王 莉, 張廣明, 周獻(xiàn)中

（1. 南京工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院, 南京 210009；2. 南京大學(xué) 工程管理學(xué)院, 南京 210093）

0 引言

在常規(guī)由地表水制取飲用水的工藝過程中，水中雜質(zhì)微粒的去除一般經(jīng)過以下工藝流程：凝聚、絮凝、沉淀以及過濾。經(jīng)過加藥混凝后，水中的微小顆粒在絮凝池內(nèi)形成易于在沉淀池中去除的絮體，經(jīng)過沉淀池之后水中絕大部分的懸浮物和絮體被去除，過濾可以進(jìn)一步去除懸浮物和絮體?？梢钥闯鏊幚磉^程是一個(gè)復(fù)雜的物理、化學(xué)過程。出水濁度是衡量水質(zhì)的重要質(zhì)量指標(biāo)，影響出水濁度的因素有很多，主要有源水濁度、流量和投藥量等。不同季節(jié)和年份的水質(zhì)存在一定的差異，特別是源水濁度變化較大；在每一天的正常運(yùn)行情況下，都會(huì)有幾個(gè)高峰用水期，源水流量有一定程度的變化[1,2]。基于上述分析，表明水處理過程具有非線性和時(shí)變的特點(diǎn)，目前很難通過對(duì)其反應(yīng)機(jī)理的研究，建立精確的數(shù)學(xué)模型，因此，本文提出了一種建立水處理過程模型的新方法。

本文采用基于改進(jìn)FCM聚類自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立水處理過程的模型。FCM聚類是一種迭代優(yōu)化來計(jì)算聚類中心，是一種適宜的模糊劃分算法，但是算法的性能依賴于初始聚類中心，聚類的數(shù)目也需要人為事先確定。減法聚類是一種用于估計(jì)一組數(shù)據(jù)中聚類個(gè)數(shù)和聚類中心的快速單次算法，但得到的聚類中心在原始數(shù)據(jù)點(diǎn)上，故精度不高。因此可以利用減法聚類確定FCM算法的初始聚類中心和聚類數(shù)目，從而加快FCM算法的收斂速度，減小陷入局部最優(yōu)的可能性。利用改進(jìn)的FCM算法對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類，實(shí)現(xiàn)輸入空間的模糊劃分，基于聚類的結(jié)果確定T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前件部分隸屬度函數(shù)初始值并抽取模糊規(guī)則。為了進(jìn)一步提高模型的精度，采用混合反向傳播（Back Progration, BP）和遞推最小二乘（Recursive Least Square, RLS）學(xué)習(xí)算法[3]對(duì)前件和后件網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。該方法利用改進(jìn)的FCM聚類確立模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)初值，減小了誤差反向傳播(Back Propagation, BP)算法陷入局部極小點(diǎn)的可能性，模型的精度較高，泛化能力也較好。

1 改進(jìn)的FCM聚類算法

1.1 FCM聚類[4,5]

FCM聚類算法已經(jīng)在模式識(shí)別、圖象處理、模糊建模等領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用，是目前應(yīng)用最廣泛的模糊聚類算法。

FCM聚類目標(biāo)函數(shù)為如下的形式：

其中m為影響隸屬度矩陣模糊化程度的指數(shù)權(quán)重，X=[xi]i=1,2,…n為樣本集合，n代表所含樣本數(shù)，c為聚類數(shù)目，uij表示第j個(gè)樣本屬于第i個(gè)聚類中心的程度，同時(shí)uij還必須滿足以下約束條件：

采用拉格朗日乘子法求解(1)式的極小化問題，可得聚類中心為

這里，根據(jù)聚類得到的隸屬度函數(shù)定義第k類聚類集合Vk：

Vk是由屬于第k個(gè)聚類中心vk程度最大的樣本集合組成。

FCM聚類是通過最小化目標(biāo)函數(shù)的迭代優(yōu)化來實(shí)現(xiàn)劃分，即先給出初始方案，通過式(3)和(4)反復(fù)迭代，使得目標(biāo)函數(shù)式(2)達(dá)到極小。

1.2 改進(jìn)的FCM聚類

從上面的計(jì)算過程中可以看出，F(xiàn)CM聚類采用梯度法求目標(biāo)函數(shù)的極值，得到的不一定是全局最優(yōu)解。FCM算法的聚類中心是隨機(jī)初始化的，而初始聚類中心的選擇嚴(yán)重影響著算法的性能，聚類數(shù)目也需要人為事先確定。減法聚類將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為可能的聚類中心，根據(jù)各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)周圍的數(shù)據(jù)點(diǎn)密度來計(jì)算該點(diǎn)作為聚類中心的可能性。減法聚類是一種用于估計(jì)一組數(shù)據(jù)中聚類個(gè)數(shù)以及聚類中心的快速單次算法[5]，因此可用利用減法聚類計(jì)算出FCM算法的初始聚類中心和聚類數(shù)目，從而加快FCM算法的收斂速度，減小陷入局部最優(yōu)解的可能性。綜上所述，改進(jìn)的FCM算法計(jì)算過程如下：

1）設(shè)置減法聚類半徑，利用減法聚類計(jì)算FCM算法初始的聚類中心

2）設(shè)置指數(shù)權(quán)重m和停止準(zhǔn)則ε，記迭代次數(shù)k=0；

5）令呂k=k+1，由3）,4）式計(jì)算聚類中心和隸屬度矩陣uij，轉(zhuǎn)至第4）步。

由于減法聚類將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為聚類中心的候選集，得到的聚類中心在數(shù)據(jù)點(diǎn)上，因此在計(jì)算uij(0)時(shí)會(huì)出現(xiàn)零除的現(xiàn)象，這里將dij(0)加上一個(gè)非常小的正數(shù)，使計(jì)算能夠繼續(xù)下去。

2 基于改進(jìn)FCM聚類的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

本文采用文獻(xiàn)[6]中提出的T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，T-S模型本質(zhì)是易于表達(dá)復(fù)雜非線性系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)模型，其模糊規(guī)則結(jié)論部分的隸屬度函數(shù)是線性函數(shù)或是常數(shù)，結(jié)論值是精確值，不需要再解模糊化，因而它在樣本建模經(jīng)常被使用。T-S模型的規(guī)則形式為：

其中A1j…Amj為輸入量的模糊子集，m為輸入變量個(gè)數(shù)，j=1,2,…,r，r為規(guī)則總數(shù)，pj0,pj1,…,pjm為需要調(diào)整的后件網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。

T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)[6,7]如圖1所示。

圖1 T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

由圖1可見，該結(jié)構(gòu)模型由前件網(wǎng)絡(luò)和后件網(wǎng)絡(luò)兩部分組成，前件網(wǎng)絡(luò)用來匹配模糊規(guī)則的前件，后件網(wǎng)絡(luò)用來產(chǎn)生模糊規(guī)則的后件。

前件網(wǎng)絡(luò)的隸屬度函數(shù)取常用的高斯型：

其中cij，σij為隸屬度函數(shù)參數(shù)，也即是待學(xué)習(xí)的前件參數(shù)。

對(duì)于某個(gè)給定的輸入x1,x2,…,xm，輸出y的計(jì)算如下：

其中μj表示每條規(guī)則的激勵(lì)強(qiáng)度。

前件參數(shù)初始值選取的不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度很慢，并可能產(chǎn)生局部最優(yōu)，因此本文采用改進(jìn)的FCM聚類將輸入－輸出數(shù)據(jù)對(duì)分成組，一組采用一條模糊規(guī)則，即模糊規(guī)則的數(shù)目等于聚類的數(shù)量。根據(jù)對(duì)輸入空間模糊劃分的結(jié)果，以聚類中心作為輸入變量隸屬度函數(shù)的中心：

隸屬度函數(shù)寬度 的選擇對(duì)于模型的泛化能力和精度有影響，過大則會(huì)降低模型的精度，過小則會(huì)模型的泛化能力。這里采用類內(nèi)樣本分散程度djiinner確定：

通過改進(jìn)的FCM聚類，建立了一個(gè)初始的T-S模型。為了進(jìn)一步提高模型的精度，本文采用BP算法調(diào)節(jié)前件網(wǎng)絡(luò)隸屬度函數(shù)的中心值cji，σij，前件參數(shù)調(diào)整后，固定前件參數(shù)，后件的連接權(quán)值pji用RLS算法辨識(shí)。重復(fù)上述步驟，直到滿足誤差要求或達(dá)到最大迭代次數(shù)為止。

3 仿真實(shí)例

本次實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)采自杭州蕭山某自來水廠，該水廠總的生產(chǎn)規(guī)模達(dá)到15萬噸/日，混凝劑采用精制固體硫酸鋁。根據(jù)工藝分析結(jié)合本廠的實(shí)際情況，最終確定模型的輸入量為：源水濁度、加藥量、源水流量，輸出量為出水濁度。選擇150組數(shù)據(jù)作為模型的訓(xùn)練樣本，采用另外的50組數(shù)據(jù)作為模型的檢驗(yàn)樣本。

變量的量綱不同對(duì)FCM聚類結(jié)果有影響，這里采用下面的方法[7]事先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

式中Xmax，Xmin, 分別為該項(xiàng)參數(shù)數(shù)據(jù)中的最大值、最小值，Xi*為歸一化后的數(shù)據(jù)。

這里為了說明改進(jìn)后FCM聚類的優(yōu)點(diǎn)，將其和FCM聚類進(jìn)行了比較。設(shè)定指數(shù)權(quán)重m=2，停止準(zhǔn)則ε=10?5，聚類數(shù)目為不同值時(shí)，兩種方法的比較結(jié)果如表1所示。

表1 聚類性能比較

從表中可以看出，改進(jìn)后的FCM聚類算法迭代次數(shù)較FCM聚類算法大大減少，收斂速度加快，目標(biāo)函數(shù)值也小些，說明改進(jìn)的FCM聚類算法求出的聚類中心位置更加合理。

采用上節(jié)中的基于改進(jìn)的FCM聚類自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立水處理過程的模型，設(shè)置最大訓(xùn)練次數(shù)為1000，聚類半徑為0.5，每個(gè)變量的論域被劃分成7個(gè)模糊子集，通過改進(jìn)的FCM聚類算法確立了初始的隸屬度，其分布依據(jù)聚類的結(jié)果，如圖2所示，能夠反映出數(shù)據(jù)在空間的分布特征。

圖2 初始隸屬度函數(shù)

通過BP和RLS混合學(xué)習(xí)算法對(duì)前件和后件網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，經(jīng)過學(xué)習(xí)之后最終得到的隸屬度分布如圖3所示?？梢钥闯鼋?jīng)過學(xué)習(xí)后隸屬度函數(shù)的中心和寬度都發(fā)生了變化。

圖3 調(diào)節(jié)后的隸屬度函數(shù)

最終得到的模糊模型規(guī)則如表2所示。其中x1，x2，x3表示模型的輸入量，分別為源水濁度，加藥量，源水流量，y表示模型的輸出量出水濁度。

將本文的方法和采用FCM聚類方法確定網(wǎng)絡(luò)前件參數(shù)初始值的方法進(jìn)行了比較。設(shè)置FCM聚類的數(shù)目也為7，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的均方根誤差RSME[7]和訓(xùn)練次數(shù)之間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 均方根誤差

FCM聚類算法隨機(jī)選擇初始中心，因此每次訓(xùn)練后RSME結(jié)果都不一樣，這里選擇了某一次的訓(xùn)練結(jié)果。采用本文方法第1步訓(xùn)練誤差比較小，收斂的速度也較快些，這是由于改進(jìn)后的FCM算法設(shè)置的隸屬度函數(shù)初值比較合理，最終訓(xùn)練誤差為0.05，F(xiàn)CM聚類方法最終訓(xùn)練誤差為0.0996。

建立好模型后，采用檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)本文方法建立的水處理過程模型進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖6 檢驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果

從圖5和6中可以看出，模型輸出和實(shí)際的數(shù)據(jù)之間相對(duì)誤差很小，絕大多數(shù)低于5%，平均相對(duì)誤差為3.03%。說明采用改進(jìn)的FCM聚類方法來辨識(shí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和前件網(wǎng)絡(luò)初始參數(shù)是可行的，最終建立的水處理過程模型精度較高，泛化能力較好。

4 結(jié)論

水處理過程具有非線性、大滯后、時(shí)變的特點(diǎn)，用傳統(tǒng)的建模方法很難建立其精確的數(shù)學(xué)模型。本文采用減法聚類確定FCM聚類的初始中心，減少了FCM聚類對(duì)初值的敏感性，保證了聚類中心的質(zhì)量。根據(jù)聚類的結(jié)果確定合理的T-S模糊模型前件參數(shù)的初始值，并且利用混合學(xué)習(xí)算法對(duì)前件和后件參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，進(jìn)一步提高模型的精度。將這種方法用于建立某自來水廠的水處理過程的模型，仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，該方法建立的水處理過程模型具有精度高、泛化能力好、收斂快和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。建立水處理過程精確的非線性模型也對(duì)進(jìn)一步設(shè)計(jì)水處理的自動(dòng)控制系統(tǒng)具有指導(dǎo)意義。

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