司文藝,　侯成敏

(延邊大學 數(shù)學系， 吉林 延吉　133002)

1　問題的提出

定義R為所有實數(shù)的集合,N為所有整數(shù)的集合. 對任意a∈R，令N(a)={a,a+1,…,}. 對任意x,τ∈R,r∈R(1)，令N(x-rτ,x)={x-rτ,x-(r-1)τ,…，x}.

考慮具有連續(xù)變量的脈沖偏差分方程

(1)

Ω0={(x,y)|x≥x0-rτ,y≥y0-
(l+1)τ}{(x,y)|x≥x0,y≥y0}.

定義1. 對于給定的x0≥0,y0≥0和φ∈φ(x0,y0),如果實值函數(shù)A(x,y)定義在[x0-rτ,∞)×[y0-(l+1)τ,∞)上，并且滿足方程(1)和初值條件

A(x,y)=φ(x,y),(x,y)∈Ω0,

(2)

則稱A(x,y)是方程(1)的一個解.

對給定的x0≥0,y0≥0和φ∈φ(x0,y0)，通過遞推方法可知，方程(1)的解存在且唯一.

定義2. 如果方程(1)的解既不是最終正解也不是最終負解，則稱它是振動的；否則，稱它是非振動的.

當{xk}=?，即{xk}是空集時，方程(1)可以化簡為偏差分方程

A(x+τ,y)+A(x,y+τ)-A(x,y)+p(x,y)·
A(x-rτ,y-lτ)=0,x≥x0,y≥y0-τ.

(3)

具有連續(xù)變量的非脈沖偏差分方程的振動性已經(jīng)被很多學者所研究，例如，參看文獻[1-4]. 然而，目前，對具有連續(xù)變量的脈沖時滯差分方程的研究卻很少. 如果存在正整數(shù)序列{mk}，使得當k→∞時，mk→∞，bmk≤-1，那么方程(1)的所有解都是振動的. 因此，我們總假設對任意k∈N(1)，有bk>-1.

2　主要結(jié)果

在本文，為了方便我們令

下面的定理給出了方程(1)的解是振動的充分條件.

定理1. 假設

(4)

(5)

則方程(1)的所有解都是振動的.

證明. 如若不然，不妨假設存在方程(1)的最終正解A(x,y). 不失一般性，假設對x≥x0-rτ,y≥y0-(l+1)τ，有A(x,y)>0. 令

(6)

由方程(1)得,

且

因此

(7)

(8)

(9)

根據(jù)方程(7)、(8)、(9)，可得

利用算數(shù)平均值和幾何平均值的不等式，可以得到

由方程(1)知，

運用不等式

我們得到

由方程(5)，選取常數(shù)θ>1和X0,Y0>0，使得

(1+bk)-1>θ>1,x>X0,y>Y0.

因此

w(x,y)≥θmin{w(i,j)|(i,j)∈
N(x-rτ,x)N(y-lτ,y-τ)},x>X0,y>Y0.

(10)

故可以選取常數(shù)a>0和X1,Y1>0，使得對x>X1,y>Y1，有

因此，對任意x>X1，y>Y1存在實數(shù)x*,y*，使得

或

所以

或

w(sk,tk)=min{w(x,y)|(x,y)∈
N(x0,sk)N(y0-τ,tk)}.

推論1. 假設

則方程(1)的所有解都是振動的.

推論2. 假設

則方程(1)的所有解都是振動的.

推論3. 假設

則方程(3)的所有解都是振動的.

例子. 考慮方程

根據(jù)推論1可知，此方程的所有解都是振動的.