● (武嶺中學(xué) 浙江奉化 315502) ● (奉化中學(xué) 浙江奉化 315500)

1 高考展望

1.1 考點(diǎn)回顧

含參數(shù)問(wèn)題歷來(lái)是各地高考的必考內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題上均有廣泛分布.這類(lèi)題型涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度大，要求高，常和函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線(xiàn)等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合.與傳統(tǒng)的不含參數(shù)問(wèn)題相比，含參問(wèn)題無(wú)論是對(duì)問(wèn)題的理解、研究和分析，還是解題的方法和思路，都有更高的要求，考生往往感到比較困難，而參數(shù)問(wèn)題的廣泛性、抽象性和靈活性也決定了其作為高考常客的必然性.

從浙江省近3年的高考試題來(lái)看，含參問(wèn)題一般為1～2道客觀題和1～2道主觀題，約占全卷分值的20%，且理科難度明顯高于文科.在其分值比例大體穩(wěn)定的前提下，含參問(wèn)題在試卷中的位置相對(duì)靠后，顯示了近幾年高考對(duì)這方面的要求較高.

1.2 命題走勢(shì)

隨著新課程改革的逐步深入，根據(jù)《考試大綱》對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查“既要全面又要突出重點(diǎn)，并注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性”及對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查“構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，注重問(wèn)題的多樣性和思維的發(fā)散性”的要求，對(duì)含參問(wèn)題的考查重點(diǎn)將突出“用變量和函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)思考和解決相關(guān)問(wèn)題”.在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需從分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)入手，找到其主要特征，抓住某一關(guān)鍵參變量，選取變?cè)M(jìn)行替換，或者通過(guò)尋找問(wèn)題中已知量和參變量之間的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，從而使問(wèn)題獲得解決.此外，《考試大綱》所要求重點(diǎn)掌握的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想等重要數(shù)學(xué)思想和一些常規(guī)的解題方法也會(huì)通過(guò)對(duì)含參題型的考查而得到充分體現(xiàn).

2 典例剖析

2.1 函數(shù)中的含參問(wèn)題

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.

①寫(xiě)出g(a)的表達(dá)式；

②求a的取值范圍，使得-6≤g(a)≤-2.

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分段函數(shù)的表示方法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分類(lèi)討論思想以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解(1)由題意得函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+∞)，則

若a≤0，則f′(x)>0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間[0,+∞)．

(2)①若a≤0，因?yàn)閒(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，所以

g(a)=f(0)=0．

若a≥6，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，則

點(diǎn)評(píng)根據(jù)參數(shù)的不同取值，結(jié)合分類(lèi)討論思想，確定函數(shù)的單調(diào)性和取值，是高考的一種常見(jiàn)題型.在解題時(shí),要認(rèn)真分析參數(shù)變化與結(jié)論的因果關(guān)系，注意特殊情形，提高解題速度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，避免或減少失誤.

2.2 方程中的含參問(wèn)題

例2已知以T=4為周期的函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(-1,3]時(shí)，

其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為

( )

(2009年重慶市數(shù)學(xué)高考試題)

答案B.

分析本題以一個(gè)分段函數(shù)為載體來(lái)判斷方程解的問(wèn)題，考查的知識(shí)點(diǎn)包括：函數(shù)周期性，含絕對(duì)值函數(shù)圖像的畫(huà)法，以及圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)、圖像.

圖1

(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0.

令Δ>0,解得

點(diǎn)評(píng)在解決這類(lèi)交點(diǎn)或?qū)崝?shù)根個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)方程的解與相應(yīng)函數(shù)的圖像和軸交點(diǎn)之間的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想，將問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化.本題的難點(diǎn)是周期性對(duì)半橢圓位置的影響，求參數(shù)的范圍時(shí)也可以通過(guò)變量分離方法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題，但求解過(guò)程相對(duì)較為困難.

2.3 不等式中的含參問(wèn)題

(1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求a的值；

(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a+1對(duì)任意a∈(0,+∞)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

(2008年安徽省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題主要考查函數(shù)的極值和不等式的恒成立問(wèn)題，難點(diǎn)在于對(duì)含參數(shù)不等式的恒成立含義的準(zhǔn)確解讀.

解(1)f′(x)=ax2-3x+(a+1).由于函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，因此f′(1)=0,即

a-3+a+1=0,

解得a=1.

(2)由題設(shè)知

ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1

對(duì)任意a∈(0,+∞)都成立，即

a(x2+2)-x2-2x>0

解得

-2≤x≤0,

故x的取值范圍是-2≤x≤0.

點(diǎn)評(píng)含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，往往具有一定的綜合性.解決這類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常運(yùn)用如下的等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想：若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M.因而，含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題加以解決.

另外，本題還可以a為主元，構(gòu)造函數(shù)g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R),則對(duì)任意x∈R，函數(shù)g(a)單調(diào)遞增(a∈R)，因此對(duì)任意a∈(0,+∞)，使g(a)>0恒成立的充分必要條件是g(0)≥0，即-x2-2x≥0，于是x的取值范圍是-2≤x≤0.像這樣，以某一參變量為主元，而將其余的參變量看作常量，是解決含參問(wèn)題行之有效的一種方法.

2.4 線(xiàn)性規(guī)劃中的含參問(wèn)題

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析若由ax+by≤1恒成立得

1≥ax+by=zmax，

于是

再用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求解，則顯得十分繁難.如果通過(guò)消元選擇某個(gè)未知數(shù)為主元，再根據(jù)條件確定參數(shù)范圍，那么可使問(wèn)題順利獲解.

解由x+y≤1得到y(tǒng)≤1-x，則

ax+b(1-x)≤1

對(duì)x∈[0,1]恒成立，即

(a-b)x+b-1≤0

對(duì)x∈[0,1]恒成立.令f(x)=(a-b)x+b-1，則

解得

0≤a≤1,0≤b≤1.

所以點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于1.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃中的平面區(qū)域問(wèn)題，其難點(diǎn)是含雙參數(shù)的一次不等式恒成立的幾何意義.解題的關(guān)鍵是通過(guò)多元化歸、分離主元等方法確定參數(shù)a,b的取值范圍.

本題也可利用如下特殊與一般的思想求解：由ax+by≤1恒成立,知當(dāng)x=0時(shí)，by≤1恒成立，從而

所以

0≤b≤1，

同理可得0≤a≤1.故以a,b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，面積為1.

2.5 導(dǎo)數(shù)中的含參問(wèn)題

例5設(shè)函數(shù)f(x)=xekx(k≠0).

(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.

(2009年北京市數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程、研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，以及分類(lèi)討論和綜合分析、解決問(wèn)題的能力．

解(1)f′(x)=(1+kx)ekx,則

f′(0)=1,f(0)=0,

曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y=x.

(2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0，得

綜上所述，函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是[-1,0)∪(0,1].

點(diǎn)評(píng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力，也為中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究提供了新的視角和方法，拓寬了高考的命題空間.在導(dǎo)數(shù)中引入?yún)?shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，是近幾年高考的熱點(diǎn)之一.

2.6 圓錐曲線(xiàn)中的含參問(wèn)題

圖2

(1)求橢圓C的方程.

(2)若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線(xiàn)l:x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線(xiàn)AF與BN交于點(diǎn)M.

①求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；

②求△AMN面積的最大值.

(2008年福建省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、軌跡方程、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.

解(1)由題設(shè)得a=2,c=1,從而

b2=a2-c2=3,

(2)①由題意得F(1,0),N(4,0).設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),從而

AF與BN的方程分別為

n(x-1)-(m-1)y=0;

n(x-4)+(m-4)y=0.

設(shè)M(x0,y0),則

(1)

(2)

由式(1)，式(2)得

所以點(diǎn)M恒在橢圓C上.

(3t2+4)y2+6ty-9=0.

設(shè)A(x1,y1),M(x2，y2)，則

令3t2+4=λ(λ≥4)，則

因?yàn)棣恕?，得

點(diǎn)評(píng)本題看似不含參數(shù)，但在點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)方程和求函數(shù)的最值時(shí)引入適當(dāng)?shù)膮?shù)，從而得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，這是解析幾何的重要內(nèi)容，體現(xiàn)了引參求變、變中求定的思維策略.

另外，本題第(2)①小題也可通過(guò)如下的“交軌法”來(lái)求：由直線(xiàn)AF與BN的方程可得

這種利用曲線(xiàn)和方程對(duì)應(yīng)關(guān)系直接消參的技巧值得仔細(xì)品味.