陳鵬宇 段新勝

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院,武漢 430074)

灰色預(yù)測(cè)模型是灰色理論的重要組成部分,而GM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)模型中最基本的預(yù)測(cè)模型,已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3].但是GM(1,1)模型在許多情況下預(yù)測(cè)精度并不高,即使擬合純指數(shù)序列也得不到滿意的結(jié)果,因此一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究[4-13],包括初始值確定[4-5]和背景值構(gòu)造兩方面[6-13].初始值確定雖然在一定程度上影響了GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度,但是最主要的精度影響因素還是背景值構(gòu)造的缺陷.文獻(xiàn)[7-8]以拉格朗日中值定理在理論上分析了背景值構(gòu)造的不足,文獻(xiàn)[9]從幾何思想上分析了背景值構(gòu)造的不足,文獻(xiàn)[10-12]從積分思想上分析了背景值構(gòu)造的不足,文獻(xiàn)[13]在非嚴(yán)格等比數(shù)列的基礎(chǔ)上對(duì)積分思想的背景值構(gòu)造進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化.本文將基于文獻(xiàn)[13]提出的非嚴(yán)格等比數(shù)列(文中稱之為近似指數(shù)序列)思想,重新審視文獻(xiàn)[12]中的背景值構(gòu)造,并指出文獻(xiàn)[13]優(yōu)化方法的不足,建立新的背景值構(gòu)造形式.實(shí)例應(yīng)用結(jié)果顯示,新背景值構(gòu)造形式下的GM(1,1)模型具有更高的精度.

1 GM(1,1)模型建模機(jī)理及其缺陷

令x(0)為GM(1,1)建模序列

令x(1)為x(0)的AGO 序列

令z(1)為x(1)的均值(MEAN)序列

則GM(1,1)的定義型,即GM(1,1)的灰微分方程模型為

式中,a為發(fā)展系數(shù),b為灰作用量,是微分方程的參數(shù).

灰微分方程白化型為

GM(1,1)白化型響應(yīng)式為

由最小二乘法,可以求得參數(shù)

在區(qū)間[k-1k]上對(duì)灰微分方程白化型兩邊積分[12]:

即

將式(5)與灰微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b比較可以得到兩者的差別僅為x(1)(k-1)),顯然以x(1)(k-1))更能適應(yīng)灰微分方程白化型.文獻(xiàn)[12]以原始數(shù)據(jù)為純指數(shù)序列的前提下導(dǎo)出的表達(dá)式,具體如下:

假設(shè)原始數(shù)據(jù)x(0)(k)=gea(k-1)為純指數(shù)序列,則其一次累加序列為x(1)(k)=Gea(k-1)+C,其中G=g(1-e-a)-1,C=-Ge-a,k=1,2,…,n.

經(jīng)計(jì)算可得

2 背景值構(gòu)造的重新優(yōu)化

文獻(xiàn)[13]指出文獻(xiàn)[12]中的背景值構(gòu)造是基于純指數(shù)序列推導(dǎo)出的,其并不適合于非嚴(yán)格等比序列或者說(shuō)近似指數(shù)序列,并給出了優(yōu)化后的背景值形式

文獻(xiàn)[13]雖然認(rèn)識(shí)到了由純指數(shù)推導(dǎo)出的背景值構(gòu)造形式并不適合于近似指數(shù)序列,但是其僅僅是將文獻(xiàn)[12]中的ak和Ck用近似值a′和C來(lái)代替,該方法并不能從根本上解決背景值構(gòu)造形式對(duì)近似指數(shù)序列的適用性問(wèn)題.下面仍以文獻(xiàn)[12]中的積分思想推導(dǎo)出新的背景值構(gòu)造形式.

至于動(dòng)態(tài)修正項(xiàng)的求解本文采用具有全局尋優(yōu)能力的遺傳算法.具體操作可利用Matlab編程及其遺傳算法工具箱,在原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小目標(biāo)下進(jìn)行搜尋,即

3 實(shí)例分析

以江蘇省1997～2002年的財(cái)政科技投入數(shù)據(jù)[12]建立原GM(1,1)模型、文獻(xiàn)[12-13]中背景值重構(gòu)模型以及本文模型,原始數(shù)據(jù)見(jiàn)表1,各模型預(yù)測(cè)值見(jiàn)表2.

表1 1997～2002年江蘇省財(cái)政科技投入

表2 各模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較

利用1997～2002年的財(cái)政科技投入數(shù)據(jù)建立原GM(1,1)模型得時(shí)間響應(yīng)式為

建立文獻(xiàn)[12]中背景值重構(gòu)模型時(shí)間響應(yīng)式為

建立文獻(xiàn)[13]中再優(yōu)化模型,得時(shí)間響應(yīng)式為

建立本文重新優(yōu)化模型,得時(shí)間響應(yīng)式為

其中 α(k)={-0.204,0.350,0.031,4,0},k=2,3,4,5,6,它們的累加還原值為

從表2預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出由純指數(shù)導(dǎo)出背景值形式的文獻(xiàn)[12]中的改進(jìn)模型以及將級(jí)比看作常數(shù)的文獻(xiàn)[13]中再優(yōu)化模型都不適合于近似指數(shù)序列,文獻(xiàn)[12]模型預(yù)測(cè)值明顯偏大,而文獻(xiàn)[13]模型預(yù)測(cè)值明顯偏小,兩種模型預(yù)測(cè)精度甚至不如原始的GM(1,1)模型,這樣的改進(jìn)意義不大,而本文的重新優(yōu)化模型解決了GM(1,1)模型對(duì)于近似指數(shù)序列擬合的問(wèn)題,其殘差平方和由GM(1,1)模型的0.294減小到了0.279,提高了預(yù)測(cè)精度.

4 結(jié) 語(yǔ)

分析了原有兩種基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)模型存在的問(wèn)題,通過(guò)兩種模型的積分思想以及非嚴(yán)格等比數(shù)列思想建立了添加動(dòng)態(tài)修正項(xiàng)的重新優(yōu)化背景值構(gòu)造形式,其適合于近似指數(shù)序列建模,實(shí)例應(yīng)用結(jié)果顯示其提高了預(yù)測(cè)精度,具有更高的應(yīng)用價(jià)值.

[1]劉造保,石 雄.基于修正GM(1,1)模型的巖體邊坡預(yù)測(cè)分析[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,30(5):33-36.

[2]張 莉,吉培榮,杜愛(ài)華等.中長(zhǎng)期電力負(fù)荷預(yù)測(cè)的幾種灰色預(yù)測(cè)模型的比較及應(yīng)用[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,31(3):41-45.

[3]陳鵬宇.單樁極限承載力非等步長(zhǎng)灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度分析[J].工程建設(shè)與設(shè)計(jì),2009(9):68-71.

[4]謝乃明,劉思峰.離散GM(1,1)模型與灰色預(yù)測(cè)模型建模機(jī)理[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2005(1):93-99.

[5]王忠桃,彭 鑫,戴 齊.基于初值修正的灰色預(yù)測(cè)模型的改進(jìn)及其應(yīng)用[J].重慶工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,21(10):81-84.

[6]黨耀國(guó),劉思峰,劉 斌.以為初始條件的GM模型[J].中國(guó)管理科學(xué),2005,13(1):132-135.

[7]陳定元.傳統(tǒng)灰色建模的一些理論問(wèn)題[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,30(2):82-85.

[8]王開(kāi)友,陳定元.灰色GM(1,1)模型建模的理論探討[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,14(3):41-43.

[9]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用(Ⅰ)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2000(4):98-103.

[10]羅 黨,劉思峰,黨耀國(guó).灰色模型GM(1,1)優(yōu)化[J].中國(guó)工程科學(xué),2003,5(8):50-53.

[11]王葉梅,黨耀國(guó),王正新.非等間距GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化[J].中國(guó)管理科學(xué),2008,16(4):159-162.

[12]王正新,黨耀國(guó),劉思峰.基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2008(2):61-67.

[13]薛煥斌,魏 勇.基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化GM(1,1)模型的再優(yōu)化[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(1):242-246.