韓本三

（西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，成都 610074）

0 引言

微觀面板模型是個(gè)有趣的也是富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。因?yàn)槊姘鍞?shù)據(jù)模型由傳統(tǒng)的線性過度到非線性面臨很多問題而且不同的數(shù)據(jù)類型處理方法上也差別很大。最基本的模型是帶有固定效應(yīng)的二元面板模型，稱為兩時(shí)期兩狀態(tài)模型（見Arellano和 Honore，2001）。這個(gè)二元模型是個(gè)潛變量模型，因變量被描述為解釋變量的線性組合與個(gè)體固定效應(yīng)以及隨個(gè)體時(shí)間而變化的設(shè)定沖擊的和。我們感興趣的參數(shù)是解釋變量的系數(shù)。如果我們用通常的極大似然法估計(jì)，會(huì)產(chǎn)生“意外參數(shù)問題（Baltige，2005）。因?yàn)殡S著個(gè)體數(shù)N增加固定效應(yīng)的個(gè)數(shù)也在增加。對(duì)于Logit模型，Chamberlain(1980)發(fā)現(xiàn)二元因變量按時(shí)間求和對(duì)個(gè)體固定效應(yīng)是個(gè)最小的充分統(tǒng)計(jì)量（即 S-充分性，Barndorff-Nilsen，1987）。這樣便得到了解釋變量系數(shù)的條件Logit估計(jì)。這種方法的一個(gè)關(guān)鍵假設(shè)是設(shè)定沖擊間相互獨(dú)立性。Magnac(2004)在沒有沖擊獨(dú)立的條件下，推廣了條件Logit模型，提出了相應(yīng)的半?yún)?shù)估計(jì)。

1 沖擊獨(dú)立下的條件Logit估計(jì)

基本模型如下：

yt=1，當(dāng)且僅當(dāng) xtβ+ηt+ε+μt>0；否則 yt=0

其中t=1,2,3,4；xt是L維實(shí)向量。為簡(jiǎn)便模型省略了個(gè)體下標(biāo) i。

假設(shè)R：

（1）x1(1)-x2(1)-x3(1)+x4(1)在整個(gè)實(shí)線上連續(xù)變化，xt(1)表示 xt的第一個(gè)分量，β(1)=1，即β的第一個(gè)分量為1；

（2）x1-x2-x3+x4的取值不共線；

（3）隨機(jī)沖擊(μ1,μ2,μ3,μ4)具有嚴(yán)格正的、連續(xù)的、有界的密度函數(shù)，并且與x1,x2,x3,x4,η,ε獨(dú)立。

假設(shè)（1）和（2）是為了保證模型能夠被識(shí)別，參照Magnac(2004)。假設(shè)（3）是為了得到充分統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)等價(jià)刻畫。對(duì)于條件 Logit估計(jì)，μ1,μ2,μ3,μ4還被假設(shè)為獨(dú)立的， 并且服從Logistic分布。

當(dāng)K=0或4時(shí)，上述結(jié)論顯然是成立的。下面說明當(dāng)K=1時(shí)結(jié)論是成立的，其他情況類似。當(dāng)K=1時(shí)會(huì)有四種情況出現(xiàn)，我們選擇y1=1,y2=y3=y4=0來說明

證明：容易知道K和S的取值范圍分別為{0,1,…,3,4}和{0,1,…,8,10}。當(dāng)K=0,4或S=0,10時(shí)，結(jié)論顯然成立。因?yàn)镵,S取值是相關(guān)的，根據(jù)其范圍我們可得只有當(dāng)K=2,S=5時(shí)，y1,y2,y3,y4的取法才不唯一，此時(shí)y1=1,y2=y3=0,y4=1或y1=0,y2=y3=1,y4=0。

上述結(jié)果與η和ε無關(guān)。同理可得

從而我們可以寫出條件似然函數(shù)為

其中當(dāng) y1=0,y2=y3=1,y4=0時(shí)，wi=1；當(dāng)y1=1,y2=y3=0,y4=1時(shí)，

對(duì)于T>4的情況，我們可以對(duì)個(gè)體時(shí)間序列按相鄰的四個(gè)作為一組，構(gòu)造似然函數(shù)，可以證明似然函數(shù)形式是相同的，區(qū)別僅在于K和S的取值上。這種方法雖然在一致性上沒有問題，但對(duì)于有效性，還有值得考慮的地方，因?yàn)槲覀儗⒁粋€(gè)四期的面板模型轉(zhuǎn)化為了一個(gè)截面數(shù)據(jù)模型。

2 充分性的等價(jià)刻畫

第二部分的條件Logit估計(jì)方法有兩個(gè)很強(qiáng)的假設(shè)：μt間的相互獨(dú)立性和Logistic分布假設(shè)，因而受到批評(píng)（Magnac，2004）。 正如 Magnac(2004)中的做法，我們希望能夠在沒有沖擊獨(dú)立的假設(shè)下得到其似然函數(shù)，對(duì)于Logistic分布假設(shè)，一個(gè)自然的方法是利用半?yún)?shù)方法。充分性定義仍然和前面一樣：

下面我們給出充分性的一個(gè)等價(jià)刻畫。

證明：令 zt=-xtβ-ηt-ε，根據(jù)假設(shè) R（3）有

由充分性定義，我們只需要證明對(duì)(y1,y2,y3,y4)∈{(1,0,0,1),(0,1,10)}定理1成立。因?yàn)樵趯?duì)條件下，其概率和為1，所以我們只需要考慮一種情況就可以了。

根據(jù)假設(shè) R 可知 r(z1，z2，z3，z4)在 R4是光滑的，并且 z1，z2，z3，z4在整個(gè)實(shí)軸上變動(dòng)。

這樣要使得 r(z1，z2，z3，z4)與 η、ε 無關(guān)，即有 z1，z2，z3，z4一種組合能夠消除η和ε，并且能夠保留我們需要估計(jì)的參數(shù)β。 因?yàn)?xt可能導(dǎo)致線性無關(guān)性，我們只需要考慮 z1，z2，z3，z4的線性組合。這樣只存在兩類組合方式：z1-z2-z3+z4和(z1-z4)+3(z3-z2)。其他組合是這兩種組合中一種的常數(shù)倍，所以我們只需要考慮這兩種類型。假設(shè)

在假設(shè) R 下，當(dāng) z1→∞ 時(shí)，c((z1-z4)+3(z3-z2))→c(∞)=0，當(dāng)z3→∞ 時(shí)，c((z1-z4)+3(z3-z2))→c(∞)=∞，矛盾。 所以我們有

我們還可以看出c(·)在R上是從∞到0的嚴(yán)格遞減的函數(shù)。根據(jù)定理2可得沒有獨(dú)立性假設(shè)下的條件似然函數(shù)

3 結(jié)論

本文考察了帶趨勢(shì)的二元面板模型估計(jì)問題。對(duì)于非線性模型，差分方法已經(jīng)不再適用。但是由于固定效應(yīng)模型中固定效應(yīng)參數(shù)會(huì)隨著個(gè)體樣本增加而增加，從而利用極大似然估計(jì)會(huì)出現(xiàn) “意外參數(shù)問題 （incidental parameters prob-lem）”。為此，本文第二部分在隨機(jī)沖擊獨(dú)立并且其分布是Logistic分布的假設(shè)下，證明了對(duì)個(gè)體固定效應(yīng)和趨勢(shì)項(xiàng)系數(shù)是充分的。利用這個(gè)結(jié)果寫出了相應(yīng)的條件似然函數(shù)（2）。但是這兩個(gè)假設(shè)太強(qiáng)，本文第三部分放松了這兩個(gè)假設(shè)，并且得到了對(duì)個(gè)體固定效應(yīng)和趨勢(shì)項(xiàng)系數(shù)仍是充分的充要條件。據(jù)此我們可得到在沒有這兩個(gè)假定的情況下的半?yún)?shù)估計(jì)式（4）。

對(duì)本文的一個(gè)直接推廣是解釋變量不一定要求是線性組合形式xtβ，一般的形式為ft(xt,β)。這樣我們的結(jié)果就是非線性函數(shù)的差分。如果Matzkin(1992)中條件被滿足，ft(xt,β)甚至可以部分未知的。

一個(gè)比較困難的問題是帶趨勢(shì)的三期二元面板模型。本文的充分性對(duì)三期面板是不適用的。因?yàn)樵诔浞中缘拿總€(gè)可能取值條件下，yt的值都是確定的，從而條件似然函數(shù)都與個(gè)體固定效應(yīng)和趨勢(shì)項(xiàng)系數(shù)無關(guān)。考慮三期的一個(gè)明顯優(yōu)點(diǎn)是我們可以將一個(gè)四期轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三期，從而可能增加信息度，提高有效性。

更困難可能是將這個(gè)方法推廣到其他模型中去，比如Poisson模型，動(dòng)態(tài)模型(Honore和 Kyriazidou，2000)以及 Tobit類模型估計(jì)。

[1]Arellano,M.,B.E.Honore.Panel Data Models:Some Recent Developments[A].In Handbook of Econometrics,Vol.5,ed.By E.Leamer and J.J.Hechman[Z].Amsterdam:NorthHolland,2001.

[2]Chamberlain,G.Analysis of Covariance with Qualitative Data,the Review of Economic Studies,Vol.47,No.1[J].Econometrics Issue，1980,（1）.

[3]Honore,B.E.,E.Kyriazidou PanelDataDiscreteChoiceModels with Lagged Dependent Variables[J].Econometrica,2000,70.

[4]Matzkin,R.Nonparametric and Distribution-Free Estimation of the Binary Threshold Crossing and The Binary Choice Models[J].E-conometrica，1992，（60）.

[5]Baltige,B.H.Econometric Analysis of Panel Data(3rdedition)[M].Chichester:John Windy&Sons Press,2005.

[6]Magnac,T.Panel Binary Variables and Sufficiency:Generalizing Conditional Logit[J].Econometrica,2004，6（72）.

[7]Manski,C.F.Identification of Binary Response Models[J].Journal of the American Statistical Association,1988，（83）.