□文/吳 蕾

股票市場(chǎng)是現(xiàn)代市場(chǎng)體系的有機(jī)組成部分，也是現(xiàn)代金融市場(chǎng)中最有活力的增長(zhǎng)點(diǎn)。我國(guó)的股票市場(chǎng)起步較晚，市場(chǎng)制度尚不完善，從而使得股票市場(chǎng)的發(fā)展起伏較大。隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的日趨成熟，股票市場(chǎng)的進(jìn)一步開放和交易品種的不斷豐富，對(duì)新形勢(shì)下的股票市場(chǎng)發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律和實(shí)踐進(jìn)行深入的研究是非常有必要的。

近年來的很多實(shí)證研究表明，經(jīng)濟(jì)、金融系統(tǒng)中的時(shí)間序列大多具有非線形性，也就是說這些時(shí)間序列具有長(zhǎng)期的記憶性。表現(xiàn)在波動(dòng)性上的長(zhǎng)期記憶型又稱持續(xù)性。由于波動(dòng)性不僅是資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的決定因素，而且還是衍生證券定價(jià)中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，因此很好地理解金融時(shí)間序列的波動(dòng)性具有重要意義。

國(guó)外對(duì)股票市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)特征已經(jīng)進(jìn)行了大量的實(shí)證研究，其中最成功的模擬方差隨時(shí)間變化的模型是由Engle（1982）首先提出的自回歸條件異方差模型，即ARCH模型。ARCH模型實(shí)際上是對(duì)時(shí)間序列動(dòng)態(tài)模型的推廣，它將方差和條件方差區(qū)分開來，并且定義條件方差是過去誤差的函數(shù)，為解決異方差問題提供了新的途徑。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)ARCH模型的階數(shù)過大時(shí)，參數(shù)的估計(jì)則不再精確；除此之外，為了保證方差為正，還要求參數(shù)值為正，當(dāng)參數(shù)過多時(shí)，實(shí)際數(shù)據(jù)的估計(jì)模型往往不能滿足這一點(diǎn)，因此，Bollerslev（1986）在此基礎(chǔ)上提出了廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型。大量實(shí)驗(yàn)表明，金融數(shù)據(jù)擾動(dòng)項(xiàng)異方差具有極大的持續(xù)性，這些現(xiàn)象促使Engle和Bollerslev（1986）提出了 IGARCH（q）模型，給出了單位根的許多特性。Bollerslev等人近期經(jīng)過研究又提出了FIGARCH（p，d，q）模型，這種方法的目的就在于可以對(duì)模型方差靈活定階，可以更好地解釋金融市場(chǎng)的波動(dòng)性。目前，ARCH模型和GARCH模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于股票市場(chǎng)、貨幣市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)、期貨市場(chǎng)的研究中，來描述股票價(jià)格、利率、匯率、期貨價(jià)格等金融時(shí)間序列的波動(dòng)性特征。Bollerslev等對(duì)美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾500復(fù)合指數(shù)進(jìn)行FIGARCH建模研究，得到差分階數(shù)d=0.447，顯著不同于0和1，表明美國(guó)股市從波動(dòng)性上表現(xiàn)出長(zhǎng)期的記憶性。我國(guó)學(xué)者李漢東、張世英和湯果、何曉群等人分別從理論方法上和實(shí)證分析上對(duì)FIGARCH模型進(jìn)行了研究，結(jié)果表明了我國(guó)股市收益存在長(zhǎng)期記憶性。

本文利用遺傳算法對(duì)上證綜合指數(shù)的波動(dòng)建立 FIGARCH（p，d，q）模型，從條件方差上研究了中國(guó)股票市場(chǎng)的長(zhǎng)期記憶性。本文第一部分介紹了FIGARCH模型；第二部分介紹了遺傳算法以及應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行C語言編程的步驟；第三部分對(duì)上證綜合指數(shù)進(jìn)行FIGARCH建模；第四部分給出了簡(jiǎn)要的結(jié)論。

一、FIGARCH模型概述和參數(shù)估計(jì)

（一）模型概述

1、GARCH模型。ARCH模型介紹了條件方差的短期記憶性，GARCH模型是對(duì)ARCH模型的擴(kuò)展，因此GARCH模型具有ARCH模型的特點(diǎn)，但GARCH模型的條件方差不僅僅是滯后殘差平方項(xiàng)的線性函數(shù)，而且是滯后條件方差的線性函數(shù)，模型如下：

σ2t=Var是到 t時(shí)刻的信息集。

其中：ω為常數(shù)，L為推移算子。

GARCH（p，q）不僅反映了短期滯后，而且考慮到了長(zhǎng)期滯后。而且研究表明，一般只需研究 GARCH（1，1）模型。

2、FIGARCH模型。FIGARCH模型是對(duì)GARCH模型的多項(xiàng)特征的整合和推廣，是其更一般的情形，反映了金融時(shí)間序列的長(zhǎng)期記憶性，模型如下：

令 v＝ε2t－σ2t，代入（1）可得：

此時(shí)，vt是零均值不相關(guān)的時(shí)間序列。

當(dāng)此時(shí)的特征多項(xiàng)式 1－α（L）－β（L）＝0有一個(gè)單位根時(shí)，就得了Engle和Bollerslev（1986）提出的 IGARCH 模型。如同從 ARIMA（p，d，q）模型推廣到 ARFIMA（p，d，q）模型來觀察經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的長(zhǎng)期記憶性一樣，很自然的考慮到從I－GARCH（p，q）到 FIGARCH（p，d，q）的推廣：

其中：0

顯然，當(dāng) d=0 時(shí)，F(xiàn)IGARCH（p，d，q）模型就是 GARCH（p，q）模型；當(dāng) d=1 時(shí)，F(xiàn)IGARCH（p，d，q）模型就是 IGARCH（p，q）模型。

（二）參數(shù)估計(jì)

考慮一般的 FIGARCH（p，d，q）：

常用的FIGARCH模型的參數(shù)估計(jì)方法是擬極大似然估計(jì)法（QMLE），F(xiàn)IGARCH（p，d，q）的似然函數(shù)如下：

其中 θ′=（ω，d，β1，β2，…，βp，φ1，φ2，…，φq），φk是 φ（L）的系數(shù)。

在對(duì)FIGARCH模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，首先應(yīng)該確定差分階數(shù)d的值，常用的方法有四種：嘗試法、GPH方法、周期圖法以及重標(biāo)極差方法（R/S分析法）。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家通過選取不同的d值進(jìn)行嘗試性的研究給出一個(gè)近似最優(yōu)解，這種方法的計(jì)算過程是繁瑣的，而且是不科學(xué)的。GPH方法是Geweke與Porder Hudak在1983年提出的一種最常見的估計(jì)階數(shù)d值的半?yún)?shù)方法，它運(yùn)用濾波理論，對(duì)譜密度對(duì)數(shù)的函數(shù)進(jìn)行回歸而得出d值。GPH方法意味著d可以通過一個(gè)簡(jiǎn)單的回歸方程來估計(jì)得到，但當(dāng)樣本數(shù)足夠大時(shí)，d的最小二乘估計(jì)才漸進(jìn)服從正態(tài)分布，而實(shí)際中的樣本量通常是有限的，尤其是起步較晚的我國(guó)股市，很難獲得足夠大的樣本數(shù)。除此之外，這種方法所計(jì)算出的d值通常較小，不是明顯異于0和1。周期圖法是對(duì)加權(quán)的周期圖量值最小化而求出d的估計(jì)值的一種方法，它是研究證券市場(chǎng)波動(dòng)性的有效方法，能過濾大部分序列的相關(guān)因素，但不能完全剔除，而且由于沒有考慮到宏觀政策發(fā)布等因素，使得序列不相互獨(dú)立。經(jīng)典的R/S分析是通過計(jì)算赫斯特指數(shù)來計(jì)算d的一種方法，這種方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但序列具有短期記憶和非平穩(wěn)性。為了彌補(bǔ)這種方法的不足，Lo（1991）又提出了修正的R/S分析，目前已成為實(shí)證分析主要采用的方法，但這種方法所計(jì)算的d值通常較小。除此之外，王春峰和張慶翠對(duì)中國(guó)股市波動(dòng)性的長(zhǎng)期記憶性進(jìn)行研究時(shí)，在OX統(tǒng)計(jì)語言環(huán)境下，應(yīng)用G@RCH2.1軟件包，經(jīng)編程計(jì)算，也可以求解d，并且可以對(duì)所求的d值進(jìn)行T統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，這種方法是比較科學(xué)的，而且d值是顯著異于0和1的。我國(guó)學(xué)者李穎和湯果在理論新探上還提出了BHHH算法和混合梯度算法，BHHH算法計(jì)算程序比較簡(jiǎn)單，但迭代次數(shù)較多，計(jì)算效果較差；混合梯度算法迭代次數(shù)少，收斂速度快，耗時(shí)較少，可以很大地提高計(jì)算效率。本文提出了對(duì)金融時(shí)間序列建立FIGARCH模型的一種新方法——遺傳算法。

二、基于遺傳算法的C語言算法設(shè)計(jì)

（一）遺傳算法介紹。遺傳算法簡(jiǎn)稱GA，是1962年由美國(guó)Michigan大學(xué)的Holland教授提出的模擬自然界遺傳機(jī)制和生物進(jìn)化論而形成的一種并行隨機(jī)搜索最優(yōu)化的方法。他將物競(jìng)天擇的生物進(jìn)化原則引入優(yōu)化參數(shù)形成的編碼群體中，按所選擇的適應(yīng)函數(shù)并通過遺傳中的復(fù)制、交叉和變異對(duì)個(gè)體進(jìn)行篩選，使適應(yīng)性強(qiáng)的個(gè)體得到保留，并組成下一代群體，新一代群體既繼承了上一代的信息，又優(yōu)于上一代。這樣周而復(fù)始，群體中個(gè)體適應(yīng)度不斷提高，直到滿足所給定的條件。遺傳算法的主要特點(diǎn)是采用群體搜索策略和充分利用群體中個(gè)體間的信息交換，具有全局搜索、搜索空間維數(shù)較大等優(yōu)點(diǎn)，尤其適用于處理傳統(tǒng)搜索方法難于解決的復(fù)雜問題。其基本操作包括：復(fù)制、交叉和變異。

（二）C語言算法設(shè)計(jì)

1、理論說明。本文選取模型為FIARCH（1，d，1），如下所示：

其中：ω、β、φ都是未知參數(shù)。

按公式（4）?。?-L）d的 20階泰勒展開式，將 FIGARCH（1，d，1）模型展成含參數(shù)的GARCH模型：

其中：a[i]含有未知參數(shù) φ，i=0，1，2，…20。

由已知的時(shí)間序列｛ε2t｝按公式（6）可計(jì)算出｛σ2t｝的真實(shí)值。

由GARCH模型可知其一步預(yù)測(cè)為：

用上述｛ε2t｝的值根據(jù)公式（7）可計(jì)算出｛σ2t｝的預(yù)測(cè)值｛｝。

2、算法設(shè)計(jì)步驟

步驟1：外層循環(huán)

（1）給出下列參數(shù)的取值：種群大?。≒OP_SIZE）、交叉率（P_CROSSOVER）、變異率（P_MUTATION）、最大進(jìn)化代數(shù)（GEN）。

其中：ρk為 βk的自相關(guān)函數(shù)，T 為 ρk的樣本數(shù)，，R為βk的樣本數(shù)。

由于Q～x（m），若選取的參數(shù)滿足Q＜x0.05（m），則說明｛βk｝是白噪聲，即所建立的模型即消除了短期記憶性又消除了長(zhǎng)期記憶性。

步驟2：內(nèi)層循環(huán)——遺傳算法（復(fù)制、交叉、變異）

（1）初始化。在[0，1]之間隨機(jī)選取POPSIZE個(gè)d值，組成向量d[POPSIZE]，對(duì)每個(gè) d[i]（1≤i≤POPSIZE），再次使用遺傳算法選擇參數(shù)，具體做法如下：

①初始化。給出下列參數(shù)的取值：種群大?。≒OP_SIZE1）、交叉率（P_CROSSOVER1）、異率（P_MUTA －TION1）、最大進(jìn)化代數(shù)（GEN1）。

選擇適應(yīng)函數(shù)為：L（θ）＝－（T/2）log

②復(fù)制。隨機(jī)選取三組POP_SIZE1個(gè)[0，1]之間的數(shù) ω[POPSIZE1]、β[POPSIZE1]、φ[POPSIZE1]作為初始的種群，把每一組 ω[i]、β[i]、φ[i]（1≤i≤POPSIZE1）及相應(yīng)的 d值代入公式（6），將使條件方差為正的 ω[i]、β[i]、φ[i]保留下來，再根據(jù)適應(yīng)函數(shù)（9），按照遺傳算法選擇的步驟選取一組值（每個(gè)值都包含ω、β、φ三個(gè)參數(shù)）作為新一代種群。

③交叉。把新一代種群兩兩配對(duì)，對(duì)每一對(duì)包含ω、β、φ三個(gè)參數(shù)的向量都隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)[0，1]之間的數(shù)，這里設(shè)為r，如果r

④變異。對(duì)每一個(gè)包含ω、β、φ三個(gè)參數(shù)的向量都隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)[0，1]之間的數(shù)，如果這個(gè)數(shù)小于P_MUTATION1，則發(fā)生變異，變異的方法為：隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)[0，1]之間的數(shù)作為變異點(diǎn)，如果這一點(diǎn)的二進(jìn)制編碼為1就改為0，反之亦然。

⑤將使適應(yīng)函數(shù)依次變大的參數(shù)值保留下來。

⑥循環(huán)步驟②、③、④、⑤直到達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)GEN1，則得到的ω、β、φ的值就為d[i]所對(duì)應(yīng)的極大似然估計(jì)的參數(shù)估計(jì)值。

（2）復(fù)制。對(duì)每一個(gè) d[i]（1≤i≤POPSIZE）值及經(jīng)過上述①-⑥所選取的相應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)ω、β、φ的值計(jì)算適應(yīng)函數(shù)（8），同樣按遺傳算法的選擇步驟選取一組值作為新一代種群。

（3）交叉。將選擇出的新一代種群兩兩配對(duì)，對(duì)每一對(duì) d[i]（1≤i≤POPSIZE）隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)[0，1]之間的數(shù)，如果小于P_CROSSOVER，則發(fā)生交叉，交叉方法同上。

（4）變異。對(duì)每個(gè) d[i]（1≤i≤POPSIZE）隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)[0，1]之間的數(shù)，如果小于P_MUTATION，則發(fā)生變異，變異方法同上。

（5）重復(fù)上述復(fù)制、交叉、變異，直到所計(jì)算的Q值滿足Q＜x0.05（m）（此時(shí)迭代次數(shù)不應(yīng)超過最大迭代次數(shù)GEN），則得到的d值就為最優(yōu)的差分階數(shù)。

三、上證綜合指數(shù)分析

（一）變量說明。T：樣本容量，這里選取2000年1月4日到2006年6月30日的收盤指數(shù)，共1，555個(gè)；Pt：每日收盤指數(shù)，t=1，2，3，…T；Rt=100（logPt-logPt-1）：每日收益率，t=1，2，3，…T；εt：對(duì) Rt作確定性分析后的殘差項(xiàng)，t=1，2，3，…T；d：差分階數(shù)。

（二）數(shù)據(jù)分析：對(duì)上證綜合指數(shù)每日收盤指數(shù)進(jìn)行Eviews分析，其走勢(shì)如圖1所示。（圖1）

收益率具有明顯的聚類現(xiàn)象，時(shí)序圖如圖2所示。（圖2）

由于股指內(nèi)部各種股票的非同步交易會(huì)導(dǎo)致股指收益序列的自相關(guān)性顯著，為了濾除序列中這種短相關(guān)因素而突出長(zhǎng)相關(guān)因素，我們建立輔助自回歸模型，分析其殘差序列。

圖1 上證收盤指數(shù)走勢(shì)圖

圖2 上證收盤指數(shù)收益率時(shí)序圖

對(duì)上證收益率建立輔助自回歸AR（2）模型：Rt=0.0060＋0.0449×Rt-1－0.0159×Rt-2＋εt

對(duì)模型進(jìn)行SPSS分析，如表1所示。（表1）從表1中可看出AR（2）模型中常數(shù)項(xiàng)和Rt-2的系數(shù)的尾概率分別為0.85784494和0.52724769，說明所建立的AR模型是不顯著的。這是因?yàn)锳R模型建立的前提條件是殘差項(xiàng)εt必須是白噪聲，這也就說明上證指數(shù)收益率的殘差項(xiàng)不是白噪聲，事實(shí)上，它具有顯著的異方差性，因此，有必要對(duì)AR模型的殘差項(xiàng)進(jìn)行建模分析。

首先，由收益率和AR（2）模型我們可以計(jì)算出殘差項(xiàng)εt的值，進(jìn)而可得出殘差平方項(xiàng)ε2t的值，用Eviews分析如圖3所示，具有明顯的異方差性。（圖3）

圖3 殘差平方項(xiàng)時(shí)序圖

由于我國(guó)股市具有長(zhǎng)期記憶性，我們對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)平方項(xiàng) ε2t建立 FIGARCH（1，d，1）模型，這里我們對(duì)1，555個(gè)數(shù)中連續(xù)的900個(gè)數(shù)進(jìn)行實(shí)證研究，查表可知x0.05（30）=43.8，只要所計(jì)算的 Q<43.8，就說明所建立的模型是正確的。

應(yīng)用遺傳算法編程，選取參數(shù)值為：

對(duì) FIGARCH（1，d，1）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和差分階數(shù)的計(jì)算得出結(jié)果，如表2所示。（表 2）

經(jīng)過134次迭代后，Q=2.1950<43.8=x0.05（30）。

說明在建立了AR模型和FIGARCH模型后，所得到的誤差項(xiàng)｛βt｝是白噪聲，不存在短記憶性和長(zhǎng)記憶性，所建立的模型是正確的，此時(shí)：

差分階數(shù)：d=0.6162

參數(shù)：ω=0.4225

β=0.9928 φ=0.8802

似然函數(shù)值為：-2373.9469

由此可得，上證綜合指數(shù)收益率（2000-01-04～2006-06-30）符合 AR（2）-FIGARCH（1，0.6162，1）

其中：βt是白噪聲。

四、結(jié)束語

股票價(jià)格指數(shù)的變動(dòng)反映出了股票市場(chǎng)所在國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和其他狀況的變化，人們常常稱其為“晴雨表”，因此研究股票市場(chǎng)的波動(dòng)性是很有必要的。FIGARCH模型擅長(zhǎng)于反映金融資產(chǎn)的異方差特性以及長(zhǎng)記憶型的波動(dòng)特性，它的主要應(yīng)用領(lǐng)域是金融資產(chǎn)，包括證券、期權(quán)、利率等多方面。從提出至今，它已被許多人成功地應(yīng)用到證券市場(chǎng)及匯率市場(chǎng)，很好地反映了金融市場(chǎng)的這種波動(dòng)性。

本文應(yīng)用遺傳算法的思想進(jìn)行編程，建立FIGARCH模型，模擬了中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)性過程。結(jié)果表明，對(duì)收益率進(jìn)行AR建模后，再對(duì)FIGARCH模型進(jìn)行一階預(yù)測(cè)的值與真實(shí)值的差得到的時(shí)間序列是白噪聲，也就是說經(jīng)過建立自回歸模型和FIGARCH模型后，金融時(shí)間序列已經(jīng)消除了短記憶性和長(zhǎng)期記憶性。上海股市d=0.6162，顯著不同于0和1，說明過去的沖擊對(duì)未來股市的影響將會(huì)持續(xù)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，即中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)性過程具有長(zhǎng)期記憶性。這也就意味著可以用過去的歷史收益和波動(dòng)情況來預(yù)測(cè)未來的收益情況，從而能利用過去的波動(dòng)性建立風(fēng)險(xiǎn)控制模型和增加獲取投機(jī)利潤(rùn)的機(jī)會(huì)。除此之外，模型中的β值為：0.9928，非常接近于1，這意味著條件方差收斂于無條件方差的速度較慢，因此對(duì)條件方差的沖擊經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間才會(huì)消失，也就是說波動(dòng)性是持久的，進(jìn)一步反映了股市的長(zhǎng)期記憶性。

表1 AR（2）模型的SPSS分析

表2 基于遺傳算法的C語言程序求解

遺傳算法不同于傳統(tǒng)的優(yōu)化和搜索方法，它具有智能性和并行性。智能性使得所選擇的子代具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，通過交叉和變異所得到的后代更適應(yīng)環(huán)境；而并行性則實(shí)現(xiàn)了空間中的多個(gè)區(qū)域的同時(shí)搜索，保證了大規(guī)模計(jì)算在短時(shí)間內(nèi)完成。遺傳算法為建立FIGARCH模型提供了一個(gè)平臺(tái)，我們可以通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的方法來獲得差分階數(shù)d的值，這種做法是科學(xué)的，所計(jì)算出的d值是顯著異于0和1的。然而，我們事先無法預(yù)測(cè)遺傳算法中的最大迭代次數(shù)（GEN），只能通過大量的實(shí)驗(yàn)或是預(yù)先給出一個(gè)比較大的值來進(jìn)行定性的檢驗(yàn)。遺傳算法是通過交叉和變異來實(shí)現(xiàn)結(jié)果優(yōu)化，當(dāng)?shù)揭欢ù螖?shù)以后，收斂的速度就會(huì)減慢，增加了運(yùn)算的時(shí)間。除此之外，對(duì)于不同的適應(yīng)函數(shù)、不同的數(shù)據(jù)，應(yīng)如何確定遺傳算法中的參數(shù)，即如何確定P_CROSSOVER和P_MUTATION的值，也有待于進(jìn)一步的研究。

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