劉曉， 張玉秋， 葉云岳， 盧琴芬

(浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

0 引言

近年來，直線伺服電機(jī)得到了快速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。永磁直線伺服電機(jī)同時具備了永磁電機(jī)和直線電機(jī)的優(yōu)點，結(jié)構(gòu)簡單、體積小、噪音低、效率高、動態(tài)性能好，且對工作環(huán)境適應(yīng)性好、易維護(hù)，尤其是“零傳動”的特點，使其逐漸成為直線伺服系統(tǒng)的研究熱點［1－2］。由于一般的鐵心式永磁直線電機(jī)受到齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)的影響，輸出推力有比較大的波動，引起電機(jī)振動和噪音，嚴(yán)重影響其伺服性能，需通過優(yōu)化設(shè)計降低其推力波動［3－6］。空心式永磁直線電機(jī)則不存在齒槽效應(yīng)和鐵心開斷的影響，輸出推力較鐵心式永磁直線電機(jī)更穩(wěn)定，但受電機(jī)氣隙諧波磁場的影響，空心式永磁直線電機(jī)仍然存在推力波動的問題。

為了對電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，減小推力波動，必須對電機(jī)氣隙磁場進(jìn)行求解和分析，文獻(xiàn)［7－9］分別推導(dǎo)了空心式永磁直線電機(jī)的氣隙磁場解析公式，但解析解存在解析公式復(fù)雜以及求解精確度不高等問題。本文采用等效磁化強(qiáng)度法對電機(jī)的氣隙磁場進(jìn)行解析求解，并將解析分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較。根據(jù)解析公式，分析了電機(jī)幾個主要尺寸對氣隙磁場的影響。

1 電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

雙邊空心式永磁直線伺服電機(jī)的二維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 雙邊空心式永磁直線伺服電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Topology of the double side air-core PMLSM

該電機(jī)結(jié)構(gòu)由動子和定子兩部分組成，線圈安裝在動子上，屬于動圈式結(jié)構(gòu)形式。定子部分由永磁體和鐵軛構(gòu)成，永磁體分別貼裝在2個定子鐵軛側(cè)壁內(nèi)側(cè)，形成一個類似“U”型的雙邊結(jié)構(gòu)，永磁體極性如圖1所示。雙邊型結(jié)構(gòu)使電機(jī)不存在法向力，減少了動子運(yùn)動時的摩擦力，也降低了對直線導(dǎo)軌和安裝的要求。電機(jī)動子部分由三相繞組構(gòu)成，繞組采用空心式線圈，線圈整體用環(huán)氧樹脂進(jìn)行封裝，既保證電機(jī)動子部分的整體性，又對線圈起到保護(hù)作用。繞組采用5極/3線圈的短距集中繞組形式，減小繞組端部長度，提高了電機(jī)的效率并減輕了動子質(zhì)量。

2 氣隙磁場解析分析

為簡化分析，對電機(jī)分析模型做如下假設(shè):

1)假設(shè)電機(jī)在z方向無限長;

2)假設(shè)電機(jī)初級在x方向無限長;

3)假設(shè)鐵磁材料的磁導(dǎo)率為無窮大。

基于以上假設(shè)，可以將該電機(jī)氣隙磁場的求解問題簡化為具有鐵磁邊界的二維恒定磁場進(jìn)行求解。

等效磁化強(qiáng)度法將永磁體等效成磁化強(qiáng)度，根據(jù)材料不同將整個求解區(qū)域劃分為氣隙區(qū)域和磁極區(qū)域，向量磁位A在氣隙區(qū)域滿足拉普拉斯方程，在磁極區(qū)域則滿足泊松方程，可以分別求解。在二維平面場中，向量磁位A只有Az分量，大大降低了方程的數(shù)量和求解的難度。該電機(jī)的等效磁化強(qiáng)度向量分析模型如圖2所示，根據(jù)電機(jī)結(jié)構(gòu)的對稱性，僅選擇電機(jī)上半部分進(jìn)行分析，進(jìn)一步簡化求解過程。永磁體的等效磁化強(qiáng)度向量的空間分布如圖3所示。

圖2 等效磁化強(qiáng)度法分析模型Fig.2 Analytical model of the equivalent magnetization intensity method

圖3 磁化強(qiáng)度空間分布Fig.3 Distribution of the magnetization intensity

等效磁化強(qiáng)度空間分布函數(shù)M(x)可以用傅立葉級數(shù)表示為

在氣隙區(qū)域Ⅰ中，向量磁位AzⅠ滿足拉普拉斯方程，在磁極區(qū)域Ⅱ中，向量磁位 AzⅡ滿足泊松方程［10］

在氣隙和磁極的交界面上，滿足邊界條件:

磁場強(qiáng)度在切向方向上連續(xù)，即

磁通密度在法向方向上連續(xù)，即

根據(jù)假設(shè)3)，在鐵軛表面滿足邊界條件:

鐵軛表面磁密切向分量為零，即

采用分離變量法求解，得到各區(qū)域中向量磁位的表達(dá)式為

通過對向量磁位求偏導(dǎo)，得到各區(qū)域磁通密度法向分量的表達(dá)式為

3 有限元分析驗證

利用Ansoft Maxwell軟件建立電機(jī)模型，電機(jī)參數(shù)為:極距τ=22 mm;永磁體寬τm=18 mm;永磁體高h(yuǎn)m=3.6 mm;氣隙δ=14.6 mm。對電機(jī)進(jìn)行有限元分析，得到電機(jī)空載時氣隙磁場磁力線分布如圖4所示。

圖4 氣隙磁場磁力線分布圖Fig.4 Distribution of magnetic line in airgap

為驗證解析法計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，分別用解析法和有限元法計算出y=0，y=1和y=6三個位置上磁通密度y向分量By值，并將其分布曲線繪于圖5～圖7中，進(jìn)行比較。由圖5、圖6可以看出，在區(qū)域Ⅰ中(y=0，y=1)解析法與有限元法的計算結(jié)果非常接近;由圖7可以看出，在區(qū)域Ⅱ中(y=6)，解析法求解的誤差稍大。為進(jìn)一步驗證解析法的正確性，改變永磁體寬度τm，計算出不同的τm/τ時，解析法與有限元法計算結(jié)果在一個極距范圍內(nèi)的平均相對誤差，如表1所示。解析法的最大相對誤差為3.71%，證明該解析法求解結(jié)果是準(zhǔn)確的。

圖5 y=0處氣隙磁密分布圖Fig.5 Distribution of magnetic flux density at y=0

圖6 y=1處氣隙磁密分布圖Fig.6 Distribution of magnetic flux density at y=1

圖7 y=6處氣隙磁密分布圖Fig.7 Distribution of magnetic flux density at y=6

表1 不同的τm/τ時解析法的誤差Table1 Errors of the analytical method with different τm/τ

4 主要尺寸對氣隙磁場的影響

取氣隙中心線處(y=0)磁場作為分析對象，根據(jù)式(10)，可以求得該處磁通密度基波和各次諧波分量的幅值為

根據(jù)式(11)，可以看出Byν與3個主要尺寸永磁體寬度τm、永磁體高度hm和氣隙高度δ有關(guān)，分別定義極弧系數(shù)αp=τm/τ，磁極高度系數(shù)β=hm/τ和氣隙高度系數(shù)γ=δ/τ，分析3個系數(shù)對磁場分布情況的影響。

4.1 極弧系數(shù)對氣隙磁場的影響

首先保持β和γ不變，將Byν對于αp求導(dǎo)，為

當(dāng) ναp=2n，n=1，2，3，…時=0，Byν取到最小值。第3、5、7、9 次諧波 Byν與 αp關(guān)系如圖8 所示，各次諧波分量與基波幅值的比值Byν/By1與αp的關(guān)系如圖9所示。以總諧波磁場與基波磁場的比值∑Byν/By1作為衡量氣隙磁場正弦程度的標(biāo)準(zhǔn)，得到氣隙磁場諧波含量隨αp變化的曲線如圖10所示。由圖10可以看出，當(dāng)αp=2/3時，∑Byν/By1達(dá)到最小值，氣隙磁場的諧波含量最小。在電機(jī)設(shè)計時，選取αp在0.6～0.8之間，可以有效地降低氣隙磁場的諧波含量。

圖8 Byν與 αp 關(guān)系圖Fig.8 Relationship between Byν and αp

圖9 Byν/By1與 αp 關(guān)系圖Fig.9 Relationship between Byν /By1and αp

圖10 ∑Byν/By1與 αp關(guān)系圖Fig.10 Relationship between ∑Byν/By1and αp

4.2 磁極高度系數(shù)和氣隙高度系數(shù)對氣隙磁場的影響

根據(jù)式(11)，Byν是關(guān)于磁極高度系數(shù)β的單調(diào)增函數(shù)，隨著β的增大，氣隙磁場諧波含量也將增大。同時，Byν是關(guān)于氣隙高度系數(shù)γ的單調(diào)減函數(shù)，氣隙磁場諧波含量隨γ的增大而減小。保持αp=2/3不變，Byν隨β和γ變化的曲線分別如圖11和圖12所示，∑Byν/By1隨β和γ變化的曲線分別如圖13和圖14所示。

圖11 Byν與 β 關(guān)系圖Fig.11 Relationship between Byν and β

圖12 Byν與 γ關(guān)系圖Fig.12 Relationship between Byν and γ

圖13 ∑Byν/By1與 β關(guān)系圖Fig.13 Relationship between ∑Byν/By1and β

圖14 ∑Byν/By1與γ關(guān)系圖Fig.14 Relationship between ∑Byν/By1and γ

一般來說，為提高電機(jī)的推力密度，希望獲得較大的氣隙磁密，增加永磁體高度和減小氣隙高度都是加大氣隙磁密的手段，但同時也降低了氣隙磁場分布的正弦性。與極弧系數(shù)對氣隙磁場分布正弦程度的影響相比，磁極和氣隙高度系數(shù)的影響較小，所以，在電機(jī)設(shè)計時，應(yīng)主要考慮磁極高度系數(shù)β和氣隙高度系數(shù)γ對氣隙磁密大小的影響，同時通過優(yōu)化極弧系數(shù)αp來降低氣隙磁場的諧波含量。

5 結(jié)語

對于雙邊空心式永磁直線伺服電機(jī)的氣隙磁場，采用等效磁化強(qiáng)度法和有限元法的求解結(jié)果的最大相對誤差為3.71%，該解析方法可用于對雙邊空心式永磁直線伺服電機(jī)進(jìn)行磁場和特性分析。對該電機(jī)的解析分析表明，電機(jī)永磁體高度hm和氣隙高度δ主要影響氣隙磁場的大小，而永磁體寬度τm對電機(jī)氣隙磁場的大小和諧波含量都有很大影響。當(dāng)極弧系數(shù)αp=2/3時，電機(jī)氣隙磁場的諧波含量最小，一般在設(shè)計該類型電機(jī)時，可以選取αp=0.6～0.8。

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