趙煉恒，李 亮，但漢成，羅蘇平，任東亞

（中南大學(xué)土木建筑學(xué)院，長沙 410075）

極限上限分析中“切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的探討

趙煉恒，李 亮，但漢成，羅蘇平，任東亞

（中南大學(xué)土木建筑學(xué)院，長沙 410075）

基于極限分析上限法，討論了“切線法”引入非線性M-C破壞準(zhǔn)則時采用“初始切線法”和“外切線法”對邊坡臨界高度、地基承載力、主動土壓力3個經(jīng)典土力學(xué)問題的影響，用以分析“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則對分析巖土問題的合理性和有效性。研究表明：非線性參數(shù)對土工結(jié)構(gòu)的安全性有重要影響，恰當(dāng)引入巖土材料的非線性破壞特性更加符合工程實(shí)際；基于上限法通過“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則是眾多上限解答的一個上限解答，特定條件下能夠獲得較好的上限解，但隨著非線性參數(shù)m的增大由此引起的誤差也越來越大，采用“外切線法”更具有效性和合理性。

土力學(xué)；非線性M-C破壞準(zhǔn)則；極限上限法；切線法

1 概 述

現(xiàn)有研究表明，巖土介質(zhì)服從非線性破壞準(zhǔn)則［1-4］，自從Zhang和Chen（1987）［5］引入了冪函數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則以來，基于該破壞準(zhǔn)則的巖土工程問題的分析研究成為熱點(diǎn)。Collins（1988）［6］，Drescher（1988）［7］和馬崇武（1999）［8］根據(jù)“插值法”，采用非線性破壞準(zhǔn)則獲得了邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)。Maksimovic（1996）［9］和Li（2007）［10］結(jié)合數(shù)值分析法分析了巖土非線性破壞準(zhǔn)則對邊坡穩(wěn)定性的影響。王建鋒（2005）［11］基于Janbu普遍條分法，獲得了非線性強(qiáng)度下的邊坡穩(wěn)定性分析；胡衛(wèi)東（2006）［12］基于極限平衡法研究了非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則對邊坡安全系數(shù)的影響。

上限法由于其明確的物理意義和能夠提供嚴(yán)格的解答范圍而被更多學(xué)者認(rèn)可，楊小禮（2002，2004，2006，2007）［13-16］基于非線性SQP優(yōu)化方法和“外切線法”研究了邊坡的穩(wěn)定性，土壓力和地基承載力問題。胡衛(wèi)東（2007）［17］采用“初始切線法”對螺旋線破壞機(jī)制條件下的豎直邊坡進(jìn)行了穩(wěn)定性系數(shù)計(jì)算并與Zhang X J和Chen W F（1987）［5］的結(jié)果進(jìn)行了對比，認(rèn)為“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法也是有效、合理的。但由于該文獻(xiàn)所舉對比算例極為有限，尚不足以說明“初始切線法”的正確性，此時ct和φt實(shí)際均為常數(shù)，在進(jìn)行分析時與基于線性破壞準(zhǔn)則的方法無實(shí)質(zhì)上的差別，因而“初始切線法”的合理性有待進(jìn)一步證實(shí)。

基于以上原因，本文主要討論“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則時采用“初始切線法”和“外切線法”對邊坡臨界高度、地基承載力、主動土壓力3個經(jīng)典的土力學(xué)問題的影響，用以分析“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則對巖土問題的合理性和有效性。

2 基本理論與假設(shè)

2.1 非線性破壞準(zhǔn)則

設(shè)非線性破壞準(zhǔn)則為

將式（1）繪制成如圖1所示的曲線。c0，σt，m均為需通過試驗(yàn)確定的巖土材料參數(shù)，c0為曲線與縱軸的截距，-σt為曲線與橫軸的截距，曲線恒定通過（0，c0）和（-σt，0）兩點(diǎn)，m決定強(qiáng)度曲線的彎曲程度，進(jìn)而影響巖土材料的屈服特性。當(dāng)m＝1時，式（1）變?yōu)榫€性Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則。

圖1 非線性破壞準(zhǔn)則Fig.1 Nonlinear failure criterion curve

2.2 基于非線性破壞準(zhǔn)則的極限分析方法

結(jié)構(gòu)上限分析時，提高材料的屈服強(qiáng)度不會降低結(jié)構(gòu)的極限載荷，因而采用上限分析時，對非線性破壞準(zhǔn)則下的上限分析可采用“外切線法”，以提高巖土材料強(qiáng)度為手段來分析結(jié)構(gòu)物的上限解［2，18］。2.2.1 外切線法

圖2中虛線所示即為由切線和初始切線確定的線性破壞準(zhǔn)則，切線為經(jīng)過非線性破壞準(zhǔn)則上的任一點(diǎn)并與其外切的直線方程，若曲線的曲率隨著σn的增加而減小則切線完全位于曲線的外側(cè)，位于直線破壞準(zhǔn)則上的所有點(diǎn)對應(yīng)的材料強(qiáng)度均相應(yīng)得到了提高，故切線表示的破壞準(zhǔn)則上限解答一定為真實(shí)解答的上限。初始切線屬于切線的一種特殊情況，切點(diǎn)位于點(diǎn)（σn＝0，τ＝c0）處，一般情況下該初始切線表示的破壞準(zhǔn)則大于切線表示的破壞準(zhǔn)則，因而也是真實(shí)解答的一個上限。

圖2 非線性破壞準(zhǔn)則的切線Fig.2 The tangential line for a nonlinear failure criterion

表達(dá)式（1）的切線方程為

式（2）中，ct，tanφt分別表示切線的截距和斜率，如圖1所示。ct，tanφt的表達(dá)式為

2.2.2 初始切線法

當(dāng)采用“初始切線法”時，由于切點(diǎn)位于點(diǎn)（σn＝0，τ＝c0）處將σn＝0代入式（4），可得初始切線的斜率

則初始切線的方程為c0和φt一經(jīng)確定后，ct，tanφt實(shí)際退化為只與非線性參數(shù)m相關(guān)的參數(shù)了，此時即可用初始切線代替非線性破壞曲線做上限分析，在進(jìn)行上限分析時與線性破壞準(zhǔn)則便無差別。

2.2.3 基本假設(shè)

基于巖土材料非線性破壞準(zhǔn)則，本文在采用極限分析上限理論對“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則時，應(yīng)用了如下假設(shè)：①所有問題均符合平面應(yīng)變問題條件；②巖土材料為理想剛塑性體，破壞時服從非線性M-C破壞準(zhǔn)則，破壞面上某一點(diǎn)對應(yīng)的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)為ct，φt（ct，φt的具體含義如圖2所示），并遵循相關(guān)聯(lián)流動法則。

需要說明的是：極限分析上限定理是對服從相關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則的材料而發(fā)展起來的，因而對滿足非相關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則的巖土材料是不適用的，然而根據(jù)極限分析定理［18］：服從非相關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則的材料的實(shí)際破壞荷載，必定小于或等于服從相關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則的同樣材料的實(shí)際破壞荷載。因而采用相關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則計(jì)算土工構(gòu)筑物的極限平衡狀態(tài)參數(shù)實(shí)際仍然滿足上限定理的基本概念。

3 對比計(jì)算與分析

為分析“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則進(jìn)行上限分析的合理性和有效性，選取了以下3個經(jīng)典的土力學(xué)問題進(jìn)行計(jì)算與分析。

3.1 邊坡臨界高度、穩(wěn)定性系數(shù)

3.1.1 對數(shù)螺旋線破壞機(jī)制

已有研究成果表明［2，5，17，18］：簡單邊坡的破壞面更接近對數(shù)螺旋面形狀，因而在簡單邊坡上限分析中也較常采用這種旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)。以對數(shù)螺旋線旋轉(zhuǎn)間斷機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行分析，如圖3所示。根據(jù)上限法能耗計(jì)算過程，使外荷載所做的功率等于內(nèi)能耗散率，可求得邊坡穩(wěn)定性系數(shù)Ns（θh，θ0，α，β、β′，φt）：

圖3 邊坡穩(wěn)定性的破壞機(jī)構(gòu)Fig.3 Rotational failuremechanism for slope stability

式中：f1，f2，f3，f4為與θh，θ0，α，β，β′，φt相關(guān)的函數(shù)，具體表達(dá)式同文獻(xiàn)［18］，不同在于本文中的內(nèi)摩擦角采用“外切線法”引入的基于非線性破壞準(zhǔn)則的內(nèi)摩擦角φt。

進(jìn)而可以獲得邊坡的臨界高度Hcr：

3.1.2 問題的分析

根據(jù)極限分析上限定理，上式給出了邊坡穩(wěn)定性系數(shù)Ns的一個上限。當(dāng)θh，θ0，β′，φt滿足條件：

時，函數(shù)Ns（θh，θ0，α，β，β′，φt）取得一個最小值，進(jìn)而得到邊坡臨界高度Hcr的一個最小上限。以上最小值求解過程可以采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)。值得注意的是：上述分析中采用“初始切線法”和“外切線法”時ct和φt的取值是不同的。對于“初始切線法”，ct和φt實(shí)際已經(jīng)轉(zhuǎn)化為常量；而對于“外切線法”，ct和φt為變量參與了優(yōu)化計(jì)算過程。

3.1.3 對比計(jì)算與分析

為便于分析，選取文獻(xiàn)［5］的算例為研究對象，假設(shè)邊坡巖土材料服從非線性破壞準(zhǔn)則，坡頂傾角α＝0°，坡趾傾角β分別為45°，60°，75°，90°，土的重度γ＝18.6 kN／m3，巖土體粘結(jié)力c0＝90 kN／m2，σt＝247.3 kN／m2，當(dāng)m＝1.0，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.5時穩(wěn)定性系數(shù)Ns計(jì)算對比的結(jié)果如表1和圖4所示。

由表1和圖4可知：隨著m的增大，穩(wěn)定性系數(shù)Ns下降得較快，因而巖土體非線性強(qiáng)度參數(shù)的取值對評定土坡穩(wěn)定性有著重要的影響，同時對于巖土材料，引入非線性強(qiáng)度曲線假設(shè)是非常必要的，因?yàn)榉蔷€性破壞準(zhǔn)則更符合工程的實(shí)際情況。

表1 非線性破壞準(zhǔn)則下邊坡穩(wěn)定性系數(shù)Ns計(jì)算結(jié)果對比Table1 Comparison of results obtained by differentmethods on slope stability factor Nsbased on nonlinear failure criterion

非線性破壞準(zhǔn)則條件和其它參數(shù)不變的情況下，隨著邊坡坡趾傾角β的減小，采用“初始切線法”獲得的結(jié)果與較優(yōu)的上限解答結(jié)果誤差增大，由β＝90°時的最大絕對誤差2.95%增加至β＝45°時的最大絕對誤差16.12%?？梢姡簩τ谶吰聝A角較大的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法誤差較??；但對于邊坡傾角較小的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法會造成較大的誤差。同時，對比表明，本文采用“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則所獲得的計(jì)算結(jié)果是同類方法中的較小結(jié)果，故對于上限法而言可以認(rèn)為本文結(jié)果更接近于真實(shí)解答，是更優(yōu)解答。

3.2 擋土墻主動土壓力

3.2.1 對數(shù)螺旋線破壞機(jī)制

式中：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7為與θh，θ0，β，φt相關(guān)的函數(shù)，具體表達(dá)式同文獻(xiàn)［16，18］，其中能量耗散計(jì)算參數(shù)c和φ為采用“外切線法”引入的基于非線性破壞準(zhǔn)則的粘聚力ct和內(nèi)摩擦角φt。

3.2.2 問題的分析

根據(jù)極限分析上限定理，上式給出了主動土壓力Pa的一個下限。當(dāng)θh，θ0，φt滿足條件

時，函數(shù)Pa（θh，θ0，β，φt）取得一個最大值。以上最大值求解過程可以采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)。同樣需要注意的是：上述分析中采用“初始切線法”和“外切線法”時ct和φt的取值是不同的。對于“初始切線法”，ct和φt實(shí)際已經(jīng)轉(zhuǎn)化為常量；而對于“外切線法”，ct和φt為變量參與了優(yōu)化計(jì)算過程。

3.2.3 對比計(jì)算與分析

為便于分析，選取文獻(xiàn)［16］的算例為研究對象，假設(shè)邊坡巖土材料服從非線性破壞準(zhǔn)則，墻后填土水平，墻趾傾角β為90°，土的重度γ＝18 kN／m3，巖土體粘結(jié)力c0＝9 kN／m2，σt＝20 kN／m2，當(dāng)m＝1.2，1.4，1.6，1.8，2.0時主動土壓力Pa計(jì)算對比的結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知：隨著m的增大，主動土壓力Pa明顯增大，因而巖土體非線性強(qiáng)度參數(shù)的取值對評定土坡穩(wěn)定性有著重要的影響，對于巖土材料，引入非線性強(qiáng)度曲線假設(shè)是非常必要的，因?yàn)榉蔷€性破壞準(zhǔn)則更符合工程的實(shí)際情況。非線性破壞準(zhǔn)則條件和其它參數(shù)不變的情況下，隨著非線性參數(shù)m的增大，采用“初始切線法”獲得的結(jié)果與較優(yōu)的上限解答結(jié)果誤差增大，由m＝1.2時的最大絕對誤差7.73%增加至m＝2.0時的最大絕對誤差13.28%?？梢姡簩τ诜蔷€性程度較大的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法會造成較大的誤差，采用“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法具有更好的合理性。

圖4 非線性破壞準(zhǔn)則下邊坡穩(wěn)定性系數(shù)Ns計(jì)算結(jié)果對比Fig.4 Comparison of calculated results obtained from differentmethods of slope stability factor Nsbased on nonlinear failure criterion

圖5 主動土壓力計(jì)算的破壞機(jī)制Fig.5 Logarithm ic spiral failuremechanism for active earth pressure

圖6 非線性破壞準(zhǔn)則下主動土壓力計(jì)算結(jié)果對比Fig.6 Com parison of calculated results obtained from differentmethods of active earth pressure based on nonlinear failure criterion

3.3 條形基礎(chǔ)Prandtl機(jī)制地基承載力

3.3.1 Prandtl破壞機(jī)制

引用文獻(xiàn)［18］的粗糙條形基礎(chǔ)地基承載力Prandtl破壞機(jī)制如圖7。根據(jù)上限法能耗計(jì)算過程，使外荷載所做的功率等于內(nèi)能耗散率，可求得粗糙條形基礎(chǔ)地基極限承載力Pu（ξ，η，φt）：

圖7 粗糙條形基礎(chǔ)破壞機(jī)制Fig.7 Failuremechanism for ultim ate bearing capacity of rough strip foundation

具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)［18］，其中能量耗散計(jì)算參數(shù)c和φ為采用“外切線法”引入的基于非線性破壞準(zhǔn)則的粘聚力ct和內(nèi)摩擦角φt。

3.3.2 問題的分析

根據(jù)極限分析上限定理，上式給出了極限承載力Pu的一個上限，通過換算可求得相應(yīng)的承載力系數(shù)Nc和Nq。當(dāng)ξ，η，φt滿足條件：

時，函數(shù)Pu（ξ，η，φt）取得一個最小值。以上最小值求解過程可以采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)。同樣值得注意的是：上述分析中采用“初始切線法”和“外切線法”時ct和φt的取值是不同的。對于“初始切線法”，ct和φt實(shí)際已經(jīng)轉(zhuǎn)化為常量；而對于“外切線法”，ct和φt為變量參與了優(yōu)化計(jì)算過程。

3.3.3 對比計(jì)算與分析

為便于分析，選取文獻(xiàn)［13］的算例為研究對象，假設(shè)基礎(chǔ)下巖土材料服從非線性破壞準(zhǔn)則，土體無重度γ＝0 kN／m3，基礎(chǔ)兩側(cè)地表超載q＝57 kN／m2，巖土體粘結(jié)力c0＝90 kN／m2，σt＝247.3 kN／m2，當(dāng)m＝1.0，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.5時極限承載力Pu計(jì)算對比的結(jié)果如表2和圖8所示。

圖8 非線性破壞準(zhǔn)則下極限承載力Pu和承載力系數(shù)Nc和Nq計(jì)算結(jié)果對比Fig.8 Com parison of calculated results obtained from differentmethods of ultimate bearing capacity and bearing capacity coefficients based on nonlinear failure criterion

表2 非線性破壞準(zhǔn)則下地基極限承載力計(jì)算結(jié)果對比Table2 Comparison of calculated results obtained from differentmethods of ultimate bearing capacity based on nonlinear failure criterion

由表2和圖8可知：隨著m的增大，極限承載力Pu減小得較快，因而巖土體非線性強(qiáng)度參數(shù)的取值對評定地基承載力有著重要的影響，對于巖土材料，引入非線性強(qiáng)度曲線假設(shè)是非常必要的，因?yàn)榉蔷€性破壞準(zhǔn)則更符合工程的實(shí)際情況。非線性破壞準(zhǔn)則條件和其它參數(shù)不變的情況下同樣可見：對于非線性程度較大的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法會造成計(jì)算結(jié)果的較大誤差，采用“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法具有更好的合理性。

4 結(jié) 論

基于極限分析上限法，本文討論了“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則時采用“初始切線法”和“外切線法”對3個經(jīng)典土力學(xué)問題的影響，研究表明：

非線性破壞準(zhǔn)則符合巖土材料的實(shí)際情況。較現(xiàn)有線性破壞準(zhǔn)則而言，巖土體非線性強(qiáng)度參數(shù)m的值越大，巖土體構(gòu)筑物的安全性越差，因而引入巖土體非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則對確保土工結(jié)構(gòu)物的可靠性有著重要意義，工程實(shí)際中有必要通過“外切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則進(jìn)行土工結(jié)構(gòu)安全性評價。

基于上限法通過“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則是眾多上限解答的一個，特定條件下能夠獲得較好的上限解，但隨著非線性參數(shù)的增加由此引起的誤差也越來越大。對于非線性程度較強(qiáng)的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準(zhǔn)則的方法會造成計(jì)算結(jié)果的較大誤差，采用“外切線法”具有更加明顯的有效性和合理性。

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（編輯：趙衛(wèi)兵）

Discussion on Generalized Tangential M ethod Led in Nonlinear Failure Criterion in Upper Boundary Lim it Analysis

ZHAO Lian-heng，LILiang，DAN Han-cheng，LUO Su-ping，REN Dong-ya
（College of Civil and Architectural Engineering，Central South University，Changsha 410075，China）

On the basis of the upper boundary limit analysis theorem and nonlinear M-C failure criterion，three classical soilmechanics problems including the ultimate bearing capacity of a rough strip foundation，the critical height of a slope and the active soil pressure were studied bymeans of generalized tangential technique and the kinematic approach of limit analysis theory.The rationality and feasibility of the generalized tangentialmethod and the inceptive tangentialmethod were analyzed.From the numerical results，it can be seen that the nonlinear failure parameter exerts a significant effect on the safety of the geotechnical structure，and leading-in a proper nonlinear failure character of geo-materialsmore agreeswith the engineering practice.The case study and comparative analysis show that a better solution could be achieved bymeans of the inceptive tangentialmethod under specific conditions，but the larger the nonlinear coefficient is，the bigger the deviation caused by the inceptive tangentialmethod is.The generalized tangentialmethod possesses the rationality and feasibility obviously.

soilmechanics；nonlinear M-C failure criterion；upper-boundary theorem of limit analysis；generalized tangentialmethod

TU432

A

文獻(xiàn)［16］的主動土壓力對數(shù)螺旋線破壞機(jī)制如圖5。根據(jù)上限法能耗計(jì)算過程，使外荷載所做的功率等于內(nèi)能耗散率，可求得邊坡穩(wěn)定性系數(shù)Pa（θh，θ0，β，φt）：

1001-5485（2010）08-0034-06

2009-09-15；

2009-12-04

西部交通建設(shè)科技項(xiàng)目（2006318802111）；中南大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文扶植項(xiàng)目（2008yb004）；鐵道部科技研究開發(fā)計(jì)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目（2008G032-3）；湖南省交通廳科技項(xiàng)目（2007-29）

趙煉恒（1980-），男，湖南益陽人，講師，博士，主要從事道路與鐵道工程、地基處理等方面的研究工作，（電話）13755139425（電子信箱）zlh8076＠163.com。