馬國(guó)順，行曉妮，劉文文

（1.西北師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院，蘭州 730070；2.蘭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 730000）

0 引言

市場(chǎng)結(jié)構(gòu)中的重要形式之一的寡頭壟斷，由于其產(chǎn)量和價(jià)格的決策對(duì)整個(gè)市場(chǎng)和其他競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手均會(huì)產(chǎn)生重要影響，并在不完全信息下這些策略行為變得相當(dāng)復(fù)雜，而作為經(jīng)濟(jì)學(xué)企業(yè)理論中研究寡頭市場(chǎng)的一個(gè)經(jīng)典雙寡頭模型[1]，即兩企業(yè)相互競(jìng)爭(zhēng)的模型，自1838年由法國(guó)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)熘Z特提出后，受到經(jīng)濟(jì)學(xué)界的廣泛關(guān)注，因此學(xué)術(shù)界對(duì)庫(kù)諾特模型進(jìn)行了廣泛研究。如文獻(xiàn)[2]比較了信息對(duì)稱與信息不對(duì)稱條件下兩企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量；文獻(xiàn)[3]構(gòu)建了市場(chǎng)不同逆需求函數(shù)及企業(yè)不同生產(chǎn)成本下的庫(kù)諾特模型；文獻(xiàn)[4]建立了不同生產(chǎn)成本下的動(dòng)態(tài)庫(kù)諾特模型，并分析了其對(duì)均衡產(chǎn)量和均衡利潤(rùn)的影響。但這些研究都集中在固定成本和其中一個(gè)企業(yè)有不變成本的基礎(chǔ)上，本文通過(guò)引入兩企業(yè)成本類型的預(yù)測(cè)概率建立了靜態(tài)庫(kù)諾特模型，分析了其在信息對(duì)稱和信息不對(duì)稱條件下的關(guān)系以及對(duì)均衡產(chǎn)量的影響，從而得出一些具有價(jià)值性的結(jié)論。

1 庫(kù)諾特模型的建立

1.1 庫(kù)諾特模型

庫(kù)諾特模型的經(jīng)典表述為:在一個(gè)市場(chǎng)中有兩個(gè)寡頭企業(yè)，分別為企業(yè)1和企業(yè)2，兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同種質(zhì)量的商品，產(chǎn)量分別是q1和q2，市場(chǎng)中該商品的供給為Q=q1+q2，市場(chǎng)出清時(shí)的價(jià)格為a其中， 為需求函數(shù)的參數(shù)。兩個(gè)企業(yè)的邊際成本為C。由此，Eric Rasmusen指出:兩寡頭企業(yè)博弈是非合作的，都根據(jù)各自利潤(rùn)最大化的一階條件生成的反應(yīng)函數(shù)來(lái)決策，形成帕累托最優(yōu)均衡[5]。

本文假定：

（1）兩家寡頭企業(yè)都有不變的單位成本C，但企業(yè)1的單位成本對(duì)于企業(yè)2來(lái)說(shuō)是不確定的，可能是新成本C1N，也可能是舊成本C1O；企業(yè)2的單位成本對(duì)于企業(yè)1來(lái)說(shuō)也是不確定的，可能是高成本C2H，也可能是低成本均為常數(shù))。

（2）企業(yè)1能夠根據(jù)從市場(chǎng)中搜尋的信息判斷企業(yè)2屬于高成本類型的概率為λ，屬于低成本類型的概率為1-λ；企業(yè)2根據(jù)從市場(chǎng)中搜尋的信息判斷企業(yè)1屬于新成本類型的概率為μ，屬于舊成本類型的概率為1-μ。

（3）兩個(gè)企業(yè)的行動(dòng)空間分別為 A1=[0，（a-c）/2]，A2=[0，（a-c）/2]。

1.2 庫(kù)諾特模型的建立

在上面的假設(shè)下，企業(yè)1的收益函數(shù)有以下4種表述形式：

類似的，企業(yè)2的收益函數(shù)也有以下4種表述形式：

由于企業(yè)1并不知道企業(yè)2的確切成本，只知道企業(yè)2成本存在的概率，因此企業(yè)1的收益只能用期望收益來(lái)表示：

在新成本下：

在舊成本下：

由最優(yōu)化的一階條件:?u1/?q1=0可知:企業(yè)1在新成本下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為：

企業(yè)1在舊成本下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為:

同樣，企業(yè)2的收益也只能用期望收益來(lái)表示：

在高成本情況下：

在低成本情況下：

由最優(yōu)化的一階條件:?u2/?q2=0可知，企業(yè)2在高成本下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為:

企業(yè)2在低成本下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為:

(1)，(2)，(3)，(4)式便構(gòu)成了兩企業(yè)成本不確定情況下的靜態(tài)庫(kù)諾特模型。

均衡意味著兩個(gè)企業(yè)的四個(gè)反應(yīng)函數(shù)同時(shí)成立，解得貝葉斯均衡為：

2 靜態(tài)庫(kù)諾特模型均衡分析

我們假設(shè) c2L＜c1O＜c1N＜c2H，以下對(duì)構(gòu)建的模型進(jìn)行分析。

2.1 完全信息和不完全信息靜態(tài)庫(kù)諾特模型均衡產(chǎn)量分析

(1)當(dāng)c1N=c1O=c，c2H=c2L=c時(shí)，即企業(yè)1和企業(yè) 2有相同的不變成本，這就是完全信息靜態(tài)庫(kù)諾特模型，由(5)，(6)，(7)，(8)產(chǎn)生的納什均衡為:q1*=q2*=a-c/3。

(2)當(dāng) c1N=c1O=c1，c2H=c2L=c2時(shí)，即企業(yè) 1和企業(yè) 2分別有固定的單位成本但不相同，這時(shí)模型仍然是完全信息靜態(tài)博弈，由上式產(chǎn)生的納什均衡為:q1*=a-2c1+c2/3，q2*=a+c1-2c2/3。

(3)當(dāng) 0＜μ＜1，也就是出現(xiàn)不完全信息時(shí)，q1*(c1N)-q1*(c1O)=c1O-c1N/2＜0，這表明，在不完全信息情況下，屬于舊成本類型的企業(yè)1的均衡產(chǎn)量q1*(c1O)大于屬于新成本類型的企業(yè)1的均衡產(chǎn)量q1*(c1N)；對(duì)企業(yè)2也可以做類似分析。

(4)企業(yè)1均衡產(chǎn)量的分析

這表明不論企業(yè)1是新成本還是舊成本，均衡產(chǎn)量隨著μ的增大而減小，隨著λ的增大而增大。

①若企業(yè)1是用c1N生產(chǎn)的，當(dāng)它知道企業(yè)2是用c2N生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1H(c1N)=a-2c1N+c2H/3；當(dāng)它知道企業(yè)2用c2L生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1L(c1N)=a-2c1N+c2L/3，（下標(biāo)表示企業(yè)2在用高成本或低成本生產(chǎn)時(shí)企業(yè)1的均衡產(chǎn)量）。 由于 0＜λ＜1，總有 c2L＜λ·c2H+(1-λ)·c2L＜c2H，將上面兩個(gè)均衡產(chǎn)量與 q1*(c1N)比較，則有 a-2c1N+c2L/3＜a-2c1N+λ·c2N+(1-λ)·c2L/3＜a-2c1N+c2H/3， 該不等式給出了企業(yè) 1 用 c1N生產(chǎn)時(shí)，完全信息和不完全信息條件下其均衡產(chǎn)量之間的關(guān)系。

②若企業(yè)1是用c2O生產(chǎn)的，當(dāng)它知道企業(yè)2是用c2H生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1H(c1O)=a-2c1O+c2H/3，當(dāng)它知道企業(yè)2用c2L生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量為q*1L(c1O)=a-2c1O+c2L/3，由于 0＜λ＜1，總有 c2L＜λ·c2H+(1-λ)·c2L＜c2H，將上面兩個(gè)均衡產(chǎn)量與q1*(c1O)比較，則有：

a-2c1O+c2L/3＜a-2c1O+λ·c2H+(1-λ)·c2L/3＜a-2c1O+c2H/3

該不等式給出了企業(yè)1用c1O生產(chǎn)時(shí)，完全信息和不完全信息條件下其均衡產(chǎn)量之間的關(guān)系。

對(duì)企業(yè)2也可以做類似分析。

(5)兩企業(yè)均衡產(chǎn)量的比較分析

①企業(yè)2為高成本類型時(shí)：

②企業(yè)2為低成本類型時(shí)：

這說(shuō)明，無(wú)論企業(yè)1為哪種成本，當(dāng)它獲得企業(yè)2為高成本的信息量相對(duì)于對(duì)方獲取自己信息量越大時(shí)，企業(yè)1的均衡產(chǎn)量越大，當(dāng)對(duì)信息量的預(yù)測(cè)超過(guò)一定程度時(shí)，企業(yè)1的產(chǎn)量高于企業(yè)2的產(chǎn)量。

對(duì)企業(yè)2可以做類似的分析。

2.2 完全信息條件下的納什均衡和不完全信息條件下的貝葉斯均衡比較

更具體的， 我們不妨取 a=10，c1N=5，c1O=4，λ=1/2，c2H=6，c2L=3，μ=2/3，由此可得貝葉斯均衡為:q1*(5)=14/9，q2*(4)=37/18，q2*(6)=41/36，q2*(3)=95/36 即 q2*(6)＜q1*(5)＜q1*(4)＜q1*(3)，這說(shuō)明，在市場(chǎng)逆需求函數(shù)a=P-Q的條件下，該均衡反映了一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，成本越高，均衡產(chǎn)量越低。

下面比較不完全信息條件下的貝葉斯均衡和完全信息條件下的納什均衡：

(1)企業(yè)1用新成本c1N生產(chǎn)

當(dāng)企業(yè)1知道企業(yè)2用高成本c2N生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)為：

當(dāng)企業(yè)2知道企業(yè)1用新成本生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為：

當(dāng)企業(yè)1知道企業(yè)2用低成本c2L生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)為：

當(dāng)企業(yè)2知道企業(yè)1用新成本c2N生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為：

(2)企業(yè)1用舊成本c1O生產(chǎn)

當(dāng)企業(yè)1知道企業(yè)2用高成本c2H生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)為：

q1*(c1O)=[a-q2*(c2N)-c1O]/2=[6-q2*(c2N)]/2

當(dāng)企業(yè)2知道企業(yè)1用舊成本生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為：

當(dāng)企業(yè)1知道企業(yè)2用低成本c2L生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)為：

當(dāng)企業(yè)2知道企業(yè)1用舊成本c1O生產(chǎn)時(shí)，企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為：

也就是說(shuō)，與完全信息相比，在不完全信息情況下，對(duì)于企業(yè)2，不論對(duì)方的成本如何，高成本企業(yè)的產(chǎn)量相對(duì)較多，低成本企業(yè)的產(chǎn)量相對(duì)較低；而對(duì)于企業(yè)1來(lái)說(shuō)，不論自己是新成本還是舊成本，當(dāng)企業(yè)2為高成本時(shí)，企業(yè)1的產(chǎn)量相對(duì)較低，當(dāng)企業(yè)2為低成本時(shí)，企業(yè)1的產(chǎn)量相對(duì)較高。導(dǎo)致該結(jié)果的原因是，當(dāng)企業(yè)1不知道企業(yè)2的成本時(shí)，只能生產(chǎn)預(yù)期的最優(yōu)產(chǎn)量，高于完全信息下對(duì)低成本競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)量，低于完全信息下對(duì)高成本競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)量，企業(yè)2對(duì)此作出反應(yīng)，同理，當(dāng)企業(yè)2不知道企業(yè)1的成本時(shí)，只能生產(chǎn)預(yù)期的最優(yōu)產(chǎn)量，高于完全信息下對(duì)舊成本競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)量，低于完全信息下對(duì)新成本競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)量，企業(yè)1對(duì)此作出反應(yīng)。

3 結(jié)論

(1)寡占市場(chǎng)中，企業(yè)雙方不論是哪種成本，隨著自己獲取對(duì)方信息愈多時(shí)，其均衡產(chǎn)量愈少，隨著自己被獲取的信息量愈大時(shí)，其均衡產(chǎn)量愈多；特別的，當(dāng)一方獲取對(duì)方的成本高于自己成本的信息量愈多時(shí)，它的產(chǎn)量愈多，當(dāng)預(yù)測(cè)的信息量超過(guò)一定程度時(shí)，它的均衡產(chǎn)量高于對(duì)方的產(chǎn)量。

(2)寡占市場(chǎng)中，企業(yè)雙方在不知道對(duì)方成本的情況下，均衡產(chǎn)量高于確知對(duì)方為低成本競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)量，低于確知對(duì)方為高成本競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)量。

(3)在市場(chǎng)逆需求函數(shù)a=P-Q的條件下，企業(yè)的成本越高，均衡產(chǎn)量越低。

[1]Gibbons Robert.A Primer in Game Theory[M].London:Harvester Wheatsheaf Publisher，1992.

[2]王禮剛，楊紅.完全信息與不完全信息下的古諾模型之比較[J].西北民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，26(4).

[3]張宇波，羅先覺(jué).寡占市場(chǎng)中動(dòng)態(tài)古諾模型的建立及穩(wěn)定性分析[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2003，23(11).

[4]周世軍，岳朝龍，嚴(yán)忠.不完全信息動(dòng)態(tài)庫(kù)諾特模型均衡分析[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，25(1).

[5]張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].上海:上海人民出版社，2004.