劉樹勇,朱石堅,俞 翔
(海軍工程大學(xué)振動與噪聲研究所,武漢 430033)
隨著混沌研究的不斷深入,人們在混沌理論方面取得了豐碩的成果。Smale-Birkhoff同宿軌理論揭示了混沌產(chǎn)生的機理,并指出可以用伯努利變換來刻畫混沌軌道的特征[1];Silnikov研究表明如果三維系統(tǒng)有一條鞍焦型同宿軌道,并滿足一定條件時,就可以在奇點附近構(gòu)造一個Poincare映射,此映射有Smale馬蹄變換性質(zhì),從而系統(tǒng)具有Smale意義下的混沌[2];Melnikov方法則通過分析周期受迫振子中穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形是否橫截相交來判斷混沌的存在。特別是在近些年來,Wiggins將Melnikov方法推廣到了一類準周期激勵的系統(tǒng)中,并用于對多自由度系統(tǒng)的研究,提出了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的指標[3];高階Melnikov方法的建立為超次諧分叉軌道提供了有效的方法。然而,應(yīng)用這些理論對非線性隔振系統(tǒng)中的混沌進行研究還不太多。
在非線性隔振系統(tǒng)中,如果其參數(shù)處于混沌參數(shù)區(qū)域時,系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動狀態(tài)。單頻輸入可以產(chǎn)生寬頻輸出,因而可以用來消減結(jié)構(gòu)噪聲中的線譜,提高艦艇的隱蔽性[4]。正是因為隔振系統(tǒng)中這種“貌似隨機的”混沌具有可利用的一面,文獻[5]在設(shè)計一種非線性隔振系統(tǒng)后,用實驗方法證明了該系統(tǒng)的參數(shù)處于一定范圍時其加速度響應(yīng)是混沌信號,此時隔振系統(tǒng)有良好的隔振效果。本文建立了準周期激勵條件下隔振系統(tǒng)的模型,并應(yīng)用Poincare映射方法使問題轉(zhuǎn)化到低一維的空間中進行研究。通過Melnikov函數(shù)計算了非線性隔振系統(tǒng)的混沌區(qū)參數(shù)區(qū)域。給出了系統(tǒng)處于混沌運動時的典型相圖,計算了相應(yīng)的特征指數(shù)。
假設(shè)非線性隔振系統(tǒng)的激勵頻率為Ωr(r= 1 ,2…,l)。 如果
只有 kr=0( r= 1 ,2…,l)才能夠成立時,系統(tǒng)被認為具有l(wèi)-頻率準周期激勵。研究表明,對于雙頻準周期激勵Duffing系統(tǒng)而言,系統(tǒng)有非常復(fù)雜的動力學(xué)特性,系統(tǒng)中不僅會產(chǎn)生具有 (k1/ k2)ω1、 (k1/ k2)ω2頻率的響應(yīng),而且有可能出現(xiàn)頻率為 (k1/ k2)(ω1± ω2)的響應(yīng),在該系統(tǒng)中必將產(chǎn)生準周期解,準周期解進一步失穩(wěn)[6],則容易導(dǎo)致混沌。對于準周期激勵的非線性隔振系統(tǒng),其運動微分方程可以寫為:
式中,m表示設(shè)備的質(zhì)量,c表示隔振系統(tǒng)的阻尼,N(x)為軟彈簧隔振系統(tǒng)中的非線性作用力:
將(3)式代入(2)式后,可以得到:
其中,m是設(shè)備的質(zhì)量,c和ki(i=1,2 )分別是阻尼系數(shù)和剛度系數(shù),F(xiàn)jcos ΩjT是作用力在隔振系統(tǒng)上的激勵力。
構(gòu)造新的時間尺度和長度尺度為:
因此,可以通過下列變換來得到無量綱變量:
將(6)式代入(4)式得到系統(tǒng)的無量綱形式:
考慮如下系統(tǒng):
當ε=0,假設(shè)未擾系統(tǒng):
其l+1維穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形相交可得:
未受擾的相空間如圖1所示。
由于(8)式的周期解K相當于Poincare映射的不動點,類似地,周期mK解相當于Poincare映射的周期m點。因此,可以應(yīng)用Poincare映射的方法來研究(8)式的動力學(xué)行為。其優(yōu)點是可以將問題轉(zhuǎn)化到低一維的空間中進行研究,并給出系統(tǒng)全局動力學(xué)深入的、明顯的展示[7]。數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明這樣處理是合適的。如果在Poincare截面上存在一個同宿點xs,那么它同時存在于穩(wěn)定流形Ws(xs)和不穩(wěn)定流形Wu(xs)上。同時可以證明只要有一個橫截同宿點,就必定存在無窮多個橫截同宿點,從而使得不變流形變得異常復(fù)雜,這種系統(tǒng)受到小的擾動時,有可能出現(xiàn)混沌[8]。
根據(jù)以上分析,在全相空間R2×Tl固定θ的任意一個元素θi,得到截面:
定義Melnikov函數(shù)為:
如果存在t0使得M (t0)=0但dM (t0)/dt0≠0,穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形必然橫截相交,此時有可能出現(xiàn)混沌。同理,橫截異宿點的產(chǎn)生也將導(dǎo)致Smale意義下的混沌。為了便于研究,這里具體討論l=2的情況??紤](7)式中阻尼和激勵力幅值為小量時,它可以表示成如下形式:
將其寫成矩陣的形式,
特征行列式為:
由于無擾動系統(tǒng)為平面哈密頓系統(tǒng),哈密頓函數(shù)滿足:
因此通過A點的同宿軌道滿足:
將(14)式代入(12)式可得到Melnikov函數(shù)為:
將(17)式代入(18)式,并應(yīng)用留數(shù)定理,對上式積分得:
根據(jù)前面的討論,當Melnikov函數(shù)存在簡單的零點時,A的穩(wěn)定流形Ws(A)和不穩(wěn)定流形Wu(A)必然產(chǎn)生同宿橫截相交,從而系統(tǒng)有可能出現(xiàn)混沌。將(19)式利用三角函數(shù)關(guān)系簡化后得到非線性隔振系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的條件:
當f1=f2=f時,根據(jù)Kazuyuki Yagasaki的證明[1],只需要滿足:
就能夠得到使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的 (δ, f,ω1,ω2)參數(shù)區(qū)域。 顯然,(21)式除了指明系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的參數(shù)區(qū)域以外,還說明了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌是輸入項和耗散相互競爭的結(jié)果。這和其他許多非線性中出現(xiàn)混沌的本質(zhì)是一致的。
(1)根據(jù)(21)式,得到如圖2所示的混沌參數(shù)區(qū)域,當參數(shù)f/δ的取值位于曲面上方時,系統(tǒng)可能處于混沌運動狀態(tài)。
(2) 當激勵力的幅值相等,取 f1=f2=f=0.15,δ=0.04,ω1=1,ω2=時,代入(21)式,可知 f δ=3.75,J0(J1+ J2)的值為 0.427 7,滿足上述條件。根據(jù)這些參數(shù)得到系統(tǒng)的響應(yīng)如圖3中(a,b,c,d)所示,它們分別是時間歷程圖,頻譜圖,相平面圖Poincare截面圖。從中可以看出,時間歷程圖的曲線不規(guī)則,頻譜圖具有類似于隨機信號的寬譜特征[9],相平面圖上的吸引子不同于平庸吸引子而是具有特殊結(jié)構(gòu)的奇怪吸引子。Poincare截面圖上的點分布于截面的一定范圍內(nèi)。計算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為:0.641 0,大于零的Lyapunov指數(shù)意味著非線性隔振系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。
(3) 當改變參數(shù)值, f1=f2=f=0.15,δ=0.3,ω1=1,ω2=時,可知f/δ=0.5,它也處于曲面的上方,但是系統(tǒng)表現(xiàn)出典型的擬周期運動。其Poincare截面為一個圓。頻譜圖具有多個譜峰特征。如圖 4中的(a,b,c,d)所示。
根據(jù)以上分析可知,當非線性隔振系統(tǒng)的參數(shù)處于一定的范圍內(nèi)時,它在多頻率激勵條件下可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。系統(tǒng)呈現(xiàn)這種行為的重要原因是相空間中存在同宿橫截相交,從而產(chǎn)生具有Smale馬蹄意義下的混沌。應(yīng)用Melnikov方法可以確定產(chǎn)生混沌的參數(shù)區(qū)域。研究結(jié)果表明,該區(qū)域中的某些參數(shù)能使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌而某些參數(shù)使系統(tǒng)表現(xiàn)出準周期振動形式。因此,在具體的分析過程中還應(yīng)該結(jié)合Lyapunov指數(shù)的計算和頻譜圖,Poincare截面圖等方法進行研究。正的Lyapunov指數(shù)意味著混沌的產(chǎn)生,而且混沌的頻譜圖具有貌似隨機信號的寬頻譜特征,其Poincare截面圖不同于周期運動時的m周期點和擬周期運動時形成的圓。通過這些綜合分析方法能夠準確判定系統(tǒng)的運動狀態(tài),從而更深入地了解了非線性隔振系統(tǒng)的特點,為系統(tǒng)的設(shè)計提供有益參考。
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