呂 銘

(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇南京 210046)

在求解物理問(wèn)題時(shí),有時(shí)會(huì)遇到運(yùn)用等時(shí)性的思想方法來(lái)解決的問(wèn)題.我們?cè)谔幚磉@些問(wèn)題時(shí)雖然數(shù)學(xué)表達(dá)上是嚴(yán)密的,但是卻加大了運(yùn)算量把題解得不夠“物理”.有時(shí)我們運(yùn)用了一些物理中的思維方法,但是卻存在邏輯上不夠嚴(yán)密的問(wèn)題.這些對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是都有一定的弊端,學(xué)生的物理概念以及思維方法都是在潛移默化中建構(gòu)起來(lái)的.我們一定要弄清楚整個(gè)分析過(guò)程以及數(shù)學(xué)近似的來(lái)龍去脈,讓學(xué)生透徹地學(xué)習(xí)與掌握知識(shí)以及處理問(wèn)題的科學(xué)方法.若不這樣就會(huì)對(duì)物理過(guò)程產(chǎn)生誤解,并導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).下面通過(guò)一道有關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)的例題來(lái)說(shuō)明此問(wèn)題.

例1[1].已知地球上觀察月亮從圓月(望月)到下一個(gè)圓月的周期為T(mén)m=29.5(天),地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期為T(mén)e=365.25(天),問(wèn)月亮繞地球的公轉(zhuǎn)周期 T為多少?

解法1[1]:假設(shè)地球繞太陽(yáng)的軌道、月亮繞地球的軌道近似為圓軌道,并認(rèn)為月亮、地球、太陽(yáng)始終在同一平面內(nèi).

首先,從圖1中可看到,當(dāng)?shù)厍驈腄運(yùn)動(dòng)到E的整個(gè)時(shí)間,月亮正從 A運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期后進(jìn)一步抵達(dá)C.假設(shè)月亮在 A、C正好都是圓月(這是地球上看到的月亮全部被太陽(yáng)照亮).顯然,月亮經(jīng)歷的時(shí)間并不是月亮繞地球的公轉(zhuǎn)周期,而是在公轉(zhuǎn)周期后再加時(shí)間 T′.月亮從 A到B經(jīng)歷的時(shí)間才是月亮繞地球1周的公轉(zhuǎn)周期.(注意,這里把B、C畫(huà)在同一個(gè)圓上了,實(shí)際上,B應(yīng)在地球未到達(dá)E的圓上.)

利用圖中所表示的時(shí)間寫(xiě)出關(guān)系式

為求 T,必須先求 T′.利用地球繞太陽(yáng)的時(shí)間和角度關(guān)系得

再利用月亮繞地球的時(shí)間和角度關(guān)系

聯(lián)立上述3個(gè)方程,可得

質(zhì)疑1:當(dāng)月球從B繞到C轉(zhuǎn)過(guò)θ角度時(shí),實(shí)際上地球在這個(gè)時(shí)間段里并不是靜止的,兩者在上述解法中并不滿(mǎn)足嚴(yán)格意義上的等時(shí)性,而從式(2)與式(3)的對(duì)比中卻表明兩者是轉(zhuǎn)過(guò)了相同的角度.從邏輯上來(lái)講,有理由肯定解法1是有問(wèn)題的,但是從文獻(xiàn)[2]中知道(4)式的答案卻是正確的.這里可以做這樣一種推測(cè),題目在求解中肯定用到了近似,那么解法1是在哪里用到了近似呢?這樣做近似的理由是什么,到底哪里是問(wèn)題的突破口?我們通過(guò)以下的解法來(lái)作進(jìn)一步探析.

圖2

解法2:參見(jiàn)圖2,設(shè)開(kāi)始太陽(yáng)、地球、月球三者成一直線(xiàn),O點(diǎn)表示太陽(yáng),A點(diǎn)表示月球.大家知道當(dāng)月球繞地球公轉(zhuǎn)1周(T)在地球右側(cè)(即 B點(diǎn)處),這時(shí)太陽(yáng)、地球、月球三者不在同一條直線(xiàn)上,而要再次看到滿(mǎn)月需要月球轉(zhuǎn)動(dòng) θ(即 C點(diǎn)處)所用時(shí)間為

又從題設(shè)條件知道地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)1周需要 Te=365.25(天),則由此可得θ的關(guān)系式

一開(kāi)始假設(shè)地球旋轉(zhuǎn)θ角后就不動(dòng)了,這是不夠準(zhǔn)確的.那么假設(shè)在月球轉(zhuǎn)過(guò)θ的這段時(shí)間內(nèi)地球又轉(zhuǎn)過(guò)θ1,那么以同樣的假設(shè)可知地球轉(zhuǎn)過(guò)θ1之后停下來(lái),這時(shí)月球經(jīng)

的時(shí)間回到滿(mǎn)月的位置.依此類(lèi)推得

由條件易知

所以原式

質(zhì)疑2:我們已經(jīng)看出文獻(xiàn)[1]在詮釋等時(shí)性時(shí)是有誤的.而解法2是從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析出發(fā)的,雖嚴(yán)密但多了些“數(shù)”的味道,少了些“理”的風(fēng)采.那么能不能撇開(kāi)大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算而又抓住物理的實(shí)質(zhì)呢?答案是肯定的.接下來(lái)可通過(guò)第3種解法來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題.

解法3:等時(shí)法.如圖3,假設(shè)在月球的左側(cè)非常近的地方有一個(gè)衛(wèi)星D也參與了繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)且轉(zhuǎn)動(dòng)周期與月球繞地公轉(zhuǎn)周期相同.開(kāi)始太陽(yáng)、地球、衛(wèi)星、月球四者成一直線(xiàn),O點(diǎn)表示太陽(yáng),B點(diǎn)表示地球,D表示衛(wèi)星,C表示月球.當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)間 t地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)過(guò)θ角度后,發(fā)現(xiàn) O、B、D在同一直線(xiàn)上而C轉(zhuǎn)過(guò)1周后仍在地球的右側(cè),則有

圖3

即

其實(shí)解法3的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)分解的多個(gè)過(guò)程類(lèi)比成兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的同一過(guò)程,但是這兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)存在著指定的約束,從而省略了較為繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程.至此我們得到了與解法1和解法2相同的答案,也顯示了物理過(guò)程的實(shí)質(zhì).解法3解答了從解法2中留下來(lái)的的質(zhì)疑,過(guò)程簡(jiǎn)潔清晰.

質(zhì)疑3:等時(shí)法的過(guò)程明了,步驟清晰.那它還可以在哪些題中體現(xiàn)優(yōu)越性呢?下面再舉兩例.

例2[3].速率為30 km/h的兩列火車(chē)在相挨并行的軌道上相向而行,當(dāng)兩火車(chē)相距60 km的時(shí)候,一只每小時(shí)能飛60 km的鳥(niǎo)離開(kāi)一車(chē)直向另一車(chē)飛去,當(dāng)鳥(niǎo)到達(dá)另一車(chē)時(shí)就立即飛回第一車(chē),以后就繼續(xù)這樣來(lái)回的飛.問(wèn):鳥(niǎo)一共飛了多少距離?

解法1[3]:我們著眼于一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)分解的多個(gè)過(guò)程.兩車(chē)各行駛30 km時(shí)相遇,經(jīng)過(guò)的時(shí)間為1 h,因而鳥(niǎo)也飛了1 h.當(dāng)鳥(niǎo)從甲往乙飛時(shí),取甲為參照系,從甲往乙飛的方向?yàn)檎较?則乙車(chē) v乙=30 km/h,方向?yàn)樨?fù),鳥(niǎo)對(duì)甲的速度為 v1=30 km/h,方向?yàn)檎?第1次與乙車(chē)相遇,得

第2次飛行:鳥(niǎo)到達(dá)乙后,立即回頭向甲飛.這次飛行和第1次不同,因?yàn)槿〖诪閰⒄障?甲是不動(dòng)的,但鳥(niǎo)和乙同時(shí)一直向甲前進(jìn),乙的前進(jìn)不影響第2次飛行,但卻使第3次飛行距離變短了.

設(shè)第2次飛行需時(shí) t2,鳥(niǎo)飛行的距離為 d2,第2次飛行鳥(niǎo)的速度為 v2=90 km/h,方向?yàn)樨?fù),則

將t1的關(guān)系代入得

第2次飛行結(jié)束時(shí),甲,乙相距

即

所以鳥(niǎo)一共飛行的距離為

解法2:等時(shí)法.這里不像例1解法3一樣需要構(gòu)造一個(gè)等時(shí)性模型.我們很容易知道火車(chē)所用的時(shí)間與鳥(niǎo)飛行所用的時(shí)間相等.設(shè)火車(chē)所用時(shí)間為t,鳥(niǎo)飛行速度為v,兩列火車(chē)的速度分別 v01,v02,則知

因?yàn)轼B(niǎo)的速率保持v,且運(yùn)動(dòng)不間斷,則鳥(niǎo)所行的路程為

例3[1].A、B、C 三個(gè)芭蕾舞演員同時(shí)從邊長(zhǎng)為l的三角形頂點(diǎn) A、B、C出發(fā),以相同的速率 v運(yùn)動(dòng);運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持A朝著B(niǎo),B朝著C,C朝著A.試問(wèn)經(jīng)多少時(shí)間3人相聚?每個(gè)演員跑了多少路程?

圖4

解法 1[1]:如圖 4,仍然著眼于一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)分解的多個(gè)過(guò)程,并根據(jù)小量近似有

所以

圖5

進(jìn)而可得

綜合以上3例可以看出,對(duì)于這樣一類(lèi)速率始終不變,物體最終到達(dá)的位置是易于判斷的物理問(wèn)題.可以著眼于一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)分解的多個(gè)過(guò)程的方法來(lái)處理,但是其中用到了較為繁瑣的小量近似以及極限思想;我們又可以著眼于等時(shí)性的原理將運(yùn)動(dòng)物體的內(nèi)在約束找到,往往能將問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

1 王建忠.啟東中學(xué)奧賽訓(xùn)練教程?高中物理(第2版).南京:南京師范大學(xué)出版社,2006.68-69

2 高崇伊.地球和月球的公轉(zhuǎn)周期與自轉(zhuǎn)周期.物理通報(bào),2003(7):17-18

3 范小輝.新編高中物理奧賽實(shí)用題典.南京:南京師范大學(xué)出版社,2008.2-3