岳永恒，王茂，孫光輝

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心,黑龍江哈爾濱150001;2.東北林業(yè)大學(xué)交通學(xué)院,黑龍江哈爾濱150040)

近年來，隨著大功率電子器件的快速發(fā)展，永磁同步電機由于其高效性和良好的動態(tài)特性，在機器人、航空航天領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[1]。但是由于其高速和弱磁區(qū)域控制受到較高的門限電壓限制[2]，大大限制了其應(yīng)用。研究表明，永磁同步電機系統(tǒng)像很多非線性系統(tǒng)一樣表現(xiàn)出多個穩(wěn)態(tài)工作點，在一定條件下，可能出現(xiàn)極限環(huán)甚至混沌。所以研究永磁同步電機系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)工作點附近的特性是近來研究的熱點。大量的文獻(xiàn)表明，永磁同步電機在動態(tài)特性上與混沌Lorenz系統(tǒng)具有相似性[3-5]。

混沌系統(tǒng)是一種確定性系統(tǒng)，其運動軌跡敏感地依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即兩個相同的混沌系統(tǒng)從非常接近的初始狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過一定的過渡時間之后，其運動軌跡將變得完全不同。這和現(xiàn)實生活中的一些復(fù)雜系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的特性非常相似，即確定性系統(tǒng)所表現(xiàn)出的隨機性。系統(tǒng)的混沌特性在很多情況下是人們不希望的，所以針對這些系統(tǒng)，研究了很多的控制方法來消除混沌現(xiàn)象。例如混沌的自適應(yīng)控制[6]、變結(jié)構(gòu)控制[7]、反饋控制等[8]。此外在混沌同步方面自從Pecora和Carroll的文章(即P-C同步法)[9]發(fā)表以來，混沌同步的研究也取得了巨大的發(fā)展。

本文正是由混沌同步的觀點出發(fā)，設(shè)計出永磁同步電機的狀態(tài)觀測器，從而構(gòu)造出非線性反饋控制器，實現(xiàn)永磁同步電機的控制。通過簡單的線性系統(tǒng)的零極點配置方法，便可以獲得期望的運行特性,而且避免了PID校正中由于參數(shù)不當(dāng)而可能出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象。

1 數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機的d-q模型廣泛地用于控制器設(shè)計。通過Park變換很容易將電機的交流變量轉(zhuǎn)換成直流變量，極大地方便了控制系統(tǒng)設(shè)計。永磁同步電機的d-q模型可以表示為:

其中下標(biāo)q代表著q軸的變量，d代表著d軸的變量，V代表電壓，I為電流，n為極對數(shù)。而相應(yīng)的電磁轉(zhuǎn)矩可以表示為:

更詳細(xì)的內(nèi)容可以參見參考文獻(xiàn)[10]，而機電系統(tǒng)的動態(tài)方程表示為:

其中T(I，θ)是電機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，Tl(t)為外部力矩?？紤]到各種摩擦，Tl(t)=bω+TL，其中b為粘滯摩擦系數(shù)，TL為其他負(fù)載力矩。對于均勻氣隙的電機來說，可以認(rèn)為Ld=Lq。所以永磁同步電機系統(tǒng)可以表述為以下的模型:

在一定條件下，上述的系統(tǒng)和混沌Lorenz系統(tǒng)具有等價的表示形式。例如采用以下的變換:

其中Σ=diag(σ1,σ2,σ3),Q=(q1,q2,q3)T,系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成著名的Lorenz系統(tǒng):

當(dāng)ρ=ρH時，Hopf分岔發(fā)生；當(dāng)ρ＞ρH時，系統(tǒng)的三個平衡點均不穩(wěn)定。值得注意的是，對于給定的電機，有與之對應(yīng)的δ，隨之就會有確定的ρH，相對應(yīng)地存在b和Vd，使得混沌現(xiàn)象總是能夠被觀察到。此外,隨著b和Vd的減小，混沌現(xiàn)象被觀察到的可能性就會越大[10]。例如，選擇電機的參數(shù)為:J=5×10-6kgm2,L=0.99 mH,R=0.9 Ω,Ki=0.049,Nm/A,b=2.3×10-2N/(rad/s),則可得到δ=10.17，而相應(yīng)的電機系統(tǒng)分岔圖如圖1所示。圖1描述的是當(dāng)參數(shù)從0到900變化時，采用Wolf方法[11]所得到的Lyapunov指數(shù)譜及相應(yīng)|y|的分叉圖。更多關(guān)于奇異吸引子的內(nèi)容可以參見參考文獻(xiàn)[12-14]。

2 控制器設(shè)計

線性控制器尤其比例積分(PI)控制器在永磁同步電機速度控制中通常是首選的設(shè)計方案。簡單地表述為雙閉環(huán)控制系統(tǒng):內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，外環(huán)為速度環(huán)。這里就以比例調(diào)節(jié)器為例，說明傳統(tǒng)的線性調(diào)節(jié)器在永磁同步電機控制應(yīng)用中的弊端。記Iqr和Idr分別為q軸和d軸的指令電流，而實際中Idr=0可以很容易得到保證[4]，則采用比例調(diào)節(jié)器的d-q電壓為:

將(9)式代入(6)式可以得到:

為了得到不受驅(qū)動的Lorenz系統(tǒng),可以使外部轉(zhuǎn)矩TL=0，以及指令電流Iqr=0?？梢缘玫饺缦碌哪Ｐ?

將(7)式代入(11)式，通過計算可以得到Lorenz系統(tǒng)族的Lyapunov指數(shù)集與反饋增益Kp的關(guān)系，如圖2所示。圖中計算所采用的方法同樣是Wolf法，只不過此時Lyapunov指數(shù)集的計算與反饋增益Kp息息相關(guān)。

從圖2可以看出永磁同步電機在較小的反饋增益Kp(Kp＜86)下能夠保持穩(wěn)定，隨著Kp的增加，混沌化逐漸加劇。在控制系統(tǒng)設(shè)計時，一方面為了保證系統(tǒng)的響應(yīng)速度，必須有較大的反饋增益；而另一方面，大的反饋增益又容易使系統(tǒng)混沌化。對于PI調(diào)節(jié)器，也有同樣的結(jié)果。受非線性反饋的啟發(fā)[14]，可以引入如下的反饋:

這里的Kqi和Kdi是為了得到期望性能而引入的反饋系數(shù)。當(dāng)引入以上的非線性反饋后，系統(tǒng)就變成如同Y˙=AY+Kτωd的線性系統(tǒng):

通過簡單的零極點配置方法，閉環(huán)系統(tǒng)就能得到期望的性能。更進(jìn)一步來說，實際系統(tǒng)中某些變量是不能直接測量的，例如現(xiàn)在研究的同步電機無位置傳感器控制就是只能測量電機的角速度ω。為此，可以構(gòu)造基于混沌同步的狀態(tài)觀測器，估計出其他變量，從而可以實現(xiàn)控制。其結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。也就是說，通過構(gòu)造與永磁同步電機相關(guān)的同步子系統(tǒng)，將控制所需的電機狀態(tài)變量用通過同步后的子系統(tǒng)變量代替，從而形成閉環(huán)控制。

圖3 基于混沌同步的非線性反饋控制方框

根據(jù)驅(qū)動-響應(yīng)耦合同步原理[9],將y3(即電機角速度ω)作為驅(qū)動信號，響應(yīng)系統(tǒng)可以寫成如下的形式:

而非線性反饋則為

為了驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以通過定義以下的誤差:

定義Lyapunov函數(shù)為V=(e12+e22)/2,則:

假定Kq2=-Kd1,Kq1＜1以及Kd2＜1，則V˙負(fù)定，系統(tǒng)就能穩(wěn)定。事實上，可以很容易地通過零極點配置來保證系統(tǒng)矩陣A為負(fù)定,即保證:

從式(18)可以看出，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就必須保證Kq1＜1及Kd2＜1。這也就是說，只要通過零極點配置，能夠保證Kq2=-Kd1，Kq1＜1及Kd2＜1，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)永磁電機混沌系統(tǒng)的同步，而且能夠?qū)崿F(xiàn)基于混沌同步的觀測器穩(wěn)定，進(jìn)而保證控制系統(tǒng)的有效性。例如,通過選取:Kq3=ρ,Kd3=0,Kd1=1,Kq1=Kd2=-1以及Kτ=2.7,就可以得到系統(tǒng)的極點為:λ1=-10.170 0，λ2=-2+i，λ3=-2-i。圖4為系統(tǒng)的角速度ω隨時間的變化過程。

本文首先介紹了永磁同步電機與混沌Lorenz系統(tǒng)在數(shù)學(xué)模型上的相似之處。永磁同步電機本身是不會呈現(xiàn)混沌特性的，但是隨著電機外部力矩的變化及q軸電壓的變化，就有可能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。傳統(tǒng)的PI控制器在抑制混沌上作用又不是很明顯。由此引入了非線性反饋控制，該控制器能夠使非線性的電機系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為普通的一階系統(tǒng)，從而可以通過線性系統(tǒng)的零極點配置達(dá)到期望的響應(yīng)特性?？紤]到實際系統(tǒng)的某些變量可能無法測量，在非線性反饋的基礎(chǔ)之上，引入了基于混沌降階同步的狀態(tài)觀測器，用估計值代替某些不可測量的變量，進(jìn)而構(gòu)成非線性反饋，實現(xiàn)了電機系統(tǒng)的控制。同時通過Lyapunov直接法證明了觀測器的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果也證明了該控制器的有效性。

[1]王立欣,王宇野,王豐欣.基于DSP的電動車用永磁同步電機的控制方法[J].電機與控制學(xué)報,2005,9(1):51-54.

[2]JAHNS T M,KLINMAN G B,NEUMANN T W.Interior permanent magnet synchronous motors for adjustable-speed drives[J].IEEE Transactions on Industrial Applications,1986,22(4):738-747.

[3]HEMATI N,KWATNY H.Bifurcation of equilibria and chaos in permanent-magnet machines[C].Proceedings of the 32nd conference on Decision and control,December 1993:425-429.

[4]楊志紅,姚瓊薈.無刷直流電動機系統(tǒng)非線性研究[J].動力學(xué)與控制學(xué)報,2006,4(1):59-62.

[5]HEMATI N.Strange attractors in brushless DC motors.IEEE Transactions on Circuits and Systems-I:Fundamental Theory and Application.1994,41(1):40-45.

[6]LI Shuang,XU Wei,LI Rui Hong.Synchronization of two different chaotic systems with unknown parameters[J].Phys.Lett.A,2007,361(1):98-102.

[7]LI Xiao Run,ZHAO Liao Ying,ZHAO Guang Zhou.Sliding mode controlfor synchronization of chaotic systems with structure or parameters mismatching[J].Zhejiang Univ SCI,2005(6):571-576.

[8]HUANG L L,WANG M,FENG R.Parameters identification and adaptive synchronization of chaotic systems with unknown parameters[J].Phys.Lett.A,2005,342:299-304.

[9]PECORA L M,CARROLL T M.Synchronization of chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-830.

[10]HEMATI N,LEU M C.A complete model characterization of brushless DC motors[J].IEEE Transactions on Industry Applications.1992,28(1):172-180.

[11]GE Zheng Ming,CHANG Ching Ming,CHEN Yen Sheng.Anti-control of chaos of single time scale brushless dc motors and chaos synchronization of different order systems[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,27:1298-1315.

[12]JING Zhu Jun,CHANG Yu,CHEN Guan Rong.Complex dynamics in a permanent-magnet synchronous motor model[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,22:831-848.

[13]GE Z M,CHENG J W.Chaos synchronization and parameter identification of three time scales brushless DC motor system[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,24:597-616.

[14]ZAHER A A.A nonlinear controller design for permanent magnet motors using a synchronization-based technique inspired from the Lorenz system[J].CHAOS,2008,18:(1).