臧立志

(蘇州大學(xué)附屬中學(xué),江蘇蘇州 215006)

在中學(xué)物理中,線性函數(shù)y=kx+b或y=kx等獲得了極其廣泛的應(yīng)用.利用線性函數(shù),我們不但能正確地表達(dá)諸如由時(shí)間決定的變力,彈簧類物體的彈力,線性變化的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),靜止液體內(nèi)部的壓強(qiáng),共軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體的各點(diǎn)的線速度等等一般的物理規(guī)律,更重要的是,我們還可以利用線性函數(shù)在定義區(qū)間 x1～x2(或 t1～t2)內(nèi)的平均值ˉy=來(lái)分析和解決許多比較復(fù)雜乃至極其困難的物理問(wèn)題,從而刪繁就簡(jiǎn),化難為易,收到良好的教學(xué)效果.下面,筆者試從3個(gè)方面展開(kāi)討論.

1 關(guān)于線性變力的做功問(wèn)題

這里所謂線性變力,是一種方向沿同一直線而大小隨位移均勻變化的力,亦即大小與位移成正比而方向相反的變力,其表達(dá)式為 F=-kx+b或F=-kx.反映在數(shù)學(xué)中,這種變力是位移的一次函數(shù).對(duì)解決這種變力做功的問(wèn)題,使許多初學(xué)者感到困惑不解或十分棘手.但是,從另一個(gè)角度著眼,若利用這種函數(shù)在0～x位移內(nèi)的平均值即ˉF作為恒力來(lái)替代線性變力,使求線性變力做功的問(wèn)題予以簡(jiǎn)化.

例 1.如圖 1所示,把質(zhì)量為 m、底面積為 S的木塊,放入密度為ρ的水內(nèi)的O點(diǎn),即木塊下底面在水下 h0深度處時(shí),由于恰好受力平衡而靜止.現(xiàn)用力下按使其豎直向下移動(dòng) xm至 O′點(diǎn),然后釋放.求木塊由O′點(diǎn)返回到O點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度.

解析:選豎直向下為 x軸的坐標(biāo)正方向,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).考慮到浮力遵守阿基米德定律,可得 N=ρ gSh,其中h為木塊沒(méi)入水中的深度.從而,可得木塊所受的合力為

圖1

其中x為木塊在任意位置偏離O點(diǎn)的位移.

依題意,當(dāng)木塊在O點(diǎn)時(shí),

再把(2)式代入(1)式,又得 F=-ρ gSx.

由此可見(jiàn),木塊在此線性變力作用下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).不難求出合力F在0-xm區(qū)間上的平均值為

設(shè)由O′點(diǎn)返回到O點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度為v,根據(jù)動(dòng)能定理可得

最后,由(3)、(4)式即可求出

點(diǎn)撥:應(yīng)該指出,當(dāng)線性變力 F=kx與另一恒力(如此例之重力)共同作用于一個(gè)物體時(shí),其合力也是線性的,從而形成F=kx+b形式的線性變力,其平均值的表達(dá)式與前者亦有所不同.并且這一點(diǎn)對(duì)于以時(shí)間為自變量的一次函數(shù)也是如此.

例2.如圖2所示,一根輕質(zhì)彈簧豎直站立、下端固定在水平支持面上,恰好在彈簧的正上方高度為h的A點(diǎn),有一質(zhì)量為 m的物體由靜止自由下落.當(dāng)物體落至彈簧上端的O點(diǎn)時(shí),彈簧開(kāi)始被壓縮,而當(dāng)它到達(dá)B點(diǎn)時(shí),物體的速度為零.試求:

(1)物體位移多大時(shí)達(dá)到最大速度,最大速度為多少.

(2)彈簧的最大壓縮量.

解析:首先,分析可知物體在豎直向下的重力、豎直向上的彈力等共同作用下,做先加速、后減速、最后靜止的變加速運(yùn)動(dòng).

選豎直向下為 x軸正方向,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).由牛頓第二定律,可得

圖2

其中F=-kx為彈簧的彈力.

然后,設(shè)物體自A點(diǎn)下落至C點(diǎn)時(shí)加速度為零,此時(shí)物體達(dá)到最大速度vm;又設(shè) OC=x1,亦即 mg-kx1=0.于是可得

圖3

顯然,重力、彈力的合力在位移 x內(nèi)的平均值為

從而由動(dòng)能定理,我們不難得到

由(1)～(3)式,即可解得

最后,依題意知物體自 A點(diǎn)下落到B點(diǎn)時(shí)速度為零,再設(shè)彈簧的最大壓縮量即OB=x2,我們由動(dòng)能定理又得

顯然,上式是關(guān)于 x2的一元二次方程.從而又可解得

由于 m2g2+2kmgh＞m2g2,因而當(dāng)根式前為“-”號(hào)時(shí),x2＜0,舍去負(fù)解.從而可得到

亦即線段 BC＞OC,點(diǎn) C不是線段OB的中點(diǎn);若 h比較大,則BC段比OC段要大得多.圖3表示出合力隨位移變化的大致情形,“陰影”的面積則為合力在相應(yīng)位移內(nèi)所做的功.

點(diǎn)撥:由此例解析可見(jiàn),我們雖然先后在 AC和AB兩段位移上都利用動(dòng)能定理解決問(wèn)題,但由于前者與后者的位移不同,使得同一合力的平均值顯然不同;從做功角度看,造成BC＞OC的原因,顯然是在 AC一段位移上,重力做了比在BC段更多的正功.還應(yīng)明確,若使上式中h=0,可知物體由O到B恰好完成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的半個(gè)全振動(dòng),此時(shí)C點(diǎn)才是OB線段的中點(diǎn),同時(shí)也是振動(dòng)的平衡位置.

2 關(guān)于線性變力沖量的問(wèn)題

這里所謂線性變力,是另一種方向沿同一直線而大小隨時(shí)間均勻變化的力,其表達(dá)式為 F=kt+b或F=kt.反映于數(shù)學(xué)中,這種線性變力是時(shí)間的一次函數(shù).類似地,若能利用線性變力在時(shí)間0～t內(nèi)的平均值,即作為恒力替代線性變力,使求變力的沖量問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.

例3.灑水車在灑水過(guò)程中,由于水流速度、噴水口面積等在比較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi),可以認(rèn)為保持不變,即單位時(shí)間內(nèi)流出的水的質(zhì)量相等.因而,灑水車的質(zhì)量是時(shí)間的一次函數(shù),可以寫(xiě)作 m=m0-kt.其中 m0為初始質(zhì)量,k為質(zhì)量對(duì)時(shí)間的變化率,t為灑水的時(shí)間.現(xiàn)設(shè)灑水車的初速度為 v0,初始質(zhì)量為 m0,經(jīng)過(guò) t的時(shí)間,車速增加為 vt;再設(shè)它的牽引力F恒定不變,與路面的摩擦因數(shù)為 μ.試求:灑水車在時(shí)間t內(nèi)損失的動(dòng)量.

解析:首先,分析可知灑水車在水平方向的牽引力和滑動(dòng)摩擦力等作用下做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動(dòng).

顯然,由于所受合力不為零,動(dòng)量守恒定律不適用.但是筆者們可以先用合力的平均值求出合力的沖量,再利用動(dòng)量定理即可求出動(dòng)量的損失.依題意,可知其合力為

圖4

合力隨時(shí)間變化的情形如圖4中直線 AB所示,“陰影”的面積則表示了合力的沖量.在時(shí)間t內(nèi)合力的平均值為

設(shè)灑水過(guò)程中損失的動(dòng)量為Δp,由動(dòng)量定理得

由(1)、(2)式,可以解得

點(diǎn)撥:解答此題的關(guān)鍵有二:一先用線性變力——合力對(duì)時(shí)間的平均值,求出合力的沖量;進(jìn)而,再利用動(dòng)量定理去求動(dòng)量的變化.二在全過(guò)程的動(dòng)量變化之中,不但有末、初動(dòng)量之差,同時(shí)必須包括流出的水帶走的動(dòng)量,亦即題目所求的損失的動(dòng)量.

3 線性長(zhǎng)度導(dǎo)致的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)問(wèn)題

電磁感應(yīng)現(xiàn)象中也有一類隨位移或時(shí)間均勻變化的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)問(wèn)題,即感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E是位移s或時(shí)間t的一次函數(shù).類似地,筆者們也可以利用求其平均值的方法去分析和解決.

例 4.如圖 5所示,兩條平行的虛線 M、N之間存在著垂直紙面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).在磁場(chǎng)的左側(cè)另有一個(gè)位于紙面內(nèi)的等腰梯形線框 ABCD,已知 AB邊的長(zhǎng)度d,底角 α,且總電阻為 R.現(xiàn)使線框自左至右以速度v勻速進(jìn)入磁場(chǎng),自 AB邊進(jìn)入直到CD邊與磁場(chǎng)左邊界M重合為止,所用的時(shí)間為t,那么求在此過(guò)程中通過(guò)線框某一橫截面的電量.

解析:分析可知,在題設(shè)過(guò)程中梯形線框切割部分的有效長(zhǎng)度為

圖5

由電磁感應(yīng)規(guī)律得線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

顯見(jiàn),它是時(shí)間的一次函數(shù).

然后,該電動(dòng)勢(shì)在時(shí)間0～t內(nèi)的平均值

最后由歐姆定律求出通過(guò)線框某一橫截面的電荷量

點(diǎn)撥:解決此題的關(guān)鍵在于,先求出線框勻速進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)切割磁感線的有效長(zhǎng)度L,再由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式求出其在時(shí)間0t內(nèi)的平均值;然后,作為恒定的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)結(jié)合歐姆定律等處理.

綜上所述,若能巧妙的利用一次函數(shù)的平均值,筆者們的確可以解決中學(xué)物理中一大類物理問(wèn)題.它不僅可以大幅度提高中學(xué)生分析和解決物理問(wèn)題的能力、利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力,而且對(duì)于培養(yǎng)求異思維、巧妙思維和創(chuàng)新思維能力,進(jìn)而大面積提高中學(xué)物理的教學(xué)質(zhì)量都有十分重要的意義.

1 復(fù)旦大學(xué)、上海師范大學(xué)物理系編.物理學(xué).上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1997.

2 人民教育出版社編.全日制普通高中(必修加選修)教師教學(xué)用書(shū).北京:人民教育出版社,2003.