蘇 超,孫 蓓

(河海大學水利水電學院,江蘇南京 210098)

國內(nèi)以往拱壩優(yōu)化設(shè)計研究主要以工程應(yīng)用為主[1-2],針對給定的多種體型進行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計[3],尚處于形狀優(yōu)化階段,對拱壩的結(jié)構(gòu)布局并沒有較先進的系統(tǒng)理論支持.結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化屬于布局優(yōu)化[4],是結(jié)構(gòu)優(yōu)化中較難的一個層次.與傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計不同,拓撲優(yōu)化不需要給出目標函數(shù)、狀態(tài)變量和設(shè)計變量等參數(shù)優(yōu)化變量,而只要給出結(jié)構(gòu)的材料特性、模型、荷載等,其優(yōu)化的潛力更巨大,更富挑戰(zhàn)性.以連續(xù)體為初始結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化,由于較少依賴對分析對象的已有知識,方法更具一般性,受到愈來愈廣泛的重視.運用拓撲優(yōu)化進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計,是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的發(fā)展趨勢.本文應(yīng)用三維拓撲優(yōu)化理論并結(jié)合高拱壩結(jié)構(gòu)特點,嘗試對高拱壩三維空間結(jié)構(gòu)進行建模和優(yōu)化設(shè)計.

1 基本理論和條件

1.1 拓撲優(yōu)化均勻化方法

拓撲優(yōu)化基于有限元法[5-6](FEM),均勻化方法[4,7-8]就是在傳統(tǒng)FEM基礎(chǔ)上,將整個設(shè)計空間假設(shè)成類似“氣孔分布”的微結(jié)構(gòu)單元(單胞),單胞在優(yōu)化開始前分布均勻,而且大小全部相同.在拓撲優(yōu)化過程中,單胞密度分布產(chǎn)生變化:密度在高負荷區(qū)域變大,在低負荷區(qū)域變小.優(yōu)化過程類似于自然的細胞結(jié)構(gòu),在優(yōu)化過程中形成一種承重結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)在高應(yīng)力區(qū)域氣孔“密集”,在低應(yīng)力區(qū)域氣孔密度較低.如果定義一個合理的密度最小值,然后剔除設(shè)計空間中低密度負荷區(qū)域,就將產(chǎn)生一個材料效應(yīng)最高的重量優(yōu)化承重結(jié)構(gòu).

以微結(jié)構(gòu)單胞的幾何尺寸及方位角為設(shè)計變量,通過某種優(yōu)化算法,確定結(jié)構(gòu)的某種性能指標達到最優(yōu)設(shè)計時設(shè)計區(qū)域各處的材料密度分布,從而可以確定最優(yōu)解.本文選用常用的準則法作為優(yōu)化算法配合結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化計算.

圖1給出了使用均勻化方法進行結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的流程.

圖1 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化流程Fig.1 Flow chart of structural topology optimization

拓撲優(yōu)化均勻化方法的數(shù)學模型[9]為

式中:a,b,θ——微結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù);ηi——微結(jié)構(gòu)單元單胞的密度;l(u),l(v)——結(jié)構(gòu)柔順度泛函;Ω——設(shè)計區(qū)域;fi——結(jié)構(gòu)所受到的節(jié)點等效體積力;ti——結(jié)構(gòu)所受到的節(jié)點等效邊界荷載;ui——節(jié)點位移;u——結(jié)構(gòu)位移;v——給定的位移場;U——結(jié)構(gòu)整體位移;αE(u,v)——結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能;E——結(jié)構(gòu)材料彈性張量;Ead——允許的結(jié)構(gòu)彈性張量集合;EHijkl——均勻化的復(fù)合材料彈性張量;V——結(jié)構(gòu)初始體積;V*——指定去除的材料的體積.

1.2 數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的處理

拓撲優(yōu)化常出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象[9-11]為棋盤格式、網(wǎng)格依賴性及局部極值現(xiàn)象.結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化等價于一個偏微分方程的反問題,由于其解的不適定性,使得結(jié)構(gòu)優(yōu)化后容易出現(xiàn)一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象——棋盤格式.而結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題的解雖然是不適定的,但其解之間卻存在一定的聯(lián)系,當采用不同的方式對積分方程進行離散化時,所得的數(shù)值解是不會穩(wěn)定的,而且常常是網(wǎng)格劃分越細,所得到的線性代數(shù)方程組的矩陣條件數(shù)越大,解就越不穩(wěn)定,因此又導(dǎo)致了網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象的出現(xiàn).除此之外,局部極值現(xiàn)象也常常使得拓撲計算很難得到全局最優(yōu)解.

拱壩受力條件復(fù)雜,有多種受力狀態(tài).雖然棋盤格式等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象出現(xiàn)的直接原因和結(jié)構(gòu)的受力沒有很大的關(guān)聯(lián),但事實證明,結(jié)構(gòu)的邊界條件越復(fù)雜,受力種類和形式越多,就會使數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象越明顯,對結(jié)構(gòu)的最終拓撲形式的影響也越大.為了避免出現(xiàn)優(yōu)化結(jié)果沒有實用價值的現(xiàn)象出現(xiàn),必須解決數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象問題.

本文采用濾波法同時處理棋盤格式和網(wǎng)格依賴性誤差的高通部分,采用多重網(wǎng)格法處理網(wǎng)格依賴性誤差的低通部分,即綜合使用多重網(wǎng)格法和濾波法解決網(wǎng)格依賴性問題,利用濾波半徑延拓方法一定程度上解決局部極值問題.

2 拱壩拓撲優(yōu)化算例

2.1 基本條件

某雙曲拱壩,壩高113m,上游承受109.2m的水頭,下游承受水頭為20m,上、下游水位落差為89.2m.坐標系采取笛卡兒坐標系,x軸從左岸指向右岸,y軸指向上游,z軸鉛直向上.壩體混凝土密度2400kg/m3,彈性模量24GPa,泊松比0.167.

拱壩基巖尺寸為沿壩體左、右岸各延伸約300m,深度也為300m.計算工況只取基本載荷組成(正常蓄水位以及自重).由于壩體上游面直接承受水荷載,若直接參與拓撲優(yōu)化,計算量過大且難以得到滿意的結(jié)果,因此,基巖部分和壩體上游面不參與拓撲優(yōu)化計算,壩體拱圈斷面上游曲線采用一般二次曲線.基巖密度2850kg/m3,彈性模量30GPa,泊松比0.25.水密度1000kg/m3.

圖2顯示了包含基巖和壩體的整體拱壩基結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格.由于模型較大,壩體部分比較模糊,為更加直觀,圖3單獨顯示壩體部分的有限元基結(jié)構(gòu).

體積刪除率選擇為40%,迭代20次.

按照SL 282—2003《混凝土拱壩設(shè)計規(guī)范》要求,拱壩整體結(jié)構(gòu)的強度條件設(shè)定為 σ1≤1.2MPa,σ3≥-9.0MPa.

圖2 拱壩基結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Basic structural model of arch dam

圖3 局部壩體基結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Basic structural model of local part of arch dam

2.2 拓撲優(yōu)化計算結(jié)果

圖4為拓撲優(yōu)化局部結(jié)果,結(jié)果顯示為保留單胞密度為0.6～1.0的單元.由于基巖部分不在優(yōu)化范圍內(nèi),圖4給出保留少部分基巖時,拱壩拓撲優(yōu)化結(jié)果.從圖4可以看出:拱壩從下游面開始,沿著壩體厚度方向,依照各結(jié)點單元荷載情況,逐步刪除應(yīng)力較小的單元,層層推進,趨勢十分明顯;整個拱壩由壩底向壩頂方向,逐漸變薄,拱壩壩體的下游為一曲面.

圖4 拓撲優(yōu)化局部結(jié)果Fig.4 Local results of topology optimization

3 拱壩擬合結(jié)果

拓撲優(yōu)化計算的結(jié)果并不適合直接在工程上應(yīng)用,必須對拱壩下游的曲面進行適當?shù)墓饣瑪M合,才能在工程上得以實現(xiàn).

對圖4所示的拱壩優(yōu)化結(jié)果進行下游面光滑擬合,得到的拱壩壩體有限元模型如圖5(a)所示.為清晰表示擬合結(jié)果,圖5(b)和圖5(c)分別給出壩高45m處水平拱圈及拱冠梁擬合結(jié)果.

圖5 經(jīng)擬合得到的拱壩結(jié)果Fig.5 Fitting results of arch dam

4 擬合結(jié)果應(yīng)力校核

對該擬合拱壩進行了應(yīng)力校核.校核結(jié)果表明,最大值為1.11MPa＜1.20MPa,第3主應(yīng)力最小值為-8.86MPa＞-9.00MPa,符合SL 282—2003《混凝土拱壩設(shè)計規(guī)范》要求.但是,在壩踵處存在應(yīng)力集中問題,需要引起重視并采取適當方式進行處理.

5 結(jié) 語

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化能在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計的初始階段為設(shè)計者提供一個概念性設(shè)計,使結(jié)構(gòu)在布局上取得較優(yōu)方案,與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比更具有一般性.本文對拱壩的基巖和荷載進行適當簡化,采用均勻化方法對其進行了結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化計算,這一嘗試取得了初步成功,所得的拱壩體型與常規(guī)認識基本一致,強度滿足應(yīng)力強度要求.但由于考慮的荷載作了相應(yīng)的簡化,沒有考慮溫度的影響,其實用性還需進一步研究.

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