黃 瑜 李 力

(重慶清華中學(xué),重慶 400054)

“從生活到物理,從物理到社會(huì)”是新課改的基本理念,而“以知識(shí)為載體、從能力立意”則是高考命題一貫的原則.作為2009年高考理綜全國(guó)卷Ⅱ壓軸題的第26題,充分地體現(xiàn)了“能力立意”和“注重STS聯(lián)系”的高考命題特點(diǎn).在當(dāng)今全球能源危機(jī)的背景下,此題以“石油勘探”為素材,通過(guò)石油存在時(shí)產(chǎn)生的重力加速度反常現(xiàn)象的研究,勘探測(cè)定石油的位置與儲(chǔ)量.此題對(duì)學(xué)生的能力要求較高,考查的能力也比較全面,閱讀理解能力、建模能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力都囊括其中.據(jù)某省的抽樣統(tǒng)計(jì),學(xué)生的得分率不到1分(滿分21分),且學(xué)生反映不容易讀懂高考評(píng)分答案的解法.鑒于此,本文給出一種非常直觀清晰、簡(jiǎn)捷易懂的解法.由于此題的困難在于第(1)小題,第(2)小題是第(1)小題的自然延伸,在第(1)小題得到的答案基礎(chǔ)上可以輕易解決,故以下我們只研究它的第(1)小題.

圖1

題目:如圖1,P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn),在 P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油,假定區(qū)域周圍巖石均勻分布,密度為ρ;石油密度遠(yuǎn)小于巖石密度,可將上述球形區(qū)域視為空腔.如果沒(méi)有這一空腔,則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向;當(dāng)存在空腔時(shí),該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏離.重力加速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反?！?為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量,常利用P點(diǎn)附近重力加速度反常現(xiàn)象.已知引力常量為G.

(1)設(shè)球形空腔體積為 V,球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑),求空腔所引起的 Q點(diǎn)處的重力加速度反常.

解析:如圖2所示,在 Q點(diǎn)處放一單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn).假如球形空腔填滿密度為ρ的巖石,它對(duì) Q處質(zhì)點(diǎn)的引力為F1,球形空腔外的其余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為F2,F1與F2的合力即為正常情況下的重力加速度g(單位質(zhì)量的物體所受的重力即為重力加速度).

假如球形區(qū)域內(nèi)填滿石油,則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力減小為F1′,而球形空腔外其余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力仍舊為F2.這樣一來(lái) F1′與F2的合力變?yōu)?F′,此即現(xiàn)在的重力加速度 g′,它偏離豎直方向的夾角為α.

圖2

由上述可得

根據(jù)題意和圖2中幾何關(guān)系可知“重力加速度反?！睘?/p>

聯(lián)立以上各式解得

又因?yàn)?ρ?ρ油,所以得

此解法的特點(diǎn)是:第一,比較直觀簡(jiǎn)捷,符合學(xué)生的理解水平與接受能力.第二,(4)式是沒(méi)有忽略石油密度時(shí)重力加速度反常的通解式,而高考評(píng)分答案直接研究忽略石油密度的情況,從而僅得到了特解(5)式.第三,從我們的解法可以看出,題目并不要求g′偏離豎直方向的夾角α必須非常小,換句話說(shuō)該地區(qū)重力加速度的大小和方向可以和正常情況有較大的偏離,這種解法和得到的答案都同樣正確.