王 鍇

(四川省萬源中學(xué),四川萬源 636350)

1 問題的來源

筆者現(xiàn)任教高三物理課,在某次月考時(shí),發(fā)現(xiàn)試卷中有這樣一道題:

如圖1所示,一條輕繩跨過定滑輪兩端,左端連接一個(gè)重物,右端連接一個(gè)小車.小車在水平面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng).問以下說法哪些是正確的.

(A)重物所受細(xì)繩拉力大于重物的重力.

(B)重物所受細(xì)繩拉力小于重物的重力.

(C)重物做變加速運(yùn)動(dòng)且加速度不斷變大.

(D)重物做變加速運(yùn)動(dòng)且加速度不斷變小.

題目所給的答案為(A)、(C).經(jīng)分析,可把小車的速度分解為沿著繩子方向的分速度 vr和垂直于繩子方向的分速度vt.而輕繩左端重物向上運(yùn)動(dòng)的速度vm就等于沿著繩子方向的分速度vr,根據(jù)速度分解關(guān)系有

圖1

當(dāng)小車向右運(yùn)動(dòng)時(shí),θ角不斷變小,所以cosθ不斷增大,且小車的速度 v又不斷增大,所以重物向上運(yùn)動(dòng)的速度vm不斷增大,可推知重物向上做加速運(yùn)動(dòng).所以重物所受細(xì)繩的拉力大于重物的重力,故(A)選項(xiàng)正確.但是(C)選項(xiàng)就值得商榷了.出題者的原意是:把以上分析速度的方法推廣到兩物體的加速度.即認(rèn)為重物的加速度 am也等于小車的加速度沿繩方向的分加速度ar.以致得出重物加速度也不斷增大的結(jié)論.筆者認(rèn)真查閱了大學(xué)的力學(xué)教材.發(fā)現(xiàn)問題沒有那么簡單.結(jié)論是:加速度不能套用速度分解的模式去解算.

2 問題的分析及解決

如圖2所示,以繩端為原點(diǎn)建立自然坐標(biāo)系,其中er表示沿著繩伸長方向的單位矢量,et表示垂直于繩子方向的單位矢量.

本問題的以上解法錯(cuò)在簡單地認(rèn)為重物的加速度am也等于小車的加速度沿繩子方向的分加速度ar.實(shí)際上,由于小車的兩個(gè)分速度 vt和vr都在發(fā)生變化,而且都包括大小和方向兩方面的變化.所以小車的加速度應(yīng)該有4個(gè)分量,分別為:小車沿著繩子方向的分速度vr的大小變化產(chǎn)生的加速度vr的方向變化產(chǎn)生的加速度;小車垂直繩子方向的分速度 vt的大小變化產(chǎn)生的加速度以及 vt的方向變化產(chǎn)生的加速度.

圖2

用矢量分析公式來計(jì)算小車的加速度有

根據(jù)矢量分析相關(guān)公式有

進(jìn)一步有

最后有

整理可得

從計(jì)算結(jié)果可以看出,其中小車沿著繩的方向的分速度vr的大小變化產(chǎn)生的加速度和小車垂直于繩子方向的分速度vt的方向變化產(chǎn)生的加速度沿著er的方向即繩子的方向,且與er同向即沿著繩伸長的方向,與er方向相反,即沿著繩伸長的反方向.同理在垂直于繩子方向上也包括vr的方向變化產(chǎn)生的加速度和vt的大小變化產(chǎn)生的加速度且二者是同向的.

其中vr的大小變化產(chǎn)生的加速度和vt的方向變化產(chǎn)生的加速度二者的矢量和才等于小車的合加速度沿繩子方向的分量.即有

而根據(jù)繩長不變,只有vr的大小變化產(chǎn)生的加速度才等于重物上升的加速度.這個(gè)加速度并不等于小車沿繩子方向的分加速度.即

那么重物上升的加速度究竟是多少呢?應(yīng)該說這和問題的具體情況有關(guān).為了簡化分析,在不違背題意的前提下,我們可作如下假設(shè),如圖 3所示.

假設(shè)小車的初位置在定滑輪下方,即計(jì)時(shí)開始時(shí)輕繩兩邊均處于豎直狀態(tài).且右邊繩長為H.并設(shè)小車從靜止開始以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng).則有重物的加速度為

圖3

經(jīng)計(jì)算可得

其實(shí)既然vr的大小變化產(chǎn)生的加速度和vt的方向變化產(chǎn)生的加速度的矢量和等于小車的加速度沿繩子方向的分量,那么以上結(jié)論可以簡化為

可見重物的加速度隨時(shí)間的變化是十分復(fù)雜的一個(gè)函數(shù),我們可以得出結(jié)論:重物的加速度隨時(shí)間并不是簡單地增大或減小.隨著參數(shù)取值的不同,有可能是在某些區(qū)間內(nèi)加速度增大,而在另一些區(qū)間內(nèi)加速度卻要減小.即使隨時(shí)間一直增大,這個(gè)結(jié)論的復(fù)雜程度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了中學(xué)生能解決的程度.

3 結(jié)論及分析

通過對以上問題的分析我們可以看出,由于加速度是物體位矢對時(shí)間的二階變化率.對于加速度的分析計(jì)算,不能簡單地照搬分析速度的方法和結(jié)論,必須考慮到速度矢量的大小的變化和方向的變化均能產(chǎn)生加速度.在分解加速度時(shí)更要想清楚,分加速度的物理意義,不然就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論.

1 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程?力學(xué)(第2版).北京:高等教育出版社,2004.23

2 強(qiáng)元戶攵木.經(jīng)典力學(xué).北京:科學(xué)出版社,2003.7.

3 謝樹藝.工程數(shù)學(xué)矢量分析與場論(第2版).北京:高等教育出版社,1985.9