顧春杰 王軍明

(浙江省奉化市奉化中學(xué),浙江奉化 315500)

在高中物理競賽中,我們總會(huì)討論二端無源電阻網(wǎng)絡(luò)求等效電阻的問題.其中“田”字形網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)較多,小小“田”字可以有“大變化”:圖1是一個(gè)田字形電阻網(wǎng)絡(luò),先規(guī)定一些叫法:把 A1、A2、A3、A4稱為“頂”,把 B1、B2、B3、B4稱為“腰”,而 O稱為“心”.這樣一來,可以把田字形網(wǎng)絡(luò)分為:頂—頂;腰—腰;頂(腰)—心;頂—腰,共 4大類、8小種的情形.

圖1

根據(jù)“田”字網(wǎng)絡(luò)的對稱性,假設(shè)兩端加上電壓,總能找到電勢相等的點(diǎn),那么就可以將接在等電勢節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)線或電阻斷開(即去掉),也可以用導(dǎo)線或電阻將等電勢節(jié)點(diǎn)連接起來,此種處理所得電路與原電路等效.

下面我們一一呈現(xiàn).

1 “頂—頂”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

(1)求對角頂點(diǎn)間等效電阻RAB:如圖2所示,已知“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)每邊的電阻均為 R(以下求解問題類同),求 A、B間的等效電阻.

圖2

圖3

圖4

(2)求相鄰頂點(diǎn)間等效電阻RAB

圖5

圖6

2 “腰—腰”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

(3)求相鄰腰點(diǎn)間等效電阻RAB

圖7

圖8

(4)求相對腰點(diǎn)間的等效電阻RAB

解析:假設(shè)AB兩端加電壓,電流從 A流入、B流出,此情景跟第 2種情景相似,C、D、O都是等勢點(diǎn),處理方法與情景2相同,圖9簡化成圖10電路,利用串并聯(lián)的知識(shí)易得:AB間等效電阻:RAB=R.

圖9

圖10

3 “頂(腰)—心”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

(5)求頂對心的等效電阻RAO

圖11

圖12

(6)求腰對心間的等效電阻RAO

圖13

圖14

4 “頂-腰”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

(7)求相鄰頂腰間的等效電阻:如圖15.

解析:這是一個(gè)不對稱的問題,針對這種不對稱情況,我們想方設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為對稱的情形,運(yùn)用疊加原理,圖15相當(dāng)于右邊圖16和圖17兩種對稱情況的疊加,此種處理與原情況等效.分別算出兩種對稱情況下流過 AB邊的電流,疊加得圖15中流過 AB邊的電流,再利用 UAB=RAB×I,求解等效電阻 RAB.

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

(8)求相間頂腰間的等效電阻RAB:如圖20

解析:同理圖20情況亦可看成是兩種對稱性較好的情形圖21、圖22的疊加,圖21中流過兩支路電流分別為

圖20

圖21

圖22

圖23

圖24

(9)拓展:再來看一個(gè)似乎不是“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)的問題

3只相同的金屬圓圈,兩兩正交的連成下圖所示的形狀.若每一只金屬圈原長的電阻為r,試求圖25中 A、B兩點(diǎn)間的等效電阻RAB.

圖25

以上我們討論了“田”字形無源二端網(wǎng)絡(luò)的8種變化及立體網(wǎng)絡(luò)可轉(zhuǎn)化為“田”字形網(wǎng)絡(luò)的情形,分析歸納,得出“田”字形無源電阻網(wǎng)絡(luò)處理的一般方法:假設(shè)二端加上電壓,電流從網(wǎng)絡(luò)一端流進(jìn),另一端流出,根據(jù)電路的對稱性找到電勢相等的一系列點(diǎn),采用“斷開、去除、折疊”等手段簡化網(wǎng)絡(luò),利用簡單串并聯(lián)電路的規(guī)律求解等效電阻,較為復(fù)雜的情況需要用到電路的疊加原理和求解電流分布來確定等效電阻.事實(shí)上在求解具體問題時(shí),往往多種手段集于一題,問題才能解決.