李全

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，廣西桂林541004)

在數(shù)字信號處理、導(dǎo)航通訊等許多領(lǐng)域會大量使用反正切函數(shù)進(jìn)行必要的計(jì)算，當(dāng)FPGA系統(tǒng)應(yīng)用于上述領(lǐng)域時常常會遇到如何使用硬件來完成反正切函數(shù)計(jì)算的問題。本文設(shè)計(jì)了基于CORDIC算法的反正切函數(shù)計(jì)算模塊，并且根據(jù)IEEE-754單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式對輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)了高精度的浮點(diǎn)反正切函數(shù)的計(jì)算。

1 反正切函數(shù)實(shí)現(xiàn)原理

CORDIC算法有旋轉(zhuǎn)模式和向量模式兩種計(jì)算模式。旋轉(zhuǎn)模式可以用來計(jì)算一個輸入角的正弦、余弦，向量模式可以計(jì)算給定向量的角度和長度。

CORDIC算法的基本迭代公式為:

如果將輸入向量通過一個特定的角Y變?yōu)?，且旋轉(zhuǎn)的方向取決于Y的符號，即:

則N次迭代后CORDIC公式的輸出變?yōu)?

其中P為旋轉(zhuǎn)增益，P≈1.646 76。如果Z0=0，對于給定的X0和Y0，N次迭代后CORDIC公式的輸出變?yōu)?

從上式可以看出，CORDIC算法在向量模式可以計(jì)算出給定向量(X，Y)的長度和角度，即從平面坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換。

2 數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換接口模塊

本文設(shè)計(jì)的反正切函數(shù)硬件模塊輸入為IEEE-754單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)，而模塊內(nèi)部迭代使用的是定點(diǎn)整型數(shù)據(jù)，因此需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

圖1 輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口

在圖1的輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口示意圖中，X、Y為輸入的IEEE-754浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式，輸入范圍是(－∞，＋∞)，經(jīng)過接口模塊轉(zhuǎn)換為整型定點(diǎn)數(shù)據(jù)Xn、Yn，其表示范圍是[-1+1]。

矢量(X，Y)在平面坐標(biāo)系中的角度為arctan(Y/X)，它只與Y和X的比值有關(guān)，與Y和X的實(shí)際長度無關(guān)。用這個性質(zhì)可以以X和Y中絕對值最大的值作為歸一化數(shù)值，將X和Y的范圍重新映射在[-1+1]之間，實(shí)現(xiàn)(X，Y)到(Xn，Yn)的轉(zhuǎn)換。

計(jì)算結(jié)束后輸出結(jié)果Z。Z是32位定點(diǎn)整型數(shù)據(jù)，且232被定義為2π，將其規(guī)格化為IEEE-754格式的過程如圖2所示。在對Z進(jìn)行規(guī)格化之前，需要進(jìn)行前導(dǎo)零檢測，以確定規(guī)格化時尾數(shù)左移的位數(shù)和指數(shù)位的大小，前導(dǎo)零的檢測硬件上可以用casex語句實(shí)現(xiàn)。

圖2 輸出數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口

3 整體設(shè)計(jì)以及仿真綜合

浮點(diǎn)反正切函數(shù)的硬件結(jié)構(gòu)包括了三個主要部分，即浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換接口模塊、CORDIC內(nèi)核計(jì)算模塊和浮點(diǎn)輸出數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口模塊，如圖3所示。

圖3 整體結(jié)構(gòu)框圖

采用Quartus II對設(shè)計(jì)進(jìn)行FPGA綜合，F(xiàn)PGA芯片選擇EP2C70F896C6，硬件環(huán)境為Altera公司的DE2-70平臺，總共需要1 522個邏輯單元，占用芯片資源的2%，最高工作頻率為100 MHz。

4 Nios II中反正切函數(shù)的自定義指令實(shí)現(xiàn)

反正切函數(shù)與Nios II CPU的接口采用multi-cycle custom instruction，dataa和datab為輸入數(shù)據(jù)，result為結(jié)果輸出，要從C語言中直接調(diào)用自定義指令，需要一個宏定義接口?？梢栽趕ystem.h文件中找到自定義指令的宏定義，如:

為了正確調(diào)用自定義指令，在主程序中重新做以下宏定義:

與system.h文件中系統(tǒng)自動生成的宏定義不同之處在于將宏定義的接口說明由“__builtin_custom_inii”改為了“__builtin_custom_fnff”。系統(tǒng)自動生成的宏定義默認(rèn)輸入輸出皆為整型數(shù)據(jù)，改為“__builtin_custom_fnff”就是通知系統(tǒng)這是一條輸入輸出都是單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)類型的用戶自定義指令。這樣由CPU調(diào)用時就不會出現(xiàn)數(shù)據(jù)類型不匹配的錯誤。

通過在Nios II CPU中加入的JTAG_UART模塊，可以從調(diào)試終端窗口中獲得運(yùn)行結(jié)果。硬件IP核平均計(jì)算用時73個周期，而軟件計(jì)算平均用時21 000個周期，計(jì)算速度提升300倍以上。此時CPU工作頻率為100 MHz，且配置為最高性能，浮點(diǎn)反正切函數(shù)硬件模塊僅工作在50 MHz。浮點(diǎn)反正切函數(shù)硬件模塊的計(jì)算精度完全可以滿足單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)的要求，計(jì)算誤差小于10e-6，因此可以用于對精度和速度都要求很高的各種信號處理領(lǐng)域。

反正切函數(shù)是應(yīng)用范圍最廣的一個反三角函數(shù)，而用硬件實(shí)現(xiàn)浮點(diǎn)反正切函數(shù)對相應(yīng)算法的速度會起到一個很大的提升作用，硬件浮點(diǎn)反正切函數(shù)可以很方便地作為一個IP核被系統(tǒng)調(diào)用，實(shí)現(xiàn)高速并行的超越函數(shù)計(jì)算。目前，已經(jīng)設(shè)計(jì)完成并用Nios II處理器驗(yàn)證過浮點(diǎn)超越函數(shù)計(jì)算IP，包括浮點(diǎn)正弦函數(shù)、浮點(diǎn)余弦函數(shù)、浮點(diǎn)反正切函數(shù)和浮點(diǎn)反正弦函數(shù)。Nios II處理器通過加入這些IP核模塊就能實(shí)現(xiàn)大部分浮點(diǎn)超越函數(shù)計(jì)算，使用硬件IP核計(jì)算比用軟件計(jì)算在速度上至少可以提升300～1 000倍，這樣就可以將Nios II處理器用于原先只有用DSP才能處理的一些場合，可以充分發(fā)揮FPGA系統(tǒng)的靈活性以及并行數(shù)據(jù)處理的能力。

[1]Volder.The CORDIC trigonometric computing technique[J].IRE Trans,1959:334-334.

[2]WALTHER.J.S.A unified algorithm for elementary functions[J].Spring Joint Computer Conf，1971:379-385.

[3]李全，李曉歡，陳石平.基于CORDIC算法高精度浮點(diǎn)超越函數(shù)的FPGA實(shí)現(xiàn).電子技術(shù)應(yīng)用，2009，35(5):166-168.