高正暉， 羅李平

(衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 湖南 衡陽 421008)

運(yùn)用Riccati變換和H函數(shù)方法，獲得了該方程解的振動(dòng)性的若干充分條件.

1 問題的引入

考慮一類含時(shí)滯與阻尼項(xiàng)的二階半線性微分方程

[r(t)|x′(t)|α-1x′(t)]′+p(t)|x′(t)|α-1x′(t)+
q(t)|x(σ(t))|α-1x(σ(t))=0 (t>T)，

(1)

定義方程(1)的一個(gè)非平凡解x(t)稱為是振動(dòng)的,如果它有任意大的零點(diǎn),否則x(t)稱為是非振動(dòng)的.

由于在核能物理，氣體動(dòng)力學(xué)和流體力學(xué)等方面有著廣泛應(yīng)用的Emden-Fowler方程

x″(t)+λ(t)|x(t)|α-1x(t)=0 (α>1)，

是一個(gè)半線性微分方程，基于半線性微分方程的實(shí)際應(yīng)用背景，吸引了許多學(xué)者的研究興趣. A. Elbert[1]首次提出了半線性微分方程的概念，并對(duì)半線性微分方程的初值問題解的存在唯一性及解在[0,+∞)上的拓展進(jìn)行了研究;隨后Horng Jaan Li and Cheh Chih Yeh[2]，Ravi P. Agarwal and S. R. Grace[3]，Arpad Elbert，Kusano Takasi and Tomoyuki Tanigawa[4]，Chen Wendeng and Yu Yuanhong[5]及文獻(xiàn)[6-7]等對(duì)二階半線性微分方程解的振動(dòng)性進(jìn)行了研究;Qigui Yang and Suisun Cheng[8]，陳目，徐志庭[9]等研究了具有阻尼項(xiàng)的半線性微分方程解的振動(dòng)性，獲得了若干判定準(zhǔn)則.而對(duì)具有時(shí)滯與阻尼項(xiàng)的二階半線性微分方程解的振動(dòng)性尚未見相關(guān)研究，本文的目的是運(yùn)用Riccati變換和H函數(shù)方法，給出方程(1)解的振動(dòng)性的若干判定準(zhǔn)則.

引理[10]如果X,Y是非負(fù)數(shù),那么

Xq+(q-1)Yq≥qXYq-1(q>1)，

其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)X=Y.

2 主要結(jié)果

令D0={(t,s)|t>s≥t0},D={(t,s)|t≥s≥t0}.

定理假設(shè)存在函數(shù)H(t,s)∈C1(D,R),h(t,s)∈C(D0,R)和ρ(t)∈C1([T,+∞),(0,+∞)),使得

①H(t,t)=0,H(t,s)>0;

則方程(1)振動(dòng).

下證x′(t)≥0. 若不然, 對(duì)T≥t2,當(dāng)t≥T時(shí),有x′(t)<0, 令u(t)=-r(t)|x′(t)|α-1x′(t)，則u(t)>0.

u′(t)=-(r(t)|x′(t)|α-1x′(t))′=p(t)|x′(t)·

則有

即

(2)

對(duì)方程(2)在[T,t]上積分,得

(3)

令t→+∞并結(jié)合條件(H1),有

這與x(t)>0矛盾, 所以x′(t)>0,因此有x″(t)≤0. 從而x′(t)≤x′(σ(t)).

作Riccati變換

則w(t)≥0.

因此,得

ρ(t)q(t)≤-w′(t)+

(4)

將方程(4)的t換為s并兩邊同乘H(t,s),在[T,t]上關(guān)于s積分,得

(5)

令

由引理,可得

(6)

由方程(5)(6)可知

(7)

對(duì)方程(7)兩邊同除H(t,T)并令t→+∞有

這與條件(H2)矛盾. 定理得證.