齊懷川 黃巧林 胡永力

(北京空間機電研究所,北京100076)

1 引言

空間相機指標(biāo)參數(shù)系統(tǒng)論證和優(yōu)化設(shè)計前,必須對成像系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的性能進(jìn)行預(yù)估,因此成像鏈路各個環(huán)節(jié)的建模和仿真是不可或缺的[1]。作為成像鏈路的核心,成像系統(tǒng)的性能指標(biāo)主要取決于光學(xué)子系統(tǒng)的性能,而在光學(xué)系統(tǒng)性能指標(biāo)中調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)是需要描述的最主要的參量[2]。理論上,衍射限MTF和出瞳端波像差二者共同決定了光學(xué)系統(tǒng)的MTF[3],其中衍射限所致MTF是衡量光學(xué)系統(tǒng)傳遞函數(shù)重要參量,體現(xiàn)了光學(xué)系統(tǒng)的極限性能,它可由光學(xué)系統(tǒng)光瞳函數(shù)計算得出。但是,實際空間相機的光學(xué)系統(tǒng)光瞳函數(shù)十分復(fù)雜,很難解析表出,這給系統(tǒng)性能預(yù)估增加了很多困難?，F(xiàn)今比較成熟的光學(xué)設(shè)計軟件雖然可以比較精確地預(yù)估光學(xué)系統(tǒng)的性能,但是這些軟件一般需要有確定的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計構(gòu)型。目前,在光學(xué)設(shè)計不成熟階段利用光學(xué)設(shè)計軟件無法針對性的開展性能預(yù)估的工作。因此,本文針對這一問題首先給出光學(xué)系統(tǒng)傳遞函數(shù)MTF的推導(dǎo),而后分析給出衍射限傳遞函數(shù)MTF的解析表達(dá)式,最終根據(jù)其特點通過數(shù)值計算的方法給出獲得光學(xué)系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)的方法,并計算了一些具備不同遮攔的光學(xué)系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)MTF。通過將計算結(jié)果同空間高性能光學(xué)小相機的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計軟件的計算值進(jìn)行比較,指標(biāo)基本符合,驗證了本方法的有效性。這種方法為鏈路分析當(dāng)中全鏈路精確建模和性能預(yù)估奠定了基礎(chǔ),為實際遙感器的總體論證提出了一種新的途徑。

2 空間相機光學(xué)系統(tǒng)的理想光學(xué)傳遞函數(shù)

理想光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也就是無像差的光學(xué)系統(tǒng)的衍射限光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)。由于光學(xué)系統(tǒng)入瞳的物理限制將產(chǎn)生衍射效應(yīng)這是不可避免的,根據(jù)空間相機成像特性,可將空間相機光學(xué)系統(tǒng)作如下結(jié)論:1)光學(xué)系統(tǒng)為非相干成像方式;2)光學(xué)系統(tǒng)對無窮遠(yuǎn)處成像,像面的位置在后焦平面上;3)光學(xué)系統(tǒng)所成物點光源入瞳處近似為平面波。由此空間相機光學(xué)系統(tǒng)的點擴(kuò)散函數(shù)可以表示為[4]

式中 運算符F表示傅里葉變換;*表示求取共軛;λ為光輻射的波長;f為光學(xué)系統(tǒng)焦距;u、ν為兩個方向的空間頻率;P(x,y)代表光瞳函數(shù),即

式中x,y表示光瞳面的空間坐標(biāo)。

由此可知OTF可以表示為[4]

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì),式(3)可以表示為

式中 ?為相關(guān)運算符,由此可以得出光學(xué)系統(tǒng)衍射限OTF與光瞳函數(shù)P(x,y)的關(guān)系。OTF可以表示成相關(guān)運算中兩錯開光瞳函數(shù)重疊區(qū)域面積與光瞳函數(shù)自身圍成面積之比,如圖1所示。由式(4)可知,當(dāng)光瞳函數(shù)重疊區(qū)域面積為零時H(u,ν)為零,即此時為截止頻率。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)主鏡為直徑等于D的圓型孔徑,焦距為 f,入射輻射波長為λ時,截止頻率滿足

圖1 光學(xué)傳遞函數(shù)求取示意圖

式中 fc表示徑向截止頻率,值得注意的是不考慮波前差的光學(xué)系統(tǒng)光瞳函數(shù)P(x,y)為實函數(shù),由此可知計算結(jié)果就是光學(xué)系統(tǒng)衍射限的MTF。

根據(jù)上述論述可以推導(dǎo)得出,當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)具有中心圓對稱圓形遮攔時的衍射限MTF可以表示為[5]

式中D0、Dobs表示主鏡尺寸和遮攔尺寸;ur表示徑向空間頻率;A、B、C都是非常復(fù)雜的分量,詳見參考文獻(xiàn)[5]。雖然該式可以解析表示,但由于形式復(fù)雜實際應(yīng)用并不多,加之實際光學(xué)系統(tǒng)遮攔往往不為規(guī)則的圓對稱形狀(比如光軸上的次鏡及其支撐連桿構(gòu)成的遮攔、光學(xué)系統(tǒng)主鏡中間開口非圓對稱等),這就造成了光瞳函數(shù)P(x,y)很難用解析式表達(dá)。因此,相機初步設(shè)計階段依據(jù)式(4)不能預(yù)估出光學(xué)系統(tǒng)的精確傳遞函數(shù)。為了解決這一問題,本文提出一種數(shù)值計算方法來獲取異形遮攔光學(xué)系統(tǒng)的衍射限MTF。

3 衍射限MTF數(shù)值計算方法

將式(4)離散化可得式(6),這樣衍射限MTF可以利用計算機通過光瞳函數(shù)分布獲得賦值的圖像矩陣,再求取式(6)自相關(guān)和乘積之比后求出衍射限MTF。這樣通過離散化,光瞳函數(shù)就變成數(shù)字圖像矩陣;不能解析表達(dá)的MTF可以通過編程計算生成數(shù)字圖像來繪出和求取。

根據(jù)具體需求,本文計算程序分成兩種類型,其一是根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計要求生成具體光瞳函數(shù)的圖像矩陣,光瞳函數(shù)形狀由主鏡、次鏡及其支撐桿的尺寸、形狀及位置確定;第二種是根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計圖進(jìn)入目標(biāo)提取子程序的運算獲得光瞳函數(shù)。具體流程如圖2,算法描述如下:

圖2 計算MTF程序流程圖

(1)光瞳函數(shù)生成模式,具體流程如下

1)根據(jù)系統(tǒng)遮攔具體要求生成光瞳函數(shù)圖像。

3)進(jìn)行如式(6)的離散運算獲得MTF(u,ν)矩陣。

4)根據(jù)MTF(u,ν)繪出MTF曲線。

(2)光瞳函數(shù)提取模式,具體流程如下

1)讀入光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計圖。

2)目標(biāo)提取,獲取光瞳函數(shù)有效部分并進(jìn)行區(qū)域分類。

3)生成光瞳函數(shù)。

4)獲得光瞳函數(shù)有效范圍大小,根據(jù)大小要求以減小邊緣效應(yīng)為準(zhǔn)則設(shè)置合適圖像矩陣大小。

5)進(jìn)行如式(6)的離散運算獲得MTF(u,ν)矩陣。

6)根據(jù)MTF(u,ν)繪出MTF曲線。

4 計算實例

運用上述提出的算法進(jìn)行若干實例計算,檢驗算法有效性,首先給出光瞳函數(shù)生成模式計算實例。根據(jù)某相機遮攔比為ε1的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計,在不考慮支撐桿影響下生成形如圖3(a)的光瞳函數(shù)圖像,圖3(b)和圖3(c)表示由此求出的系統(tǒng)點擴(kuò)散函數(shù)(PSF)和MTF的圖像。同理,考慮次鏡支撐桿影響的情況下生成的光瞳函數(shù)、PSF、MTF圖像如圖4(a)(b)(c)。圖5為兩種情況下MTF(一維曲線)對比情況,橫坐標(biāo)為空間頻率對截止頻率的歸一化f/fc。

圖3 某相機遮攔比為ε1的光學(xué)系統(tǒng)不考慮支撐桿情況下的計算結(jié)果

圖4 某相機遮攔比為ε1的光學(xué)系統(tǒng)考慮支撐桿情況下的計算結(jié)果

圖5 有無支撐桿MTF曲線(一維方向)對比

下面進(jìn)行復(fù)雜遮攔情況下的計算,圖6為遮攔比ε2的復(fù)雜遮攔光學(xué)系統(tǒng)計算得到的光瞳函數(shù)、PSF和MTF圖像,圖7為考慮支撐桿情況下的各個圖像。圖8為兩種情況下MTF(一維)對比情況,橫坐標(biāo)為空間頻率對截止頻率的歸一化f/fc。

圖6 遮攔比為ε2的光學(xué)系統(tǒng)不考慮支撐桿情況下的計算結(jié)果

圖7 遮攔比為ε2的光學(xué)系統(tǒng)考慮支撐桿情況下的計算結(jié)果

圖8 有無支撐桿MTF曲線(一維方向)對比

以下利用CODEV計算高性能光學(xué)小相機的設(shè)計指標(biāo)對本方法中獲取光瞳函數(shù)模式進(jìn)行驗證。應(yīng)用圖像處理方法從相機結(jié)構(gòu)立體圖的主鏡方向零度視場投影獲得其光學(xué)系統(tǒng)零度視場光瞳函數(shù)P(x,y)見圖9,利用文中提出的數(shù)值解法獲得衍射限PSF(x,y)、MTF(u,ν)如圖10。圖11為一維方向傳遞函數(shù)函MTF的曲線,橫坐標(biāo)為空間頻率對截止頻率的歸一化 f/fc。表1列出數(shù)值解法和CODEV計算的(1/3)fn到2fn處MTF值的差異,由表1可得平均差異小于3%,由此說明二者基本一致。這證明了本方法在光學(xué)系統(tǒng)未完成設(shè)計階段,單純根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)的F數(shù)和具體遮攔能夠?qū)ο到y(tǒng)成像性能(衍射限MTF)進(jìn)行預(yù)估以指導(dǎo)遙感器的總體設(shè)計。

圖9 P(x,y)圖像

圖10 應(yīng)用計算程序獲得其點擴(kuò)散函數(shù)PSF、傳遞函數(shù)圖像MTF

圖11 MTF的一維曲線

5 結(jié)束語

文中經(jīng)過理論推導(dǎo)提出了一種獲取光學(xué)系統(tǒng)衍射限MTF的數(shù)值計算方法,以解決不同遮攔光學(xué)系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)MTF的求解問題,其間同空間高性能光學(xué)小相機的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)進(jìn)行比較基本符合,驗證了本方法的有效性。本方法的提出使在光學(xué)系統(tǒng)詳細(xì)設(shè)計前就能對其極限成像能力進(jìn)行預(yù)估成為可能,為實際遙感器的總體論證提出了一種新的途徑,并解決實際工作中的一些問題。異形遮攔光學(xué)系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)的數(shù)值求解使光學(xué)系統(tǒng)能夠精確建模,為結(jié)合光學(xué)系統(tǒng)波前差求取光學(xué)系統(tǒng)精確傳遞函數(shù)和成像全鏈路的仿真研究提供了必要的條件。

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