劉樹勇，朱石堅，俞 翔

（海軍工程大學振動與噪聲研究所，武漢 430033）

1 引 言

隨著混沌研究的不斷深入，人們在混沌理論方面取得了豐碩的成果。Smale-Birkhoff同宿軌理論揭示了混沌產(chǎn)生的機理，并指出可以用伯努利變換來刻畫混沌軌道的特征[1]；Silnikov研究表明如果三維系統(tǒng)有一條鞍焦型同宿軌道，并滿足一定條件時，就可以在奇點附近構造一個Poincare映射，此映射有Smale馬蹄變換性質，從而系統(tǒng)具有Smale意義下的混沌[2]；Melnikov方法則通過分析周期受迫振子中穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形是否橫截相交來判斷混沌的存在。特別是在近些年來，Wiggins將Melnikov方法推廣到了一類準周期激勵的系統(tǒng)中，并用于對多自由度系統(tǒng)的研究，提出了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的指標[3]；高階Melnikov方法的建立為超次諧分叉軌道提供了有效的方法。然而，應用這些理論對非線性隔振系統(tǒng)中的混沌進行研究還不太多。

在非線性隔振系統(tǒng)中，如果其參數(shù)處于混沌參數(shù)區(qū)域時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動狀態(tài)。單頻輸入可以產(chǎn)生寬頻輸出，因而可以用來消減結構噪聲中的線譜，提高艦艇的隱蔽性[4]。正是因為隔振系統(tǒng)中這種“貌似隨機的”混沌具有可利用的一面，文獻[5]在設計一種非線性隔振系統(tǒng)后，用實驗方法證明了該系統(tǒng)的參數(shù)處于一定范圍時其加速度響應是混沌信號，此時隔振系統(tǒng)有良好的隔振效果。本文建立了準周期激勵條件下隔振系統(tǒng)的模型，并應用Poincare映射方法使問題轉化到低一維的空間中進行研究。通過Melnikov函數(shù)計算了非線性隔振系統(tǒng)的混沌區(qū)參數(shù)區(qū)域。給出了系統(tǒng)處于混沌運動時的典型相圖，計算了相應的特征指數(shù)。

2 準周期激勵條件下非線性隔振系統(tǒng)的模型

假設非線性隔振系統(tǒng)的激勵頻率為Ωr（r= 1 ，2…，l）。 如果

只有 kr=0（ r= 1 ，2…，l）才能夠成立時，系統(tǒng)被認為具有l(wèi)-頻率準周期激勵。研究表明，對于雙頻準周期激勵Duffing系統(tǒng)而言，系統(tǒng)有非常復雜的動力學特性，系統(tǒng)中不僅會產(chǎn)生具有 （k1/ k2）ω1、 （k1/ k2）ω2頻率的響應，而且有可能出現(xiàn)頻率為 （k1/ k2）（ω1± ω2）的響應，在該系統(tǒng)中必將產(chǎn)生準周期解，準周期解進一步失穩(wěn)[6]，則容易導致混沌。對于準周期激勵的非線性隔振系統(tǒng)，其運動微分方程可以寫為：

式中，m表示設備的質量，c表示隔振系統(tǒng)的阻尼，N（x）為軟彈簧隔振系統(tǒng)中的非線性作用力：

將（3）式代入（2）式后，可以得到：

其中，m是設備的質量，c和ki（i=1，2 ）分別是阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)，F(xiàn)jcos ΩjT是作用力在隔振系統(tǒng)上的激勵力。

構造新的時間尺度和長度尺度為：

因此，可以通過下列變換來得到無量綱變量：

將（6）式代入（4）式得到系統(tǒng)的無量綱形式：

3 應用Melnikov方法確定非線性隔振系統(tǒng)的混沌參數(shù)區(qū)域

考慮如下系統(tǒng)：

當ε=0，假設未擾系統(tǒng)：

其l+1維穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形相交可得：

未受擾的相空間如圖1所示。

由于（8）式的周期解K相當于Poincare映射的不動點，類似地，周期mK解相當于Poincare映射的周期m點。因此，可以應用Poincare映射的方法來研究（8）式的動力學行為。其優(yōu)點是可以將問題轉化到低一維的空間中進行研究，并給出系統(tǒng)全局動力學深入的、明顯的展示[7]。數(shù)學上已經(jīng)證明這樣處理是合適的。如果在Poincare截面上存在一個同宿點xs，那么它同時存在于穩(wěn)定流形Ws（xs）和不穩(wěn)定流形Wu（xs）上。同時可以證明只要有一個橫截同宿點，就必定存在無窮多個橫截同宿點，從而使得不變流形變得異常復雜，這種系統(tǒng)受到小的擾動時，有可能出現(xiàn)混沌[8]。

根據(jù)以上分析，在全相空間R2×Tl固定θ的任意一個元素θi，得到截面：

定義Melnikov函數(shù)為：

如果存在t0使得M （t0）=0但dM （t0）/dt0≠0，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形必然橫截相交，此時有可能出現(xiàn)混沌。同理，橫截異宿點的產(chǎn)生也將導致Smale意義下的混沌。為了便于研究，這里具體討論l=2的情況?？紤]（7）式中阻尼和激勵力幅值為小量時，它可以表示成如下形式：

將其寫成矩陣的形式，

特征行列式為：

由于無擾動系統(tǒng)為平面哈密頓系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)滿足：

因此通過A點的同宿軌道滿足：

將（14）式代入（12）式可得到Melnikov函數(shù)為：

將（17）式代入（18）式，并應用留數(shù)定理，對上式積分得：

根據(jù)前面的討論，當Melnikov函數(shù)存在簡單的零點時，A的穩(wěn)定流形Ws（A）和不穩(wěn)定流形Wu（A）必然產(chǎn)生同宿橫截相交，從而系統(tǒng)有可能出現(xiàn)混沌。將（19）式利用三角函數(shù)關系簡化后得到非線性隔振系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的條件：

當f1=f2=f時，根據(jù)Kazuyuki Yagasaki的證明[1]，只需要滿足：

就能夠得到使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的 （δ， f，ω1，ω2）參數(shù)區(qū)域。 顯然，（21）式除了指明系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的參數(shù)區(qū)域以外，還說明了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌是輸入項和耗散相互競爭的結果。這和其他許多非線性中出現(xiàn)混沌的本質是一致的。

4 仿真結果

（1）根據(jù)（21）式，得到如圖2所示的混沌參數(shù)區(qū)域，當參數(shù)f/δ的取值位于曲面上方時，系統(tǒng)可能處于混沌運動狀態(tài)。

（2） 當激勵力的幅值相等，取 f1=f2=f=0.15，δ=0.04，ω1=1，ω2=時，代入（21）式，可知 f δ=3.75，J0（J1+ J2）的值為 0.427 7，滿足上述條件。根據(jù)這些參數(shù)得到系統(tǒng)的響應如圖3中（a，b，c，d）所示，它們分別是時間歷程圖，頻譜圖，相平面圖Poincare截面圖。從中可以看出，時間歷程圖的曲線不規(guī)則，頻譜圖具有類似于隨機信號的寬譜特征[9]，相平面圖上的吸引子不同于平庸吸引子而是具有特殊結構的奇怪吸引子。Poincare截面圖上的點分布于截面的一定范圍內。計算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為：0.641 0，大于零的Lyapunov指數(shù)意味著非線性隔振系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。

（3） 當改變參數(shù)值， f1=f2=f=0.15，δ=0.3，ω1=1，ω2=時，可知f/δ=0.5，它也處于曲面的上方，但是系統(tǒng)表現(xiàn)出典型的擬周期運動。其Poincare截面為一個圓。頻譜圖具有多個譜峰特征。如圖 4中的（a，b，c，d）所示。

5 結 論

根據(jù)以上分析可知，當非線性隔振系統(tǒng)的參數(shù)處于一定的范圍內時，它在多頻率激勵條件下可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。系統(tǒng)呈現(xiàn)這種行為的重要原因是相空間中存在同宿橫截相交，從而產(chǎn)生具有Smale馬蹄意義下的混沌。應用Melnikov方法可以確定產(chǎn)生混沌的參數(shù)區(qū)域。研究結果表明，該區(qū)域中的某些參數(shù)能使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌而某些參數(shù)使系統(tǒng)表現(xiàn)出準周期振動形式。因此，在具體的分析過程中還應該結合Lyapunov指數(shù)的計算和頻譜圖，Poincare截面圖等方法進行研究。正的Lyapunov指數(shù)意味著混沌的產(chǎn)生，而且混沌的頻譜圖具有貌似隨機信號的寬頻譜特征，其Poincare截面圖不同于周期運動時的m周期點和擬周期運動時形成的圓。通過這些綜合分析方法能夠準確判定系統(tǒng)的運動狀態(tài)，從而更深入地了解了非線性隔振系統(tǒng)的特點，為系統(tǒng)的設計提供有益參考。

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