張 萊,陸桂華

(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院,江蘇南京 210098)

巖體損傷的宏觀和細(xì)觀研究均表明,由局部應(yīng)力集中或局部變形不協(xié)調(diào)引起的損傷局部化是節(jié)理巖體損傷的一個(gè)重要特征[1-4].很多學(xué)者對(duì)損傷局部化進(jìn)行了研究:周小平等[5]研究微裂紋方位角為Weibull分布和微裂紋長(zhǎng)度的分布密度函數(shù)為Rayleigh函數(shù)時(shí)對(duì)損傷局部化影響;劉元高等[6]采用概率統(tǒng)計(jì)方法分析節(jié)理裂隙巖體的幾何特征,定義了反映節(jié)理裂隙巖體幾何特征的組構(gòu)張量;趙吉東等[7]提出一種包含應(yīng)變梯度項(xiàng)的損傷力學(xué)模型,并將其應(yīng)用于材料的局部化損傷模擬預(yù)測(cè)中.基于幾何特征統(tǒng)計(jì)的損傷張量難以描述節(jié)理巖體損傷局部化現(xiàn)象[8],因此亟須建立一種基于應(yīng)力或應(yīng)變等力學(xué)參量的損傷張量來(lái)描述這種損傷局部化現(xiàn)象.本文基于材料的應(yīng)變狀態(tài)建立損傷張量,并根據(jù)彈脆性本構(gòu)關(guān)系和相應(yīng)的屈服準(zhǔn)則推導(dǎo)損傷演化方程,以研究巖石材料的損傷效應(yīng).

1 一維損傷變量及損傷演化方程

引入Lemaitre損傷變量

式中:D——一維損傷變量;ε——軸向應(yīng)變;εc——包含殘余應(yīng)變的容許值;n——表征材料脆性的參數(shù),n越大,材料脆性越強(qiáng).

觀察損傷張量的定義,損傷狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)相關(guān),損傷的演化取決于應(yīng)變狀態(tài)的變化,應(yīng)變狀態(tài)的變化又與損傷狀態(tài)有關(guān).一維狀態(tài)的損傷演化方程可以在主應(yīng)力空間擴(kuò)展到三維.如圖1所示,εc為當(dāng)n→∞時(shí)的彈性應(yīng)變上界值,包括破壞前應(yīng)變和破壞后的殘余應(yīng)變.

對(duì)于脆性巖石材料而言,在裂紋尖端的局部區(qū)域內(nèi),可能不會(huì)出現(xiàn)塑性屈服,而是脆性破壞后的微小碎末區(qū)域包含在未破壞的完整巖石之中.因此在描述損傷演化的時(shí)候不能認(rèn)為巖石破壞后仍然具有承載的能力,殘余應(yīng)變也就無(wú)從談起.式(1)的εc應(yīng)當(dāng)去除殘余應(yīng)變.去除殘余應(yīng)變后的殘余應(yīng)變?nèi)菰S值就等于峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變.因此,采用最大拉應(yīng)變準(zhǔn)則來(lái)判定材料是否破壞是合適的.

圖1 損傷材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系[9]Fig.1 Relationship between stress and strain for damaged materials[9]

臨界狀態(tài)為

式中:ε——應(yīng)變分量;εc——容許拉應(yīng)變.當(dāng)ε=εc時(shí),材料破壞.εc取單軸拉伸試驗(yàn)的極限破壞應(yīng)變.

2 三維損傷變量及演化方程

試驗(yàn)表明,混凝土材料在單軸壓縮時(shí)的損傷是張應(yīng)力引起的,損傷方向與載荷方向正交,這表明混凝土的損傷是各向異性或正交各向異性的[10].堅(jiān)硬巖石材料與混凝土材料性質(zhì)相似,可以認(rèn)為巖石材料的損傷是正交各向異性的.在主應(yīng)力空間,假定應(yīng)力主軸、應(yīng)變主軸和損傷主軸互相重合.材料初始狀態(tài)是各向同性線彈性體,損傷后表現(xiàn)出正交各向異性性質(zhì).在此假定下,損傷張量D和應(yīng)力張量σ均為二階張量.設(shè)3個(gè)主損傷分量為D1,D2,D3,則根據(jù)熱力學(xué)第二定律、一維損傷的定義式(1),(2)及損傷變量的物理意義,有

式中ν為泊松比.

在單軸壓縮狀態(tài)(σ1＞0,σ2=σ3=0),有 ε1＞0,ε2=ε3=ε′,ε′＜0,則式(3)變?yōu)?/p>

從巖石試件的單軸壓縮試驗(yàn)觀察到,試件破壞的方向大體與壓應(yīng)力方向一致.這與式(4)D1＜D2=D3相符.另外,按式(4)σ3方向也有損傷.這是因?yàn)楫?dāng)微裂紋出現(xiàn)后,微裂紋的方向并不完全是破壞時(shí)的宏觀裂紋方向,初始微裂紋的方向存在一定的隨機(jī)性,這也正是D1的含義.在數(shù)量上,D1遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于D2和D3.這從圖2D1和D2的敏感性曲線可明顯看到.

圖2 D1與D2的敏感性曲線Fig.2 Sensitivity curves for D1and D2

3 彈脆性材料損傷本構(gòu)方程

無(wú)損狀態(tài)下柔度矩陣為

式中λ,G為拉梅常數(shù)和剪切模量:

因此在主應(yīng)力方向上有

根據(jù)Sidoroff提出的能量等價(jià)原理[11],對(duì)損傷材料,柔度張量?Eij為

式中Eij為無(wú)損彈性張量.考慮式(5)及式(6),得

則由廣義虎克定律及式(7)推出彈脆性損傷材料的本構(gòu)關(guān)系為

式中:σ1,σ2,σ3——3 個(gè)主應(yīng)力分量;ε1,ε2,ε3——主應(yīng)變分量;D1,D2,D3— —相應(yīng)于 3 個(gè)主應(yīng)力方向的損傷分量;E——彈性模量.因?yàn)镈1≠D2≠D3,因此共5個(gè)獨(dú)立變量.

4 計(jì)算實(shí)例

在PowerStationV4.0平臺(tái)上編制了水力劈裂有限元程序的力學(xué)模塊FEM3_Damage.f 90.選用的計(jì)算實(shí)例模型尺寸為S×W×B=40cm×10cm×5cm的混凝土三點(diǎn)彎曲梁[12],在上側(cè)中點(diǎn)處作用一集中力P,計(jì)算簡(jiǎn)圖與網(wǎng)格剖分見圖3.有關(guān)的力學(xué)參數(shù)如下:D0=0.048,E0=32.7GPa,ν=0.167,n=25.

圖3 三點(diǎn)彎曲梁及網(wǎng)格Fig.3 Three-point bending beams and grids

模型共劃分220個(gè)單元,506個(gè)節(jié)點(diǎn).在兩端下角點(diǎn)鉸接約束.施加載荷P=6.25kN,分25個(gè)載荷步,逐漸加載.荷載步選為0.25kN,即 ΔP=0.25kN.P=2.75kN(第 11步),P=4.0kN(第16步)和P=6.0kN(第24步)時(shí)水平方向的應(yīng)力場(chǎng)見圖4.圖5為在ANSYSR5.5平臺(tái)計(jì)算得到的不考慮損傷時(shí)的彈性水平應(yīng)力場(chǎng)(加載P=6.25kN).

為驗(yàn)證損傷模型,取文獻(xiàn)[9]的損傷模型(演化方程),編入同一計(jì)算程序,同時(shí)計(jì)算,并考察計(jì)算結(jié)果,以作比較.

圖4(b)與(e)相比可見,在P=4.0kN時(shí)在梁的底部,圖4(e)的水平應(yīng)力已出現(xiàn)不連續(xù),說(shuō)明本文模型在計(jì)算中出現(xiàn)損傷要遲于文獻(xiàn)[9]的模型.而一旦損傷出現(xiàn),便很快破壞.水平應(yīng)力的不連續(xù)性,是受損傷產(chǎn)生的裂縫的影響.從圖4兩個(gè)模型的比較可見,在載荷較小時(shí),本文模型的極限水平應(yīng)力與文獻(xiàn)[9]模型相當(dāng)(圖4(a)與(d)),并隨著載荷的增加,極限應(yīng)力水平從略小于文獻(xiàn)[9]模型(圖4(b)與(e))到差別有增大的趨勢(shì)(圖4(c)與(f)).這意味著本文模型有更快的損傷演化速度,這正是脆性巖石的性質(zhì).

圖6表示損傷出現(xiàn)在梁下部受拉區(qū)域,說(shuō)明遵循最大拉應(yīng)變破壞準(zhǔn)則的損傷變量能夠比較準(zhǔn)確地描述3點(diǎn)彎曲梁損傷發(fā)展的狀態(tài).梁端的損傷是因?yàn)榭紤]3個(gè)方向應(yīng)變的損傷演化方程,應(yīng)變分量對(duì)損傷變量具有交叉貢獻(xiàn).

圖7為文獻(xiàn)[9]模型和本文模型計(jì)算得到的梁縱向位移的曲線,可見本文模型縱向位移略大.這與圖4(c)與(f)最大水平應(yīng)力的比較是一致的.本文模型計(jì)算得到的損傷要大于文獻(xiàn)[9]的損傷,導(dǎo)致梁的剛度較小,因此撓度較大.但是差別值很小,2個(gè)模型計(jì)算結(jié)果是接近的.

圖4 各載荷步水平向應(yīng)力等值線(單位:kPa)Fig.4 Contours of horizontal stress for various loading steps

圖5 不考慮損傷的水平向應(yīng)力(用ANSYSR5.5計(jì)算,單位:kPa)Fig.5 Horizontal stress without consideration of damage(calculated by ANSYSR 5.5)

圖6 第22步(P=5.5kN)時(shí)的損傷變量Fig.6 Damage variables at 22ndstep(P=5.5kN)

5 結(jié) 論

巖石的破壞,單就力學(xué)效應(yīng)來(lái)講,是巖石受力超過(guò)其所能承受的最大值,巖石破裂.巖石破裂的直接原因是應(yīng)變超過(guò)極限值,巖石內(nèi)部從局部開始產(chǎn)生微裂紋.微裂紋的擴(kuò)展和相互連通使得損傷增強(qiáng),并且進(jìn)一步增強(qiáng)損傷的局部化,直至形成宏觀裂紋,最終導(dǎo)致巖石破壞.

但是,當(dāng)巖石被作為均勻介質(zhì)時(shí),基于統(tǒng)計(jì)方法的損傷力學(xué)很難真實(shí)描述巖石損傷的局部化現(xiàn)象.本文基于應(yīng)變的損傷變量與有關(guān)模型的相關(guān)損傷模型比較,損傷的發(fā)展越快,也就越適合于描述巖石的脆性性質(zhì).

圖7 三點(diǎn)彎曲梁撓度的比較Fig.7 Comparison among of deflections of three-points bending beams

巖石損傷的最后結(jié)果是巖石斷裂破壞,基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)體系的損傷力學(xué)還不能準(zhǔn)確描述巖石的斷裂過(guò)程以及斷裂狀態(tài).將損傷和斷裂理論相結(jié)合來(lái)研究巖石的破壞過(guò)程還有待于深入研究,損傷因子和斷裂指標(biāo)的結(jié)合以及由損傷到斷裂的物理機(jī)制是斷裂損傷聯(lián)合研究的重點(diǎn),也是難點(diǎn).

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