韓瑞功

(濰坊科技學(xué)院,山東 壽光 262700)

在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中除存在混沌現(xiàn)象外,還可能存在定域行波解,它們?cè)谖锢砩峡沙跻姙榉蔷€性激發(fā)的、能量不彌散的穩(wěn)定的準(zhǔn)粒子或孤立子.孤立子具有波粒二象性,但遵循經(jīng)典運(yùn)動(dòng)規(guī)律.這種孤立子已經(jīng)在宇觀、宏觀和微觀領(lǐng)域內(nèi)的許多方面得到了應(yīng)用.特別是近代,隨著計(jì)算機(jī)媒體、網(wǎng)絡(luò)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,其內(nèi)在的應(yīng)用意義凸現(xiàn)出來,成為物理學(xué)以及生命科學(xué)研究的課題之一.

1 孤立波的發(fā)現(xiàn)

孤立波是在100多年前由英國科學(xué)家拉塞爾最早提出的.關(guān)于他觀察到的奇妙現(xiàn)象有這樣一段生動(dòng)記載:“我正在觀察一條船的運(yùn)動(dòng),這條船被兩匹馬拉著,沿著狹窄的河道迅速前進(jìn),船忽然停下了,而被水所帶動(dòng)的水團(tuán)卻沒有停下來,它們積聚在船頭周圍激烈地?cái)_動(dòng)著,然后突然形成一個(gè)巨大、平滑且輪廓分明的孤立波峰,急速地離開船頭滾滾向前.這水峰約有30英尺長,1～1.5英尺高,在河道中行進(jìn)并一直保持著原來的形狀,速度未見減慢.我騎著馬緊緊追隨,發(fā)覺大約以8～9英里/小時(shí)的速度前進(jìn),后來的波高度漸漸減小,在跟蹤了1～2英里后它們終于消失在蜿蜒的河道中.”拉塞爾曾將觀察到的這一現(xiàn)象在英國第14次科學(xué)促進(jìn)會(huì)的會(huì)議上作了生動(dòng)的報(bào)告.但由于當(dāng)時(shí)科學(xué)技術(shù)的限制,沒有人再對(duì)這一問題作出進(jìn)一步的理論或?qū)嶒?yàn)研究.過了60年以后,在1895年,科特維格和德弗里斯提出了一個(gè)狹窄水波的運(yùn)動(dòng)方程,現(xiàn)通常簡稱為KDV方程,從而為孤立波的研究提供了理論基礎(chǔ).特別是該方程的一個(gè)特解可用來表示拉塞爾所描述的水團(tuán)的形狀和傳播情況,此解可表示為

這里c是水團(tuán)的行進(jìn)速度,A為幅值,水域的寬度為b,濃度為h.這個(gè)解就是一個(gè)典型的孤波.但當(dāng)時(shí)由于人們懷疑這個(gè)方程的解是否穩(wěn)定而把它擱在一邊,孤立波又一次被“孤立”了.

救活這一工作的是20世紀(jì)50年代費(fèi)米等人研究的所謂FPU問題.他們?cè)O(shè)想了一個(gè)由64個(gè)質(zhì)點(diǎn)用非線性彈簧相連的一條非線性振動(dòng)弦系統(tǒng),并計(jì)算該系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的能量分布.他們的這個(gè)工作開創(chuàng)了利用計(jì)算機(jī)對(duì)復(fù)雜物理問題進(jìn)行數(shù)值計(jì)算研究的先例.他們發(fā)現(xiàn),所得結(jié)果與線性系統(tǒng)中能量均分定理的結(jié)果明顯不同,系統(tǒng)存在孤波解.由此他們受到啟示:除了流體以外,在其他系統(tǒng)中也可能觀察到非線性的孤立波.其后人們又考察了等離子體的非線性的孤立波.在這些研究中人們還發(fā)現(xiàn),兩個(gè)孤立波可以發(fā)生碰撞,但碰撞后他們的形狀不會(huì)改變.這個(gè)結(jié)果為孤立波的研究進(jìn)一步打開了大門.1973年,人們又在實(shí)驗(yàn)室的水箱中再現(xiàn)了拉塞爾所觀察到的KDV孤立波,從而一度在世界范圍內(nèi)掀起了“孤波熱”.

2 孤立波的物理特征

由于兩列孤立波碰撞后保持各自原來的形狀,不改變波形也不改變傳播速度,因此現(xiàn)在又稱它們?yōu)椤肮铝⒆印?簡稱“孤子”.自20世紀(jì) 70年代以后,人們?cè)诖蟮接钪妗⑿〉轿⒂^基本粒子、復(fù)雜到生物體等許多物理系統(tǒng)上發(fā)現(xiàn)了孤立子的存在.

孤立子具有波動(dòng)性,它是一種行波,可以在時(shí)空中傳播,也可以在空間中處于靜止?fàn)顟B(tài),后者稱為非傳播孤立子.孤立子還具有粒子性,它具有一切粒子的基本特性,如能量、動(dòng)量、電荷、自旋等.同時(shí),它們?cè)谙嗷プ饔眠^程中遵循自然界的各種守恒定律,如能量、動(dòng)量、質(zhì)量守恒定律等.因此從上述意義上說,與量子力學(xué)的情況類似,孤立子也具有波粒二象性.但是應(yīng)當(dāng)指出,這里所說的孤立子完全屬于經(jīng)典物理范疇,它們遵循經(jīng)典運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

3 孤立子的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

孤立子在數(shù)學(xué)上是某些非線性偏微分方程的局域行波解,這類非線性方程中包含有色散項(xiàng).因此,穩(wěn)定的孤立子解是在非線性力和色散力同時(shí)作用和相互競(jìng)爭(zhēng)中所形成的一種穩(wěn)態(tài)解.

(1)KDV方程.KDV方程是最早建立的描述在狹窄通道水面上產(chǎn)生孤立波的方程,KDV方程的形式是

在上式左邊第2項(xiàng)是非線性項(xiàng),第3項(xiàng)是色散項(xiàng).

(2)非線性薛定諤方程.1958年人們發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)磁場(chǎng)中的等離子體內(nèi)也可產(chǎn)生孤立波,并由此建立了一類非線性偏微方程,稱為非線性薛定諤方程,它的一維形式是

與通常的(線性)薛定諤方程相比,上式中多了一項(xiàng)非線性項(xiàng),其中 G是參數(shù).這個(gè)方程常常被應(yīng)用于非線性光學(xué)中的自聚焦現(xiàn)象和等離子體中的單色波自調(diào)制問題.

(3)正弦-戈?duì)柕?SG)方程.在超導(dǎo)材料和鐵磁體理論的某些問題中會(huì)出現(xiàn)又一類非線性方程,稱為正弦-戈?duì)柕欠匠?其一維形式是

上式等號(hào)左邊的形式與(線性)波動(dòng)方程類似.

需要說明的是,除了上述介紹的3類孤波解的非線性方程外,還有許多其他類型的存在孤波解的非線性方程.目前,能找到非線性方程的孤波形式解析解還僅僅限于一維情況,是否存在二維,甚至三維的情況,還有待于物理學(xué)家和眾多研究孤立波的人們的努力.

4 孤立子的應(yīng)用

經(jīng)過科學(xué)家的研究,特別是對(duì)于非線性方程的孤波解或孤子解已經(jīng)有大量成果,其中不少成果已應(yīng)用于幾個(gè)科學(xué)領(lǐng)域,如固體和凝聚態(tài)物理、導(dǎo)電塑料、激光和光導(dǎo)纖維、電磁導(dǎo)彈等.

(1)光纖孤子通信.1968年孤子理論就被應(yīng)用于光纖通信問題中.光纖通信系統(tǒng)中光脈沖的傳輸面臨兩個(gè)問題,一是脈沖的能量損失,二是脈沖的展寬.發(fā)送脈沖過密或傳輸距離過長都會(huì)在接收端造成脈沖重疊而使信號(hào)無法識(shí)別,因此脈沖展寬已是限制已有的線性光纖通信系統(tǒng)擴(kuò)大傳輸容量的主要因素.于是在光纖中利用振幅、脈寬和形狀都保持不變的非線性光孤子來傳輸信號(hào),當(dāng)然會(huì)引起人們極大的興趣.這樣,不僅解決了一技術(shù)性的難題,重要的是拓寬了孤立子特性的應(yīng)用,具有重要的科技含量和發(fā)展前景.

為實(shí)現(xiàn)光孤子的傳輸,首要的問題是研制出精確可控的孤子激光器,目前已經(jīng)制成的孤子激光器有拉曼孤子激光器、摻鉺光纖孤子激光器和鎖模半導(dǎo)體激光器等.實(shí)用化的光纖通信系統(tǒng)的研究也正在形成中.有人預(yù)言,在未來的信息社會(huì)中光孤子通信可能會(huì)發(fā)揮“神經(jīng)樞”的作用.

(2)生命過程中的孤立子.生物體是一個(gè)開放系統(tǒng),它在不斷地與外界環(huán)境交換能量和物質(zhì)的過程中可能出現(xiàn)自組織耗散結(jié)構(gòu),以維持生命活動(dòng).因此,生物能量和信息的傳輸是生命活動(dòng)的最基本也是最主要的過程.烏克蘭科學(xué)家達(dá)維多夫于1979年最早將一維孤立子理論應(yīng)用到α—螺旋蛋白質(zhì)分子中結(jié)合能的傳輸問題.他指出,α-螺旋蛋白質(zhì)分子中由于集體激發(fā)而產(chǎn)生的激子和分子鏈位移變化的運(yùn)動(dòng)方程在連續(xù)性近似下可化為典型的非線性薛定諤方程,它的解就稱為達(dá)維多夫孤立子.以后,其他科學(xué)家進(jìn)—步研究了這個(gè)問題,并將它應(yīng)用于解釋肌肉收縮等生理現(xiàn)象,獲得了一定的成功.這就是傳遞生物能量和信息的達(dá)維多夫孤立子機(jī)制.

生命過程中的另一個(gè)重要問題是,DNA(脫氧核糖核酸)分子作為生物遺傳物質(zhì)基礎(chǔ)和生物遺傳信息負(fù)載者是怎樣完成復(fù)制功能的問題,研究這個(gè)問題對(duì)于人們認(rèn)識(shí)生物遺傳與變異,以及諸如癌癥等疾病的致病原因都是有重大意義的.20世紀(jì)80年代以來的一些研究表明,DNA分子可以出現(xiàn)包括混沌狀態(tài)在內(nèi)的各種空間構(gòu)象和局域性漲落,在一定條件下也存在各種各樣的孤子激發(fā).利用這些孤立子的不同性質(zhì)和變化特點(diǎn),借助于各種酶的參與,研究人員解釋了DNA的解鏈和復(fù)制過程.此外人們還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),DNA復(fù)制現(xiàn)象是一種分形,其分形維數(shù)為0.63.可以預(yù)言,深入研究孤立子和生命過程的關(guān)系將對(duì)于進(jìn)一步揭示生命的奧秘有著重要的意義.

1 教育部師范教育司組織編寫.20世紀(jì)物理學(xué)概觀.上海:上?？萍汲霭嫔?1999.