● (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

1 考點(diǎn)回顧

平面向量是高中數(shù)學(xué)的三大數(shù)學(xué)工具之一，同時(shí)具有代數(shù)的運(yùn)算性和幾何的直觀性.向量是數(shù)形結(jié)合的典范，是高考命題的基本素材和主要背景之一，也是近幾年高考的熱點(diǎn).準(zhǔn)確把握平面向量的概念與運(yùn)算，正確理解向量的幾何意義，充分發(fā)揮圖形的直觀作用，這樣才能較好地解決這類問題.常見的考點(diǎn)有：

(1)平面向量的基本概念、向量的加法與減法；

(2)共線向量的充要條件、向量的基本定理和坐標(biāo)表示；

(3)實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積與運(yùn)算律；

(4)向量與平面幾何、向量和其他問題的整合等.

重點(diǎn)是：向量的幾何意義、共線向量、向量基本定理、向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算、向量的平行和垂直、夾角、模長.

2 命題趨勢

縱觀近幾年的考題，強(qiáng)調(diào)了試題的幾何背景，特別是浙江省的高考試題，無不凸現(xiàn)了試題的幾何背景，當(dāng)然命題者也兼顧了向量的代數(shù)性質(zhì)，因此解題的主要手段從以傳統(tǒng)的計(jì)算為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐酝诰騿栴}的幾何背景為主.

3 典例剖析

題型1以向量的基本概念為載體

這類問題主要考查學(xué)生對向量基本概念的理解，以簡單概念辨析和簡單計(jì)算為主.

例1已知a,b的夾角為120°，|a|=1，|b|=3，則|5a-b|=________．

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

分析關(guān)于向量模長的計(jì)算一般可利用公式|a|2=a·a解決.

解因?yàn)?/p>

|5a-b|= (5a-b)2=

25a2-10a·b+b2=

49,

所以

|5a-b|=7.

評注本題主要考查向量的線性運(yùn)算，其難點(diǎn)是向量模長的計(jì)算，解決這類問題的基本方法是先求模長的平方.

題型2以向量的基本運(yùn)算為載體

這類問題往往是代數(shù)問題，但多與不等式、幾何圖形相結(jié)合，代數(shù)形式的背后往往隱藏著美麗的幾何圖形.

例2已知a，b是平面內(nèi)2個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析第1種思路是把向量坐標(biāo)化；第2種思路是轉(zhuǎn)化式子(a-c)·(b-c)=0；第3種思路是挖掘式子(a-c)·(b-c)=0的幾何意義.

解法1不妨設(shè)a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y).由(a-c)·(b-c)=0，得

(1-x,1-y)·(-x,1-y)=0，

即

故

解法2因?yàn)閨a|=|b|=1，a·b=0,所以展開(a-c)·(b-c)=0,得

|c|2=c·(a+b)=|c|·|a+b|cosθ，

即

圖1

連結(jié)AB，以AB為直徑作半圓M，在半圓M上的任何一點(diǎn)C2,都滿足∠AC2B=90°，也即符合條件

(a-c2)·(b-c2)=0.

再連結(jié)MC2，那么

|OC2|≤ |OM|+|MC2|=

|OC1|，

即

該解法既充分利用了向量的特點(diǎn)，又著意發(fā)揮了幾何的優(yōu)勢，真是向量幾何，珠聯(lián)璧合啊！

題型3以向量基本定理為載體

分析理解向量基本定理中參數(shù)λ，μ的含義，其實(shí)際意義就是向量在斜坐標(biāo)中的坐標(biāo).

圖2 圖3

在Rt△B1OC中，因?yàn)椤螼CB1=30°，所以

于是

即

λ+μ=6.

評注本小題主要考查向量的基本定理，理解向量基本定理中λ，μ的幾何意義.本題的解答充分利用原圖中既有直角，又有30°角的特征，從而構(gòu)造含30°角的直角三角形.

題型4以平面幾何問題為載體

這類問題一般有2種解題思路:一種是利用三點(diǎn)共線的充要條件列方程；另一種是直接利用平面幾何知識解決.

由向量相等的定義知

消去λ得

m+n=2.

圖4 圖5

求解這類問題的關(guān)鍵是利用好圖形中的三點(diǎn)共線.本題也可以利用平面幾何知識求解：

即

因?yàn)椤鱉OB∽△MPA，所以

同理可得

又由△CON∽△ANP，得

于是

1-m=n-1，

解得

m+n=2.

本題的條件比較分散，解題的關(guān)鍵是作平行線AP，通過2組相似三角形的聯(lián)接與過渡，巧妙地解決了問題.

題型5以問題的幾何背景為載體

自浙江省自主命題以來，向量問題常考常新.雖然問題年年翻新，但都富有內(nèi)涵——深刻的幾何背景，每一個(gè)代數(shù)形式的背后都有美妙的幾何圖形，解決這類問題的最佳辦法是探尋問題的代數(shù)結(jié)構(gòu)背后的幾何結(jié)構(gòu).

例5(1)已知a≠e且|e|=1，若對任何實(shí)數(shù)t均有|a-te|≥|a-e|成立，則

( )

A．a(chǎn)·e=0 B．a(chǎn)⊥(a-e)

C．c⊥(a-e) D．(a-e)⊥(a+e)

(2005年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

(2)已知a，b是2個(gè)相互垂直的單位向量，而|c|=13，c·a=13，c·b=4,則對于任意實(shí)數(shù)t1，t2，|c-t1a-t2b|的最小值是

( )

A．5 B．7 C．12 D．13

(2005年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

(3)若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A．|2a|>|2a+b| B．|2a|<|2a+b|

C．|2b|>|a+2b| D．|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

解(1)構(gòu)造圖6可以判斷當(dāng)且僅當(dāng)e⊥(a-e)時(shí)，有|a-te|≥|a-e|.

圖6 圖7

(3)背景1向量加法的平行四邊形法則

解法1因?yàn)閨a+b|=|b|，即AC=AB，所以四邊形ABCD為菱形，如圖8，因此AO

即

|a+2b|<|2b|.

解法2如圖9，△ADC是直角三角形，因此AD

圖8 圖9

背景2三角形中線向量的表達(dá)式

即

|a+2b|<2|b|.

背景3三角形不等式

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

解法4|a+2b|≤ |(a+b)+b|≤

|(a+b)|+|b|=2|b|.

圖10 圖11

背景4向量垂直的充要條件

已知a,b為非零向量，求證：

a⊥b?(a+b)=(a-b).

解法5由|a+b|=|b|,得

|2(a+b)|=|2b|，

因此

|(a+2b)+a|=|(a+2b)-a|,

即

2a+2b⊥a，

故可構(gòu)造如圖11所示的矩形，結(jié)論顯然成立.

評注本題主要考查學(xué)生對向量的代數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)之間的轉(zhuǎn)化，如何充分挖掘向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何性質(zhì)之間的關(guān)系是掌握向量數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵.

題型6以平面直角坐標(biāo)系為載體

(2009年安徽省數(shù)學(xué)高考試題)

圖12 圖13

即

解得

評注盡管本題的解法很多，但這個(gè)解法直觀，容易被大多數(shù)學(xué)生接受和理解.

精題集粹

1．連續(xù)擲骰子2次分別得點(diǎn)數(shù)m，n,則a=(m,n)與b=(-1,1)的夾角θ>90°的概率是

( )

( )

( )

A．反向平行 B．同向平行

C．互相垂直 D．既不平行也不垂直

4．已知平面向量a=(2,4)，b=(-1,2)．若c=a-(a·b)b，則|c|=________.

5．已知點(diǎn)A，B，C不共線，且有

圖14

(1)求證：(a-b)⊥(a+b)；

參考答案

1．D 2．B 3.A

8.(1)(a-b)·(a+b)=a2-b2=0