鐘 浩，吳政球，劉 青，李廣超

（1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410082；2.西安科技大學(xué) 電控學(xué)院，陜西 西安 710054；3.河南省新鄉(xiāng)市電力局，河南 新鄉(xiāng) 453002）

隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，以及電力市場改革的不斷深入，電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定顯得尤為重要[1].研究快速有效的故障后電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)評估方法對電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行非常必要.

支路故障[2]可能導(dǎo)致線路過負(fù)荷和／或系統(tǒng)電壓遠(yuǎn)離安全區(qū)域[3].為了使故障后電網(wǎng)運(yùn)行在容許的范圍之內(nèi)，這就要求電力系統(tǒng)運(yùn)行人員能夠快速準(zhǔn)確估計支路故障后的系統(tǒng)狀態(tài)并及時采取相應(yīng)措施.然而故障后電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)估計方法的精度和速度往往是相互沖突的.

直流潮流法[4－5]因其對故障后有功計算簡單、精度較高而被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐.但是這種方法不能對電壓安全性進(jìn)行分析.文獻(xiàn)[6－8]采用了基于補(bǔ)償方法快速解耦一次迭代方法，但要修正故障后的雅可比矩陣重新形成因子表，計算時間較長.文獻(xiàn)[9－10]采用分布因子法來進(jìn)行電網(wǎng)安全分析，有功分布因子由于計算簡單、精度較高而被廣泛地用于工程實(shí)踐，但無功分布因子的精度一直是一個問題.文獻(xiàn)[11]考慮了有功與無功的耦合關(guān)系，但對線路故障而言，其電壓誤差仍然達(dá)到1.8%，無功潮流誤差很大，不能滿足工程計算的要求.利用優(yōu)化方法，文獻(xiàn)[12－13]將電壓無功安全分析問題轉(zhuǎn)化為一個考慮故障線路附近網(wǎng)絡(luò)無功約束的優(yōu)化問題，受優(yōu)化方法的收斂性能影響，求解速度不是很快.

本文提出一種兼顧速度與精度的計算預(yù)想故障后電壓的方法.此方法將開斷參數(shù)（即支路導(dǎo)納系數(shù)[14]）看成連續(xù)變化的參數(shù)，只需要在基態(tài)網(wǎng)絡(luò)分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行前代與回代即可求得節(jié)點(diǎn)電壓對開斷參數(shù)各階導(dǎo)數(shù)，利用各階導(dǎo)數(shù)對節(jié)點(diǎn)電壓泰勒展開，可計算得到電壓函數(shù)關(guān)系曲線上線路開斷參數(shù)在很小變化范圍內(nèi)的幾個點(diǎn)，如圖1所示（如1，2，3，4點(diǎn)），然后通過理論分析，提出節(jié)點(diǎn)電壓與線路開斷參數(shù)的近似函數(shù)關(guān)系，最后用上述所求的點(diǎn)對電壓函數(shù)進(jìn)行擬合，最終得出節(jié)點(diǎn)的開斷電壓.

1 N－1網(wǎng)絡(luò)下節(jié)點(diǎn)電壓快速計算模型及其算法的實(shí)現(xiàn)

用擬合技術(shù)快速準(zhǔn)確求解支路故障后的電壓包括兩階段，電壓對支路開斷參數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)求解和基于泰勒級數(shù)的曲線擬合.

1.1 電壓對支路開斷參數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)

在沒有線路開斷的基態(tài)網(wǎng)絡(luò)潮流計算收斂時，牛頓法潮流修正方程為：

圖1 節(jié)點(diǎn)電壓與支路導(dǎo)納系數(shù)的關(guān)系Fig.1 The relationship between the voltage and admittance

假設(shè)i節(jié)點(diǎn)到j(luò)節(jié)點(diǎn)間線路退出運(yùn)行，令i節(jié)點(diǎn)到j(luò)節(jié)點(diǎn)間線路開斷狀態(tài)用線路開斷參數(shù)αij表示.αij＝1，表示ij－ 線路正常運(yùn)行；αij＝0，ij－ 停運(yùn).將收斂后（1）式兩邊對線路開斷參數(shù)求導(dǎo)得（2）式：

式（3）即是電壓對開斷參數(shù)的多階導(dǎo)數(shù)求解通式.在第k階導(dǎo)數(shù)求解式中，等式左邊k＝1，2，3…，為待求的電壓對開斷參數(shù)第k階導(dǎo)數(shù)，式右邊為已求得的電壓對開斷參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，n＝1，2，3…k－1，為雅可比矩陣[J]對αij的各階導(dǎo)數(shù)k＝1，2，3…，即是對αij的各階導(dǎo)數(shù)[15]，Chn是二項(xiàng)式系數(shù).求解式為：

JαijVn－1是[J]先對αij偏導(dǎo)得JαijV0，再將JαijV0經(jīng)電壓對αij求n－1階導(dǎo)，[JVn]是[J]直接經(jīng)電壓對開斷參數(shù)求導(dǎo)[15].

由上所述即可求得電壓對線路開斷參數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，從而可得到節(jié)點(diǎn)電壓的泰勒展開式為：

其中α0為泰勒展開原點(diǎn)，一般情況下節(jié)點(diǎn)電壓在線路處于聯(lián)通狀態(tài)即α0＝1處展開.

1.2 基于泰勒法的擬合法

系統(tǒng)故障前，線路處于聯(lián)通狀態(tài)，其線路開斷參數(shù)α0＝1，對應(yīng)節(jié)點(diǎn)電壓e（1）和f（1）.當(dāng)故障線路三相斷路時，其線路開斷參數(shù)α0＝0，對應(yīng)節(jié)點(diǎn)電壓為e（0）和f（0）.當(dāng)線路開斷參數(shù)連續(xù)變化時，節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部與虛部皆可看做線路開斷參數(shù)的函數(shù)，分別為e（α）和f（α），可由下式表示：

其中A0，A1，A2，A3為常系數(shù)；α為線路開斷參數(shù).

應(yīng)該指出的是：采用式（5）亦可計算線路斷開時的各節(jié)點(diǎn)電壓.但從圖1可看出，由于α－V曲線的非線性，且開斷參數(shù)α變化較大（由1變到0），使得節(jié)點(diǎn)電壓變化較大.實(shí)際計算也表明直接用式（5）精確計算線路斷開后各節(jié)點(diǎn)電壓時，泰勒展開的階數(shù)較高，需6～7階[15]，計算時間較長.

從上面的分析，我們可以想到使α在式（5）的展開原點(diǎn)α0＝1附近變動，是否只需很少的幾階泰勒展開就可以得到幾個點(diǎn)的精確e（α）和f（α）值，然后對式（6）進(jìn)行擬合.從圖1也可以看出，當(dāng)線路開斷參數(shù)α在很小的變化范圍內(nèi)（α＝1附近）變動時，節(jié)點(diǎn)電壓變化較小，節(jié)點(diǎn)電壓與線路開斷參數(shù)關(guān)系曲線較平緩.實(shí)際計算也表明：在該范圍內(nèi)用式（5）直接計算e（α）和f（α）值只需三階泰勒展開即可得到很精確的解.所以為使精確度高且計算時間少，本文用很小變化范圍內(nèi)（α＝1附近）的幾個點(diǎn)來擬合節(jié)點(diǎn)電壓函數(shù)，從而得到斷線后的節(jié)點(diǎn)電壓.由式（6）知，電壓函數(shù)有四個未知數(shù)，所以本文采用在支路開斷參數(shù)變化很小區(qū)域內(nèi)選擇四個點(diǎn)得到四個線性方程，從而可確定四參數(shù)A0，A1，A2，A3的值，得到節(jié)點(diǎn)電壓與線路開斷參數(shù)的函數(shù)關(guān)系.

當(dāng)α＝1.0時此時：

另外三個線性方程為：

式（7）中的e（1.0）即為基態(tài)情況下節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)部，其值可由基態(tài)潮流計算得出.而對于式（8），（9）和（10）中的e（0.95），e（0.90），e（0.85）可按式（5）將其在α0＝1處展開，并精確到3階.

聯(lián)立（7），（8），（9），（10）可解得參數(shù)A0，A1，A2，A3，又由α＝0時可求得支路故障后電壓.

同理節(jié)點(diǎn)電壓虛部亦可作如上推導(dǎo).只需在上述公式中將e（α）換成f（α）即可.在求得e（α）和f（α）后，即可得到節(jié)點(diǎn)電壓的幅值與相角.

2 算例

以IEEE30和IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例進(jìn)行分析.用牛頓法和本文所提方法分別計算測試系統(tǒng)故障后的電壓幅值和無功功率，并將其結(jié)果進(jìn)行比較.

節(jié)點(diǎn)的電壓幅值誤差定義為：

VPF為采用牛頓潮流法計算出來的故障后節(jié)點(diǎn)電壓幅值，VDF為采用本文所提方法計算出來的故障后節(jié)點(diǎn)電壓幅值.支路無功功率誤差定義為：

QPF為采用牛頓潮流法計算出來的故障后支路無功功率，QDF為采用本文所提方法計算出來的故障后支路無功功率.

在所有的仿真之中，兩個比較有代表性的故障如表1所示.第一個故障是斷開節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)6之間的支路.第二個故障是斷開節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)12之間的變壓器支路.故障后所有節(jié)點(diǎn)的電壓幅值和所有支路的無功功率如表1和表2所示.

從表1可以看出電壓幅值誤差相當(dāng)小，當(dāng)支路4－6斷開時系統(tǒng)電壓幅值最大誤差為0.003，平均誤差為0.001 2，小于文[10]所計算的電壓幅值最大誤差0.005 5和平均誤差0.002 6.當(dāng)支路4－12斷開時系統(tǒng)電壓幅值最大誤差為0.006，平均誤差為0.001 8，小于或等于文[10]所計算的電壓幅值最大誤差0.006和平均誤差0.0029.

表1 IEEE30支路4－6和4－12故障后電壓值Tab.1 Post－outage voltage for branch of 4－6outage in IEEE 30－bus test system P.U.

從表2可以看出，當(dāng)支路4－6斷開時，曲線擬合法所得各支路無功功率最大誤差為2.882，平均誤差為0.634 162.當(dāng)支路4－12斷開時，最大誤差為2.489，平均誤差為0.314 953.

表2 IEEE30支路4－6和4－12故障后支路無功潮流Tab.2 Post－outage varflows for baranch 4－6outage in IEEE 30－bus test system MVAR

表3描述了以基態(tài)負(fù)荷為準(zhǔn)的不同負(fù)荷水平情況下，本文所提方法計算精度的變化情況.負(fù)荷有功、無功以及PV節(jié)點(diǎn)的有功都按相同比例增長.從表3可以看出，在不同負(fù)荷水平下，本文所提方法的計算誤差沒有太大變化，所以利用該方法所編程序計算性能相當(dāng)穩(wěn)定.

表3 IEEE30節(jié)點(diǎn)不同負(fù)荷等級情況下電壓誤差統(tǒng)計Tab.3 Error statistics for different loadings in 30－bus test system

表4給出了所提方法的CPU時間.采用的計算機(jī)具有512M內(nèi)存、CPU速度為2.20GHz.從表4可以看出計算時間是本文方法的優(yōu)勢之一.而且，系統(tǒng)規(guī)模越大，本文方法的效率越高.

表4 牛頓法與曲線擬合法計算時間比較Tab.4 CPU time comparison between Newton and proposed method

3 結(jié) 論

本文提出將節(jié)點(diǎn)電壓看成線路開斷參數(shù)的函數(shù)，然后根據(jù)泰勒級數(shù)在函數(shù)關(guān)系曲線上確定幾個點(diǎn)，基于擬合技術(shù)得到用線路參數(shù)表示的節(jié)點(diǎn)電壓函數(shù).特點(diǎn)是在計算不同故障線路、各階導(dǎo)數(shù)時共用潮流計算收斂時的雅克比矩陣，不用重新對雅可比矩陣進(jìn)行因子表分解，只需低階泰勒展開就可得到精確的節(jié)點(diǎn)電壓值，其計算速度比故障后重新進(jìn)行牛頓潮流程序計算速度要快很多.將此方法在多個IEEE標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)算例中進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)和時間比較，結(jié)果表明擬合方法可達(dá)到很高的精度要求.因此，對于大型電網(wǎng)的N－1電壓估計在線監(jiān)視和分析有重大的意義.

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