蔡麗芬 王 飛

(1.南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇南京 210097;2.沈陽(yáng)師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110034)

“微元法”通俗地說(shuō)就是把研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分,取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理,再?gòu)木植康饺w綜合起來(lái)加以考慮的科學(xué)思維方法.“微元法”是高中物理涉及到的一種數(shù)學(xué)方法之一,滲透著微積分的思想,是物理學(xué)發(fā)展過(guò)程中最重要的科學(xué)思維方法之一,是牛頓力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).微元法對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得有一定的難度(屬于較高要求).但在人教版的高中物理新教材中恰當(dāng)?shù)剡x擇了一些物理問(wèn)題進(jìn)行“微元法”的滲透,使學(xué)生逐步對(duì)“微元法”了解、熟悉,層次較高的學(xué)生甚至能利用“微元法”解決一些實(shí)際問(wèn)題,近幾年的江蘇高考中也將微元法的應(yīng)用作為對(duì)較高層次學(xué)生的要求.

1 “微元法”在新教材中的呈現(xiàn)

人教版的高中物理新教材強(qiáng)調(diào)方法,對(duì)科學(xué)方法的學(xué)習(xí)做了系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的處理,在整個(gè)必修教材中對(duì)微元法采用了逐步滲透的方法.現(xiàn)將涉及內(nèi)容統(tǒng)計(jì)如表1.

表1

從表1可以看出,新版教材的必修部分在各個(gè)章節(jié)都將“微元法”以多樣化的形式展現(xiàn)給學(xué)生,使學(xué)生在潛移默化中對(duì)“微元法”有所認(rèn)識(shí)、了解、熟悉.

2 課堂內(nèi)外對(duì)“微元法”的滲透

教師除了讓學(xué)生通過(guò)教材對(duì)“微元法”的思想有所了解之外,還可以在平時(shí)的教學(xué)中經(jīng)常性的補(bǔ)充一些微元法的應(yīng)用問(wèn)題,使學(xué)生在實(shí)踐中對(duì)“微元法”領(lǐng)悟更深,豐富學(xué)生處理問(wèn)題的手段,拓展學(xué)生的思維.現(xiàn)筆者從以下幾個(gè)方面舉些例子.

(1)利用微元法將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功.

例1.如圖1(a)所示,某個(gè)力 F=10 N作用于半徑 R=1 m的轉(zhuǎn)盤(pán)的邊緣上,力F的大小保持不變,但方向保持任何時(shí)刻均與作用點(diǎn)的切線一致,則轉(zhuǎn)動(dòng)1周,這個(gè)力F做的總功為多少?

圖1

解析:由于力F的方向與作用點(diǎn)的速度方向一致,因此力F做功不為零,且此力不為恒力.可以考慮把圓周劃分為很多“微元”來(lái)研究.如圖1(b)所示,當(dāng)各小段的弧長(zhǎng)Δs足夠小(Δs→0)時(shí),在這 Δs內(nèi)F 的方向幾乎與該小段的位移重合,每一小段里恒力 F做功 ΔW=FΔs,則 F做的總功為 W=FΔs1+FΔs2+FΔs3…=F?2πR=20πJ.

這等效于將本來(lái)是曲線的圓周拉直.在這里,力 F所做的功相當(dāng)于力和物體運(yùn)動(dòng)路程的乘積.

(2)利用微元法“化曲為直”求曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

例2.某行星圍繞太陽(yáng)C沿橢圓軌道運(yùn)行,它的近日點(diǎn)A離太陽(yáng)的距離為a,行星經(jīng)過(guò)近日點(diǎn) A時(shí)的速度為vA,行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)B離太陽(yáng)的距離為b,如圖2所示,求它經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)的速度vB的大小.

圖2

解析:由開(kāi)普勒第二定律可得,近日點(diǎn)速度大,遠(yuǎn)日點(diǎn)速度小,具體大小關(guān)系如何?在這里我們可以利用微元法在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)分別取很短的時(shí)間Δt,如圖2所示,在Δt內(nèi)可認(rèn)為行星做勻速直線運(yùn)動(dòng),掃過(guò)的面積即三角形面積,根據(jù)開(kāi)普勒第二定律有

所以

(3)利用微元法“化整為零”從局部求整體

例3.杯子中裝有半杯水,當(dāng)杯子以恒定的加速度 a向右運(yùn)動(dòng)時(shí),液面形狀如何?

圖3

解析:此問(wèn)題若直接取杯中水研究很難突破液面形狀問(wèn)題,我們可在液面上任取一薄薄的微液片,如圖3所示,設(shè)其質(zhì)量為Δm,微液片受向下的重力G和內(nèi)部液體的彈力N,因其加速度水平向右,所以G、N的合力F必水平向右,設(shè)液面與水平面的夾角為θ.由牛頓第二定律有F=Δmgtanθ=Δma.所以

(4)利用微元法將一般回歸到特殊

例4.如圖4所示,均勻帶電圓環(huán)的帶電荷量為+Q,半徑為 R,圓心為 O,P為垂直于圓環(huán)平面的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),OP=L,P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為多少?

圖4

解析:本題中的帶電體為一般帶電體,而非點(diǎn)電荷,所以不能直接運(yùn)用點(diǎn)電荷電場(chǎng)公式.但我們可以利用微元法將一般帶電體的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算,即在圓環(huán)上取一小段Δl,設(shè)圓環(huán)上電荷的分布密度為ρ,則該小段的帶電荷量Δq=ρ?Δl,在 P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng):E=而r2=R2+L2,P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)又可分解為

因?yàn)閳A環(huán)上電荷分布具有對(duì)稱(chēng)性,所以y軸方向的合電場(chǎng)為0.則 P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

通過(guò)上面的舉例我們可以看出,“微元法”使曲與直統(tǒng)一起來(lái)了,使變與不變統(tǒng)一起來(lái)了,使一般與特殊統(tǒng)一起來(lái)了.通過(guò)對(duì)教材的認(rèn)識(shí),通過(guò)平時(shí)的訓(xùn)練,相信學(xué)生在教師的引導(dǎo)下必定能夠逐漸領(lǐng)會(huì)微元法的奇妙之處,達(dá)到一通而百通. (收稿日期:2010-02-01)