李思成，陳曉陽，陳愛華，馬純青

(1.上海大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化系，上海 200072；2.上海聯(lián)合滾動(dòng)軸承有限公司，上海 200240；3.杭州勞格羅拉軸承滾子有限公司，杭州 310013)

1 前言

調(diào)心滾子軸承具有接觸區(qū)域長度較長的特點(diǎn)，因此具有很大的承載能力，并且其還可以適應(yīng)由于軸的安裝、制造誤差、變形等帶來的偏斜。

在滾動(dòng)軸承的接觸問題分析中，由于Hertz接觸理論能得到較為符合實(shí)際工況的結(jié)果而得到廣泛應(yīng)用。Hertz接觸變形理論對(duì)于點(diǎn)接觸和線接觸的接觸變形求得了精確的理論解。對(duì)于點(diǎn)接觸，當(dāng)彈性體表面可以近似地以二次曲面表示時(shí)給出了問題的全部解，而對(duì)于線接觸只給出了部分解[1]。對(duì)于一般的圓柱滾子軸承，Lundberg于1939年提出了著名的Lundberg對(duì)數(shù)凸形公式，給出了最佳凸度曲線——對(duì)數(shù)素線。但是對(duì)于調(diào)心滾子軸承，由于其特殊的幾何形狀，目前還不能對(duì)圓弧素線做像對(duì)數(shù)素線這樣的修形。文獻(xiàn)[2]指出輕載時(shí)調(diào)心滾子軸承中滾子和滾道為點(diǎn)接觸，當(dāng)作用在軸承上的載荷超過點(diǎn)接觸的極限時(shí)為線接觸，該極限為接觸區(qū)域長軸的長度大于滾子的有效長度。實(shí)際上只有當(dāng)接觸區(qū)域長度遠(yuǎn)大于寬度的時(shí)候才接近線接觸。隨著施加載荷的增大，滾子和滾道的接觸區(qū)域會(huì)變成如圖1所示陰影部分的形狀，這是因?yàn)楫?dāng)載荷增大到一定值時(shí)，接觸區(qū)域長度會(huì)達(dá)到滾子的有效長度，如果載荷繼續(xù)增大則接觸區(qū)域只能向?qū)挾确较蛟龃?，而滾子端部修形部分比中間增大更快，應(yīng)力值也迅速增大，這種接觸區(qū)域已經(jīng)超出了Hertz理論解的范圍。

圖1 重載時(shí)實(shí)際接觸區(qū)域

文獻(xiàn)[3]利用切片法對(duì)單列角接觸調(diào)心滾子軸承進(jìn)行了應(yīng)力分析，由于切片法忽略了相鄰兩個(gè)切片之間的影響，因此不能正確反映滾子端部的應(yīng)力集中；文獻(xiàn)[4]提出一種一邊圓弧素線一邊對(duì)數(shù)素線相結(jié)合的滾子輪廓，但這種滾子輪廓同時(shí)要求內(nèi)、外圈滾道做相應(yīng)的修形，在現(xiàn)有的加工技術(shù)水平上很難實(shí)現(xiàn)，并且沒有給出這種輪廓與相應(yīng)的滾道接觸應(yīng)力分布；文獻(xiàn)[5]利用有限元法分析了4種表面形狀的滾子(直素線、圓錐倒角、圓弧倒角、全圓弧素線)和平面接觸情況下滾子的接觸應(yīng)力；文獻(xiàn)[6-7]將影響系數(shù)法同Boussinesq J半空間體力-變形結(jié)合起來求出一般表面輪廓的接觸問題；文獻(xiàn)[8]利用數(shù)值法編寫FORTRAN程序計(jì)算了5種表面形狀(直素線、對(duì)數(shù)素線、全圓弧素線、相交倒角直素線、相切倒角直素線)的滾子和平面接觸情況下滾子的接觸應(yīng)力。以上文獻(xiàn)對(duì)于調(diào)心滾子軸承的應(yīng)力計(jì)算都是將接觸情況簡(jiǎn)化為滾子和平面的接觸，這與實(shí)際接觸情況有一定差別，另外，沒有考慮到滾子的端部修形部分對(duì)接觸應(yīng)力的影響，因此在重載情況下，有必要對(duì)調(diào)心滾子軸承的輪廓做進(jìn)一步研究。

2 彈性接觸理論方程

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，設(shè)任意表面的兩光滑彈性體起始接觸于點(diǎn)O，并以該點(diǎn)為圓心建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示，M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z1)，(x,y,z2)。

圖2 兩彈性體接觸模型

施加外力P后，彈性體發(fā)生變形，起始接觸點(diǎn)擴(kuò)展為一接觸區(qū)域Ω，變形后彈性體上的點(diǎn)服從位移方程：

(1)

式中：δ為兩彈性體接觸的彈性趨近量；ω1，ω2為M，N兩點(diǎn)在相應(yīng)z坐標(biāo)軸方向的變形。

當(dāng)變形在彈性范圍內(nèi)時(shí)，根據(jù)Boussinesque[1]解，彈性體變形可表示為：

(2)

式中：k為材料常數(shù)；E為材料彈性模量；ν為泊松比。

將(2)式帶入(1)式可得在Ω內(nèi)一般的光滑彈性接觸問題的主導(dǎo)方程——Fredholm積分方程為：

(3)

同時(shí)，接觸應(yīng)力p(x,y)應(yīng)該滿足平衡條件和物理?xiàng)l件：

(4)

這樣，根據(jù)彈性體的幾何形狀、材料常數(shù)和外力p，由(3)式就可以求出接觸區(qū)域Ω，彈性趨近量δ以及接觸應(yīng)力p(x,y)。

3 彈性接觸的數(shù)值解法

利用影響系數(shù)法，假設(shè)一矩形接觸區(qū)域Ω1，Ω1要大于實(shí)際接觸區(qū)域Ω，將Ω1劃分為j×i個(gè)矩形單元，并假定接觸應(yīng)力在各單元上均勻分布。以pj表示單元j上的接觸應(yīng)力，以單元i的中心(xi,yi)處彈性體表面的原始距離為該單元的表面函數(shù)離散值Si，則(3)式可在Ω1上離散為一組n+2階的線性代數(shù)方程組：

(5)

式中：Fij為影響系數(shù)。

(6)

根據(jù)平衡條件將(4)式離散化為：

(7)

式中：Aj為Ω1區(qū)域上離散后的單元面積，由(5)式和(6)式建立彈性體接觸問題的主導(dǎo)線性方程組，以矩陣形式表示為：

BP=S

(8)

式中：

(9)

(10)

(11)

根據(jù)以上分析過程，編制FORTRAN程序求解矩陣方程，流程如圖3所示。

圖3 程序流程圖

4 軸承的應(yīng)力分析

以某公司生產(chǎn)的型號(hào)為23156CA軸承(圖4)為例進(jìn)行計(jì)算，其主要幾何參數(shù)如表1所示，軸承材料為GCr15SiMn，彈性模量E=2.08 GPa，泊松比ν=0.3，滾子數(shù)目為2×21，接觸角為11.3°，滾子為雙排錯(cuò)位排列。

表1 軸承幾何參數(shù) mm

圖4 調(diào)心滾子軸承23156CA

4.1 程序正確性驗(yàn)證

當(dāng)對(duì)軸承施加一較小的載荷時(shí)，接觸區(qū)域?yàn)橐粰E圓，因此可以利用Hertz理論驗(yàn)證該程序的正確性，Hertz解基于文獻(xiàn)[10]中公式計(jì)算得到。為了保證計(jì)算結(jié)果的精確性，滾子和滾道接觸區(qū)域?qū)挾群烷L度方向劃分為20×100個(gè)網(wǎng)格。對(duì)受力最大的滾子施加Q=50 kN的力，所得到的接觸應(yīng)力如圖5所示，計(jì)算結(jié)果對(duì)照表2，可以看出與Hertz解相比較，該數(shù)值方法計(jì)算的結(jié)果相差很小，因此程序的結(jié)果是正確的。

圖5 施加50 kN時(shí)滾子-內(nèi)圈接觸應(yīng)力分布

表2 數(shù)值解與Hertz解對(duì)比

4.2 原設(shè)計(jì)幾何尺寸及技術(shù)要求下的計(jì)算

該軸承所設(shè)計(jì)的徑向基本額定動(dòng)載荷為Cr=2 200.3 kN，對(duì)于正常徑向游隙的滾子軸承，受力最大滾子載荷可根據(jù)(12)式計(jì)算。

(12)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]得Jr=0.457 7，將Fr分別取0.15Cr，0.2Cr，0.3Cr，0.5Cr，0.7Cr值可算得Qmax分別為35，46.7，70，116.7，163.4 kN。以內(nèi)圈和滾子的接觸為例，在程序中施加幾種載荷計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6 0.15～0.7Cr時(shí)受力最大滾子-滾道接觸應(yīng)力分布

由圖6可以看出，隨著載荷的增大，接觸應(yīng)力和接觸區(qū)域增大。當(dāng)施加載荷為0.15Cr時(shí)，滾子和滾道的接觸區(qū)域長度只有46.4 mm，只占滾子有效長度的83.8%，有16.2%的滾子有效長度沒有用到；當(dāng)載荷增加到0.2Cr時(shí)，接觸區(qū)域長度為51.04 mm，占滾子總長度的92%，仍然有8%的滾子有效長度沒有利用。一般情況下軸承的重載是指0.15～0.2Cr，但是通過計(jì)算得出該軸承即使在0.2Cr下滾子仍然有部分長度未利用，造成了材料的浪費(fèi)。當(dāng)施加0.3Cr的載荷時(shí)滾子和內(nèi)圈的接觸區(qū)域長度剛好達(dá)到滾子的有效長度，當(dāng)載荷進(jìn)一步增大時(shí)在滾子的倒角處開始出現(xiàn)邊緣應(yīng)力集中；當(dāng)載荷增加到0.5Cr甚至0.7Cr時(shí)邊緣應(yīng)力集中已經(jīng)很明顯，這樣滾子的邊緣部分很容易因疲勞而失效。由圖7載荷為0.5Cr時(shí)滾子-滾道應(yīng)力分布可以看出，調(diào)心滾子軸承的接觸區(qū)域既不是橢圓也不是矩形，已經(jīng)超出了Hertz理論解的范圍。

圖7 0.5Cr時(shí)受力最大滾子-滾道接觸應(yīng)力分布

在一些特殊情況下，例如瞬時(shí)沖擊或過載，軸承有可能會(huì)受到極重載荷的作用，相應(yīng)的力仍要由滾子來承擔(dān)。下面從兩個(gè)方面對(duì)滾子進(jìn)行改進(jìn)以使?jié)L子既能承受較大的接觸應(yīng)力又不會(huì)產(chǎn)生較大的邊緣應(yīng)力集中現(xiàn)象。

4.3 改變滾子與滾道的密合度

根據(jù)軸承的原設(shè)計(jì)尺寸計(jì)算出滾子和內(nèi)滾道素線的密合度Ф=0.98，保持內(nèi)滾道的曲率半徑不變，改變密合度的大小，在載荷為0.5Cr時(shí)得到在不同的密合度下滾子-內(nèi)滾道的接觸應(yīng)力如圖8所示。由圖可知，隨著密合度的減小，邊緣應(yīng)力集中逐漸降低，當(dāng)密合度Ф=0.965時(shí)邊緣應(yīng)力集中現(xiàn)象消失；但在邊緣應(yīng)力逐漸降低的過程中，滾子-內(nèi)圈接觸區(qū)域中部的接觸應(yīng)力卻在不斷增加，在密合度由0.98降至0.965的過程中，接觸區(qū)域中部的應(yīng)力由2.182 GPa增加到2.388 GPa。

圖8 不同密合度下滾子-內(nèi)圈接觸應(yīng)力

因此，通過改變滾子與滾道的密合度可以減少或者消除邊緣應(yīng)力集中，但是由于載荷的總量是一定的，邊緣應(yīng)力降低的同時(shí)又導(dǎo)致了中間應(yīng)力的增加。

4.4 滾子倒角的改進(jìn)

由于滾子倒角和素線交點(diǎn)處的應(yīng)力集中會(huì)在很大程度上減小滾子的壽命，通過改變滾子倒角可以達(dá)到降低邊緣應(yīng)力集中的目的。傳統(tǒng)的CAD倒角方式是選擇兩條曲線直接輸入倒角半徑值，如果在該滾子的設(shè)計(jì)中采取這種倒角方式，當(dāng)?shù)菇侵颠^大時(shí)，必定會(huì)使?jié)L子的中間素線減小，滾子和滾道的接觸面也會(huì)減小，這樣會(huì)大大增加滾子中間部分的應(yīng)力值。倒角改進(jìn)方式如圖9所示，原設(shè)計(jì)中倒角半徑為1.5 mm，實(shí)際上兩圓弧交點(diǎn)離端面距離為1.3 mm，設(shè)該點(diǎn)為c，固定c點(diǎn)將倒角半徑值增大。在載荷為0.5Cr時(shí)，滾子-內(nèi)圈密合度為0.98，在滾子端部修形半徑R=60 mm時(shí)，所得的滾子軸向中間界面上的應(yīng)力分布情況如圖10所示。由圖可知，在滾子端部修形半徑R=60 mm時(shí)，接觸區(qū)域中間應(yīng)力沒有增大，倒角和滾子素線交點(diǎn)處應(yīng)力值大大降低，倒角邊緣應(yīng)力值為0。

圖9 倒角的改進(jìn)

圖10 滾子端部修形半徑R=60 mm時(shí)受力最大滾子-滾道接觸應(yīng)力分布

當(dāng)滾子端部修形半徑增大到120 mm時(shí)，滾子-滾道應(yīng)力分布如圖11所示，可以看出邊緣應(yīng)力逐漸變小，變小的趨勢(shì)要小于接觸區(qū)域中間的應(yīng)力，另外接觸區(qū)域分布也有了較大的改善。

圖11 滾子端部修形半徑R=120 mm時(shí)受力最大滾子-滾道接觸應(yīng)力分布

軸承在重載情況下，理想的滾子-滾道接觸情況應(yīng)該是接觸區(qū)域長度為滾子的有效長度，在極重載荷或瞬時(shí)沖擊等特殊載荷條件下，施加在滾子上的載荷會(huì)更大，此時(shí)設(shè)計(jì)良好的滾子倒角部分可以起到一定的承載作用。

5 結(jié)論

(1) 在輕載情況下，球面滾子與滾道的接觸區(qū)域?yàn)闄E圓形，接觸狀況屬于Hertz接觸范圍，經(jīng)過計(jì)算，得到了和經(jīng)典的Hertz理論較為一致的解，從而驗(yàn)證了程序的正確性。

(2)在重載情況下，由圖7可知接觸區(qū)域既不是橢圓也不是矩形，超出了Hertz理論的計(jì)算范圍，此時(shí)按照線接觸的方式求解表面接觸應(yīng)力是不正確的，利用數(shù)值計(jì)算方法在這種情況下計(jì)算出了球面滾子和內(nèi)圈滾道的表面接觸應(yīng)力。

(3)對(duì)軸承施加0.15Cr載荷時(shí)，滾子的有效長度并未完全利用，當(dāng)載荷增加到0.3Cr時(shí)剛好完全利用滾子的有效長度，載荷進(jìn)一步增加時(shí)滾子倒角處開始出現(xiàn)邊緣應(yīng)力集中現(xiàn)象。通過改變滾子和滾道的密合度；采用新的倒角設(shè)計(jì)方法，并改進(jìn)滾子倒角處的曲率半徑，可使得在極重載荷或者瞬時(shí)沖擊載荷下，滾子-滾道的邊緣集中應(yīng)力大大減小，接觸應(yīng)力分布也有了較大改善。