崔 中，文桂林，趙子衡，姜 潮

（湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

機(jī)械加工正在向著高精度、高效率的方向發(fā)展，高速磨削已成為現(xiàn)階段精加工的重要手段.在精密磨削中，主軸系統(tǒng)的振動(dòng)對(duì)工件的表面質(zhì)量影響很大，而且對(duì)主軸軸承和砂輪的微刃都有損害.不平衡的砂輪在高速運(yùn)轉(zhuǎn)中會(huì)導(dǎo)致主軸系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng).因此減小主軸系統(tǒng)的振動(dòng)和優(yōu)化主軸系統(tǒng)的性能成為國(guó)內(nèi)外提高磨削質(zhì)量的重要研究方向.在傳統(tǒng)工程優(yōu)化中，結(jié)構(gòu)參數(shù)和作用載荷都被視為確定參數(shù)，而對(duì)于高速磨床這種工程實(shí)際問(wèn)題，其材料特性、幾何參數(shù)和作用載荷等并不是確定的，特別是實(shí)際工況下的載荷.為了得到有用且可靠的結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化過(guò)程中考慮不確定性因素是很必要的.不確定性優(yōu)化是傳統(tǒng)優(yōu)化方法的延伸，使得優(yōu)化的結(jié)果更具有實(shí)際意義.

對(duì)于工程實(shí)際中的不確定性問(wèn)題，近年來(lái)，大多采用概率方法處理不確定問(wèn)題，把不確定變量作為隨機(jī)變量.然而由于概率方法對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題有其本身的局限性，因?yàn)橛袝r(shí)很難提供充分的概率分布信息來(lái)描述這些隨機(jī)變量，從而限制了基于概率的優(yōu)化方法在工程中的應(yīng)用[1－2].而基于區(qū)間方法的不確定性優(yōu)化把不確定參數(shù)看作區(qū)間數(shù)，只需要不確定參數(shù)的上下界信息即可，這些信息在工程實(shí)際中是比較容易獲得的，如此以來(lái)基于區(qū)間數(shù)不確定性優(yōu)化在工程應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)就顯而易見(jiàn)了[3].對(duì)于主軸系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)是通過(guò)建立柔性體動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到的，由于結(jié)構(gòu)較大，計(jì)算費(fèi)時(shí)，而且基于區(qū)間數(shù)的不確定優(yōu)化是一個(gè)嵌套優(yōu)化，如果調(diào)用動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，就會(huì)造成優(yōu)化的效率非常低，所以本文引入近似模型方法來(lái)代替主軸系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行不確定優(yōu)化，從而很大程度上提高了求解和尋優(yōu)的效率.

1 基于區(qū)間數(shù)方法的不確定優(yōu)化理論

式中：f為包含設(shè)計(jì)變量和不確定參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)；gi為第i個(gè)不確定約束函數(shù)；m為不確定約束的個(gè)數(shù)；X為n維設(shè)計(jì)向量；Ω為n維設(shè)計(jì)空間；p為q維不確定向量，上標(biāo)L和R表示區(qū)間的下界和上界.

利用區(qū)間數(shù)理論中的區(qū)間數(shù)序關(guān)系對(duì)區(qū)間進(jìn)行比較，則式（1）的不確定優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為式（2）的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：

一般的不確定性優(yōu)化問(wèn)題可以表述為式（1）：

式中：m（f（X，p））為目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的中點(diǎn)；w（f（X，p））為目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的半徑.fL（X）和fR（X）分別由式（3）表達(dá)式得出：

對(duì)于每個(gè)確定的X，f（X，p）的取值為一個(gè)由式（3）確定的區(qū)間，如此以來(lái)，式（2）所表述的不確定兩目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定的兩目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.

由于線性加權(quán)組合法相對(duì)簡(jiǎn)單并廣泛地被應(yīng)用于工程問(wèn)題中，所以本文采用線性加權(quán)組合法來(lái)處理兩目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，式（2）的兩目標(biāo)不確定優(yōu)化問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如式（4）的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：

式中：α為權(quán)重系數(shù)，其取值范圍為α∈[0，1]，α的選取依靠對(duì)實(shí)際問(wèn)題充分的了解.β和γ為使m（f（X，p））＋β和w（f（X，p））＋γ非負(fù)的常數(shù).φ和ψ為標(biāo)準(zhǔn)化因子，其表達(dá)式如下：

采用罰函數(shù)方法來(lái)處理不確定優(yōu)化問(wèn)題的約束條件，使其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題.式（4）可寫(xiě)為：

式中：σ為懲罰因子，通常取一個(gè)較大的值，當(dāng)不滿足約束條件時(shí)將受到懲罰，使得搜索保持在可行域內(nèi).

2 高速磨床主軸系統(tǒng)柔性體模型

2.1 ADAMS柔性體理論

在多剛體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS中建立柔性體模型，可以在考慮到物體的彈性的基礎(chǔ)上，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行有效的動(dòng)力學(xué)仿真，提高了系統(tǒng)仿真的精度，同時(shí)可以顯示出物體在運(yùn)動(dòng)受力時(shí)的彈性變形和應(yīng)力情況.

在ADAMS中是采用模態(tài)柔性體來(lái)表示物體彈性的，將彈性體離散為有限元模型，從而可以用有限的自由度來(lái)表示無(wú)限的自由度.基本方法是計(jì)算物體的模態(tài)，不同的模態(tài)是互相垂直的，從而構(gòu)成一個(gè)線性的模態(tài)空間，在模態(tài)空間中用模態(tài)特征向量的線性組合來(lái)表示物體有限元節(jié)點(diǎn)的彈性位移，通過(guò)計(jì)算每一時(shí)刻物體的彈性位移來(lái)描述其變形運(yùn)動(dòng).物體的變形可以在模態(tài)空間中通過(guò)模態(tài)的線性疊加關(guān)系得到，用如下表達(dá)式描述：

式中：d為各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移矢量；αi是模態(tài)參與因子；φ為物體的特征位移矢量.

本文采用的是利用ADAMS／FLEX模塊在模型中引用模態(tài)中性文件的方法建立柔性體系統(tǒng)模型，即通過(guò)有限元分析軟件對(duì)物體進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，生成模態(tài)中性文件——MNF文件，導(dǎo)入ADAMS中建立柔性體.

2.2 主軸系統(tǒng)的柔性體建模

某型高速磨床的主軸系統(tǒng)包括：砂輪架箱體，主軸，主軸靜壓軸承，砂輪等.

采用通用有限元軟件MSC.Patran建立主軸和砂輪架箱體的有限元模型.主軸是一個(gè)多階梯帶有錐度的圓柱體，砂輪架的內(nèi)部結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，為了方便進(jìn)行有限元建模和計(jì)算，兩者的結(jié)構(gòu)必須經(jīng)過(guò)一定的簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化的原則為：不考慮各處的倒角，忽略空刀槽和儲(chǔ)油槽；忽略很小的臺(tái)階和螺紋孔.

主軸是主軸系統(tǒng)的重要零件，使用六面體單元對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，因?yàn)榱骟w單元形狀規(guī)則、單元質(zhì)量好，計(jì)算精度高.而砂輪架箱體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，四面體單元的適應(yīng)度較好，所以采用四面體單元對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分.其有限元模型如圖1和圖2所示.

圖1 主軸有限元模型Fig.1 Finite element model of spindle

圖2 砂輪架有限元模型Fig.2 Finite element model of grinding carriage

由于主軸和砂輪架箱體的有限元模型要導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行加載仿真，所以需要在其有限元模型中設(shè)置連接點(diǎn).在主軸固定砂輪的軸端中心和前、后軸承中心以及安裝電機(jī)的軸段中心位置分別設(shè)置一個(gè)連接點(diǎn)，用于在導(dǎo)入ADAMS后與剛性體的連接、創(chuàng)建運(yùn)動(dòng)副和成為載荷的受力點(diǎn).同樣在砂輪架箱體有限元模型的兩個(gè)軸承座的中心處建立連接點(diǎn).連接點(diǎn)采用Patran中的多點(diǎn)約束（multi－point constraint，MPC），具體如圖2所示.

主軸的材料為65Mn，彈性模量E＝0.21TPa，泊松比μ＝0.3，密度為ρ＝7.81×103kg／m3.砂輪架的材料為 HT200，E＝0.12TPa，μ＝0.25，ρ＝7.4×103kg／m3.

采用MSC.Nastran對(duì)主軸和砂輪架箱體的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，并生成MNF文件.

2.3 ADAMS中主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

通過(guò)ADAMS／FLEX模塊將生成的主軸和砂輪架箱體的模態(tài)中性文件導(dǎo)入ADAMS中，進(jìn)行約束和加載.

由于在ADAMS中并不是所有的約束副和運(yùn)動(dòng)副都可以直接加在柔性體上的，需要通過(guò)啞物體過(guò)渡，在主軸和砂輪架箱體上的連接點(diǎn)處建立啞物體.采用軸套約束來(lái)模擬主軸靜壓軸承對(duì)主軸的支撐和受力關(guān)系.在主軸末端的連接點(diǎn)上建立圓柱副并施加旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，來(lái)模擬電機(jī).

在磨削加工中，磨削力有3個(gè)分量：Ft為切向磨削力，F(xiàn)n為法向磨削力，F(xiàn)s為縱向進(jìn)給方向的分力，如圖3所示.對(duì)于縱向進(jìn)給方向的力Fs來(lái)說(shuō)，由于各個(gè)磨粒具有隨機(jī)分布的正負(fù)傾角，使其各分力互相抵消，從而相對(duì)于其他兩個(gè)磨削力很小，所以只考慮切向磨削力和法向磨削力[4].

圖3 外圓磨削過(guò)程中的磨削力Fig.3 Grinding force in the cylindrical grinding process

切向磨削力Ft和法向磨削力Fn可以用式（7）和式（8）來(lái)計(jì)算：

的生長(zhǎng)基元為[MgO6]正八面體，其通過(guò)Mg-O鍵以共頂點(diǎn)的方式緊密相連，沿化學(xué)鍵作用力較強(qiáng)的[010]方向無(wú)限連接形成長(zhǎng)鏈。采用線性擬合計(jì)算得lgtind與f(lgs)的關(guān)系為y=3.828 25-5.199 65x，決定系數(shù)R2=0.983 49，擬合結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果良好吻合，重鎂水溶液濃度增大，誘導(dǎo)期時(shí)間縮短。

式中：k為與工件材料相關(guān)的系數(shù)；b為磨削寬度；λ為有效磨粒間隔；γ為圓錐半頂角；dw為工件直徑；ds為砂輪直徑；ω1為工件轉(zhuǎn)速；ω2為砂輪轉(zhuǎn)速；Δ為工件每轉(zhuǎn)磨削深度；ε為指數(shù)[5]，一般取0.2～0.5.在該磨床中dw＝100mm，ds＝500mm，ω1＝150 r／min，ω2＝360rad／s，Δ＝0.1mm，采用 CBN 砂輪，磨削寬度近似為砂輪的寬度，b＝25mm，ε＝0.5，γ＝60°，λ＝0.5mm.工件材料選用淬火45鋼，k＝165kg／mm.將這些參數(shù)代入式（7）和式（8）中得，F(xiàn)n＝910N，F(xiàn)t＝412N.

考慮到磨削的實(shí)際工況，將法向磨削力Fn視為周期載荷，加載在砂輪的質(zhì)心上，方向?yàn)閅軸的負(fù)方向.由于切向磨削力距離主軸250mm，因此在主軸上加一個(gè)扭矩T＝412×250＝103 000N·mm.

在ADAMS中用STEP函數(shù)來(lái)對(duì)力和力矩進(jìn)行加載，使其在1～1.2s之間平滑過(guò)渡，如圖4所示.

圖4 磨削力和力矩Fig.4 Grinding force and moment

對(duì)該模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，主軸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中應(yīng)力變化情況都可以在后處理動(dòng)畫(huà)中看到，如圖5所示.從結(jié)果中可以看出，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，主軸在靠近電機(jī)連接處的應(yīng)力較大，最大應(yīng)力為10.4 MPa.由于將砂輪視為剛體，所以砂輪質(zhì)心的位移與邊緣接觸點(diǎn)的位移是一致的，從而砂輪質(zhì)心的位移情況可以在一定程度上表征磨削時(shí)主軸的受力振動(dòng)對(duì)工件表面質(zhì)量的影響.觀察砂輪架質(zhì)心在X，Y和Z3個(gè)方向上的位移曲線，如圖6所示，可以看到在Y方向上（主軸的徑向）砂輪質(zhì)心在一開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)就有17μm的位移，之后在周期力的作用下又有最大幅值為3.3μm的跳動(dòng).本文以表征主軸系統(tǒng)剛度的砂輪質(zhì)心最大的跳動(dòng)幅值為響應(yīng)，建立目標(biāo)函數(shù).

圖5 砂輪架主軸系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)力圖Fig.5 Grinding stress figure of spindle－carriage system

圖6 砂輪質(zhì)心在X，Y和Z3個(gè)方向的位移變化圖Fig.6 Displacement variation figure of grinding wheel’s barycenter

3 主軸系統(tǒng)近似模型的建立

由于對(duì)柔性體主軸系統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的時(shí)間較長(zhǎng)，如此以來(lái)基于該模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，特別是進(jìn)行嵌套優(yōu)化計(jì)算，每次計(jì)算響應(yīng)值都要調(diào)用費(fèi)時(shí)的柔性體模型，使計(jì)算效率低下，從而阻礙了優(yōu)化算法在主軸系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.近似模型方法是目前較為流行的解決大規(guī)模模型優(yōu)化問(wèn)題的有效途徑，用其代替真實(shí)模型進(jìn)行優(yōu)化，可以很大程度地提高求解工程優(yōu)化問(wèn)題的效率.

3.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了建立有效的近似模型，需要借助實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，以獲取足夠的、合適的樣本點(diǎn).采樣點(diǎn)的選擇不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致近似模型的精度低、甚至錯(cuò)誤，并且會(huì)提高構(gòu)建近似模型的成本.

本文采用優(yōu)化拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，該方法的采樣點(diǎn)在采樣空間中分布均勻，可以在相對(duì)較少的采樣個(gè)數(shù)的情況下，獲得充分的模型信息.該方法的基本思想是將每個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的設(shè)計(jì)空間均勻地劃分為N×N的方陣，然后在其中隨機(jī)生成不同行不同列的N個(gè)采樣點(diǎn).

由于基于區(qū)間的不確定性優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化設(shè)計(jì)變量和不確定參數(shù)的函數(shù)，所以在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，采樣空間應(yīng)該為由設(shè)計(jì)空間和不確定參數(shù)空間組成的混合空間.

在高速磨削的實(shí)際工況中，磨削力不可能是一個(gè)確定量，它受到諸如磨削表面粗糙度、砂輪接觸面上動(dòng)態(tài)磨刃數(shù)、砂輪耐用度、磨削比能等因素的直接影響.本文以軸承的徑向剛度k1和軸向剛度k2為設(shè)計(jì)變量，法向磨削力Fn和磨削力矩T為不確定參數(shù)，在其組成的采樣空間內(nèi)選取樣本點(diǎn).

3.2 徑向基近似模型

近似模型的基本原理是，通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)和試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，建立設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，用以代替復(fù)雜的真實(shí)模型.本文選用徑向基函數(shù)近似模型，因其在考慮模型精度和魯棒性的同時(shí)，相比其他近似模型要可靠[6－7].

徑向基函數(shù)近似模型是以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過(guò)線性加權(quán)插值構(gòu)造出來(lái)的.徑向基函數(shù)是以待測(cè)點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的歐式距離為變量的函數(shù).本文選用Gaussian函數(shù)作為徑向基函數(shù)，其表達(dá)式如式（9）所示，則徑向基函數(shù)近似模型的解析表達(dá)式如式（10）所示.

式中：δi為權(quán)系數(shù)；Li為待測(cè)點(diǎn)到樣本點(diǎn)的歐氏距離，Li＝‖x－xi‖；α是給定的大于零的常數(shù)；n為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)已知樣本點(diǎn) Xj（j＝1，...，n）和其響應(yīng)值yj后，利用插值條件p（Xj）＝y(tǒng)j，計(jì)算出徑向基函數(shù)近似模型的權(quán)系數(shù)δi，從而構(gòu)建出顯式表達(dá)的徑向基近似模型[8].

將試驗(yàn)設(shè)計(jì)中得到的由徑向剛度k1、軸向剛度k2、法向磨削力Fn和磨削力矩T組成的樣本點(diǎn)，代入到柔性體主軸系統(tǒng)模型中進(jìn)行計(jì)算，得出其相應(yīng)的砂輪質(zhì)心最大跳動(dòng)幅值，根據(jù)上述方法，建立以主軸徑向剛度k1、軸向剛度k2、法向磨削力Fn和磨削力矩T為自變量，砂輪質(zhì)心最大跳動(dòng)幅值為目標(biāo)值的主軸系統(tǒng)近似模型F（k1，k2，F(xiàn)n，T）.

4 主軸系統(tǒng)的不確定性優(yōu)化研究

本文主軸系統(tǒng)不確定優(yōu)化研究的目的是使砂輪質(zhì)心在工作狀態(tài)下最大跳動(dòng)值最小，從而一定程度上提高主軸的回轉(zhuǎn)精度和工件表面的磨削精度.以上述徑向基函數(shù)近似模型F（k1，k2，F(xiàn)n，T）為目標(biāo)函數(shù)，約束條件為軸承的徑向剛度和軸向剛度的取值范圍，k1∈ [8×104N／mm，1×106N／mm]，k2∈[1×104N／mm，2×105N／mm].

結(jié)合本問(wèn)題實(shí)際情況，在上述區(qū)間不確定性優(yōu)化方法中，將區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間半徑視為同等重要，則式（6）中權(quán)重系數(shù)α＝0.5.常系數(shù)β＝γ＝10.主軸系統(tǒng)的不確定優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可用表達(dá)式（11）描述：

其中：

采用隔代遺傳算法（intergeneration projection genetic algorithm，IPGA）對(duì)上述目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.隔代遺傳算法是在微型遺傳算法的基礎(chǔ)上加入隔代映射算子，隔代映射算子是用來(lái)沿著連續(xù)兩代中最好個(gè)體的方向上，尋找更好的個(gè)體，以代替當(dāng)前代中最差的個(gè)體[9].隔代遺傳算法不僅繼承了微型遺傳算法種群規(guī)模小、基因多樣性和全局優(yōu)化的特點(diǎn)，而且提高了收斂速率.

首先，外層遺傳算法在主軸徑向剛度k1和軸向剛度k2組成的設(shè)計(jì)空間內(nèi)尋優(yōu)，對(duì)于每個(gè)所取的設(shè)計(jì)向量進(jìn)入內(nèi)層遺傳算法，在不確定磨削力Fn和T組成的不確定參數(shù)空間內(nèi)搜索，通過(guò)計(jì)算徑向基近似模型F（k1，k2，F(xiàn)n，T）確定目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)的上下界，進(jìn)而得到目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)和半徑.把內(nèi)層優(yōu)化結(jié)果反饋給外層優(yōu)化算法，以幫助外層算法繼續(xù)尋優(yōu)，直到滿足停止準(zhǔn)則輸出最后的設(shè)計(jì)變量作為優(yōu)化結(jié)果.優(yōu)化流程如圖7所示.

最后的優(yōu)化結(jié)果為，在不確定參數(shù)作用下，當(dāng)k1＝771 573.8N／mm，k2＝43 802.5N／mm 時(shí)，砂輪質(zhì)心最大跳動(dòng)值區(qū)間為[1.61μm，2.49μm]，不確定區(qū)間中心為2.05μm，區(qū)間半徑為0.44μm.以區(qū)間中點(diǎn)來(lái)說(shuō)，相比優(yōu)化前的砂輪質(zhì)心最大跳動(dòng)值降低了37.9%，即使最壞情況為2.49μm也比優(yōu)化前降低了24.5%，結(jié)果令人滿意.

我們可以通過(guò)調(diào)整液體靜壓軸承一些參數(shù)，如供油壓力、軸承長(zhǎng)度、軸承間隙等[10]，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化出來(lái)的軸承剛度參數(shù).

圖7 主軸系統(tǒng)優(yōu)化流程圖Fig.7 Optimizaiton flowchart of spindle system

5 結(jié) 論

1）將基于區(qū)間數(shù)的不確定性優(yōu)化方法引入到高速磨床主軸系統(tǒng)的優(yōu)化中，在考慮實(shí)際工況中載荷不確定性的基礎(chǔ)上，對(duì)主軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.優(yōu)化結(jié)果顯示，當(dāng)主軸系統(tǒng)剛度k1＝771 573.8 N／mm，k2＝43 802.5N／mm時(shí)，表征磨削質(zhì)量的砂輪質(zhì)心徑向最大跳動(dòng)值區(qū)間為[1.61μm，2.49μm].主軸系統(tǒng)的振動(dòng)性能有了較大的提高，而且使優(yōu)化結(jié)果更有實(shí)際意義.

2）建立高速磨床主軸系統(tǒng)的柔性體動(dòng)力學(xué)模型，提高了磨削仿真的精度，可以更實(shí)際地反映出磨削時(shí)主軸系統(tǒng)的受力和振動(dòng)情況.

3）根據(jù)高速磨床自身模型大、計(jì)算費(fèi)時(shí)等特點(diǎn)，建立結(jié)構(gòu)參數(shù)與目標(biāo)值之間的徑向基函數(shù)近似模型，用于代替動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，從而大大提高了求解高速磨床這類(lèi)復(fù)雜有限元模型優(yōu)化問(wèn)題的效率.

[1] CHO G M.Log－barrier method for two－stage quadratic stochastic programming[J].Applied Mathematics and Computation，2005，164（1）：45－69.

[2] SENGUPTA A，PAL T K，CHAKRABORTY D.Interpretation of inequality constraints involving interval coefficients and a solution to interval linear programming[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，119：129－138.

[3] JIANG C，HAN X，GUAN F J，etal.An uncertain structural optimization method based on nonlinear interval number programming and interval analysis method[J].Engineering Structures，2007，Doi：10.1016／j.engstruct，2007.01.020.

[4] 李伯民，趙波.現(xiàn)代磨削技術(shù)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.LI Bo－min，ZHAO Bo.Modern grinding technology[M].Beijing：China Machine Press，2004.（In Chinese）

[5] 王龍山，李國(guó)發(fā).磨削過(guò)程模型的建立及其計(jì)算機(jī)仿真[J].中國(guó)機(jī)械工程，2002，13（1）：1－5.WANG Long－shan，LI Guo－fa.Modelling and computer simulation for grinding process[J].China Mechanical Engineering，2002，13（1）：1－5.（In Chinese）

[6] JIN R，CHEN W，SIMPSON T W.Comparative studies of metamodeling techniques under multiple modeling criteria[J].Journal of Structural and Multidisciplinary Optimization，2001，23（1）：1－13.

[7] 穆雪峰，姚衛(wèi)星，余雄慶，等.多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中常用代理模型的研究[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（5）：608－612.MU Xue－feng，YAO Wei－xing，YU Xiong－qing，etal.A survey of surrogate models used in MDO[J].Chinese Journal of Computational Mechanics，2005，22（5）：608－612.（In Chinese）

[8] 文桂林，崔中，彭克立.基于近似模型的高速磨床零部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J].中國(guó)機(jī)械工程，2009，20（8）：906－910.WEN Gui－lin，CUI Zhong，PENG Ke－li.Structural optimization for high speed grinder’s components based on the approximate model[J].Chinese Journal of Computational Mechanics，2009，20（8）：906－910.（In Chinese）

[9] 劉桂萍，韓旭，姜潮.并行隔代映射遺傳算法及其在材料參數(shù)反演中的應(yīng)用[J].中國(guó)機(jī)械工程，2007，18（4）：387－390.LIU Gui－ping，HAN Xu，JIANG Chao.Parallel intergeneration projection genetic algorithm and its application to determination of material parameters[J].China Mechanical Engineering，2007，18（4）：387－390.（In Chinese）

[10] 丁敘生.以主軸系統(tǒng)剛度與總功耗之比值為目標(biāo)函數(shù)的液體靜壓軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].南昌航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，14（3）：26－29.DING Xu－sheng.The optimum design of hydrostatic bearing[J].Journal of Nanchang Ininstitude of Aeronautical Technology，2000，14（3）：26－29.（In Chinese）