解(1)中利用的是等可能事件概率的計算，但在計算過程中忽視了“A，B兩組中有1組恰有2支弱隊”有2種情形，即A組有2支弱隊或B組有2支弱隊的情形.在(2)中混淆了互斥事件與對立事件的概念，A組中有2支弱隊與B組中有1支弱隊不是對立事件，而是同一件事件，因此出現(xiàn)了錯誤.正確解法如下：

本題著重介紹了較為復(fù)雜的等可能事件的概率計算方法和計算過程中容易出現(xiàn)的錯誤.這類問題一般有3種解法：(1)直接運(yùn)用公式和已學(xué)過的排列組合知識求出;(2)將復(fù)雜的事件分成幾個互斥事件，然后利用概率加法公式來解決;(3)類似于排列組合的間接法，先求出對立事件的概率，再求所求事件的概率，“至多至少”問題或多元復(fù)雜問題用這種方法較簡捷.這3種方法都是常用方法，必須熟練掌握.