宋志勇 祁向前

車橋系統(tǒng)形成的耦合振動在工程中是一個長期存在又較復(fù)雜難解的課題,研究和控制這種振動對于橋梁設(shè)計、維護和安全具有重要意義。這就需要分析研究車橋耦合振動具有的深層機理和振動特性,而其中關(guān)于建立既能真實反映系統(tǒng)耦合振動,又簡潔便于求解的理論模型成為重要的一環(huán)。國內(nèi)外眾多學者對這一問題進行了研究,但并未考慮車在行駛中速度的變化對振動的影響,或雖考慮了車體加速度對系統(tǒng)的動力學影響[5],但在模型中未考慮路面不平度和車橋之間的彈性—阻尼因素。本文研究橋梁的橫向振動和汽車的豎直振動組成的耦合振動,建立了包括橋面不平度、汽車勻變速行駛時的加速度等因素在內(nèi)的耦合振動模型,運用模態(tài)疊加法原理和Galerkin方法建立車橋系統(tǒng)的離散化方程組。

1 車橋耦合系統(tǒng)模型

本文將橋梁簡化看成兩端簡支,做橫向振動的,具有等效剛度的等截面Euler-Bernoulli彈性梁[4];橋面的不平度采用三角函數(shù)模擬。汽車簡化為豎直振動的質(zhì)量體,汽車輪胎等效為彈簧—阻尼系統(tǒng),并假定整個過程汽車輪胎不離開橋面,最終建立了如圖1所示的振動模型。

圖1中m為汽車質(zhì)量;k0和c0分別為汽車輪胎的等效剛度和阻尼;y(t)為汽車豎直振動位移,汽車運動初速度 v0,勻加速度a,某一時刻汽車距離 A端為ξ(t),則有:ξ(t)=v0t+0.5at2。其中橋梁的撓度為 w(x,t),長度為 L,等效抗彎剛度EI,單位長度質(zhì)量為 ρ,橋面的不平度 λ(x),且設(shè) λ(x)=dsin(ω0x)[4],d和ω0分別為橋面不平度波形的幅值和頻率。

2 車橋耦合系統(tǒng)振動方程的建立

將橋面不平度看作位移激勵,則汽車振動方程可寫為:

由于橋梁撓度一般很小,因而不考慮因橋變?yōu)榍€時汽車的牽連慣性力;同時忽略彈性橋本身的阻尼影響,則其振動方程為:

其中,δ為狄拉克函數(shù);g為重力加速度,采用Galerkin方法[6],將橋連續(xù)體離散化處理,則在簡支條件下梁撓度可寫為:

其中,φi為橋梁的第 i階模態(tài),φi(x)=sin(iπx/L)(i=1,…,N),令“·”表示對時間求導,則同理有:

其中,φi(ξ)=sin(ξ iπ/L)(i=1,…,N)ξ=v0+at。 將式(3)～式(5)代入方程(1),方程(2),則車和橋振動方程寫為:

將式(7)中左右兩側(cè)分別乘以 φj(x),j=1,…,N,并沿 x方向在區(qū)間[0,L]積分,利用 φ(x)正交性和 δ函數(shù)性質(zhì)有:

方程(6),方程(8)組成車橋振動的耦合方程,若設(shè) X={y,q1,q2,…,qN}T,則聯(lián)合方程(6),方程(8),車橋系統(tǒng)耦合振動方程可寫為:

其中,P=[k0λ-c0﹒λ,mgφ1(ξ),…,mgφi(ξ),…,mgφN(ξ)]T;

其中,M,C和K分別為系統(tǒng)方程的相當質(zhì)量矩陣、相當阻尼矩陣、相當剛度矩陣;P為系統(tǒng)的相當荷載向量。

式(9)為N+1個自由度的時變系數(shù)的非自治微分方程組,一般情況下,因為汽車加速度的存在,方程中系數(shù)矩陣顯含時間,其解析求解較復(fù)雜,可以采用數(shù)值計算得到響應(yīng),如Newmark方法;若汽車勻速行駛,則ξ·為常數(shù),M,C和K變?yōu)槌?shù)矩陣,P為周期性激勵,此時為自治系統(tǒng),可以直接得到X的解析式。由式(9)解出X,可直接得到汽車豎直振動響應(yīng),對于各階模態(tài)中的qi(t),根據(jù)模態(tài)疊加法原理,代入式(3)中,最終得到橋彎曲振動響應(yīng)。

3 結(jié)語

本文建立了符合實際的車橋耦合振動模型,運用模態(tài)疊加法原理和Galerkin方法最終得到了一個非自治時變系數(shù)的,具有任意自由度的離散化方程組,能夠?qū)蛄赫駝有再|(zhì)進行分析。在特殊條件下,即車勻速行駛時系統(tǒng)的響應(yīng)具有直接解析形式。

相對于文獻[3]～文獻[5]中所建立的振動模型,本文所建立的模型同時考慮有汽車加速度、汽車與橋面的彈性接觸、橋面不平度等實際因素,能更真實反映車橋耦合系統(tǒng)的振動,對于更好的研究車橋耦合振動機理、振動特性,以及橋梁的設(shè)計與施工具有實際的參考價值。

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[6] 劉延柱,陳文良,陳立群.振動力學[M].北京:高等教育出 版社,1998.