孫 發(fā) 明， 徐 新 生， 胡 俊 林， 楊 超

（大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

在醫(yī)學領(lǐng)域和工業(yè)應(yīng)用中，越來越迫切需要一種能在水或水介質(zhì)中平穩(wěn)靈活移動的新型管道微小型機器人[1].它能在水中被無線驅(qū)動，具有很高的機動性和靈活性，能夠安全進入人體并且不會對各個器官造成負面影響.微小型機器人的最大優(yōu)勢就是能在非常小的空間內(nèi)靈活工作.比如在醫(yī)學方面，利用微小型機器人做一個精密手術(shù)能避免對患者手術(shù)開刀和縫補傷口，僅僅對受傷害的部位進行操作，而不影響周圍的正常部分，將使患者的傷害減到最小.在工業(yè)上，也可利用微小型機器人去維護工業(yè)管道.目前有很多類型的微小型驅(qū)動器正在被研究，如Carrozza等[2]研究了用于結(jié)腸鏡檢查的基于蠕動爬行模式的形狀記憶合金（SMA）驅(qū)動器.從仿生學角度看，該驅(qū)動器屬于蠕動推進模式.梅濤等[3]模仿水母壓水推進方式提出了仿水母型鐵磁聚合體（FMP）驅(qū)動器.Saotome等[4]利用電磁鐵設(shè)計了一種驅(qū)動器結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了橫向游動.Guo等[5]研制了能仿魚尾擺動的離子傳導(dǎo)聚合體膜（ICPF）驅(qū)動器，同時也提出一種能仿魚尾擺動的新型電磁馬達驅(qū)動器[6].Yamazaki等[7]設(shè)計了外磁場控制旋轉(zhuǎn)前進的鐵磁（Nd FeB）螺旋型驅(qū)動器.Jomie等利用電磁鐵原理，設(shè)計出了可轉(zhuǎn)彎的機器魚驅(qū)動器[8].這些裝置可控性和機動性有待改進.隨著超磁致伸縮材料的出現(xiàn)和發(fā)展，更好地利用無線控制并設(shè)計特殊的機器魚成為一個較好的選擇，此方面的仿生機器魚[9、10]受到關(guān)注.然而這些機器魚驅(qū)動的關(guān)鍵技術(shù)和機理有待于進一步研究.

機器魚魚尾的擺動所提供的驅(qū)動力和外磁場控制這種擺動是該機器魚設(shè)計的關(guān)鍵技術(shù)，同時也是本文的主要研究內(nèi)容.

1 機器魚驅(qū)動控制方程

1.1 魚尾結(jié)構(gòu)模型

所研究的超磁機器魚由魚體和魚尾組成，魚尾由貼或鍍超磁致伸縮材料的矩形合金薄板構(gòu)成.由于超磁致伸縮材料具有磁致伸縮特性，即在可變外部磁場作用下，其體積和尺寸會發(fā)生相應(yīng)的改變，故而會對合金薄板產(chǎn)生一種動態(tài)荷載分布，由此帶動魚尾產(chǎn)生擺動.

如圖1所示，采用笛卡兒坐標系，矩形魚尾的長為L，寬為b，高為h.且貼或鍍的超磁致伸縮材料（圖1中黑色部分）厚度ξ（x）（板寬度方向均勻）相對合金薄板更薄，即ξ（x）h.

圖1 懸臂夾層薄板參數(shù)及坐標系Fig.1 Cantilever interlayer plate parameters and coordinates

參照Clark的研究成果[11]，超磁致伸縮材料的伸縮與外磁場參數(shù)有一定的關(guān)系.該本構(gòu)關(guān)系可以表示為其中ε代表總應(yīng)變；SH為柔順系數(shù)；σ為應(yīng)力；d為動態(tài)磁致伸縮系數(shù)；H為外部磁場強度.而由外部磁場引起的應(yīng)變?yōu)?/p>

其中λ表示磁致伸縮系數(shù).該材料具有磁性和彈性雙重性質(zhì)，并可以退化為單一材料性質(zhì)，比如考慮純彈性材料，令εH＝0且SH＝1/E即可，E為彈性模量.注意到外部磁場強度與磁感應(yīng)強度B成線性比例關(guān)系，即

其中B0和ω分別為外部磁感應(yīng)強度的幅值和磁場頻率，μ為磁導(dǎo)率.由于貼或鍍在彈性薄板的超磁材料在可變外磁場作用下出現(xiàn)伸縮現(xiàn)象，其對該板的作用可以歸結(jié)為一種剪切力分布，最終可化為一種彎矩分布如下：

其中A為矩形魚尾區(qū)域面積，E2為超磁材料的彈性模量.由式（4）可注意到超磁貼層厚度直接影響彎矩分布.根據(jù)真實魚類肌肉分布特點，以超磁線性分布作為一階近似模擬，ξ（x）＝－ξ0（1－x/L）－h(huán)/2，這里ξ0為一個常數(shù).彎矩分布可以表示為 關(guān) 于x的 二 次 函 數(shù)， 即

1.2 魚尾擺動力學機理

魚尾由合金板和超磁致伸縮材料組成的夾層薄板構(gòu)成，是該機器魚的超磁動力驅(qū)動器（GMMA）.為揭示其主要力學行為，忽略超磁致伸縮材料層（ξ（x）h）對該結(jié)構(gòu)彎曲剛度的影響，將驅(qū)動魚尾簡化成一個懸臂梁模型，如圖1所示.根據(jù)微元分析，該模型的振動控制方程可以表示為

其中ρ為合金材料密度，轉(zhuǎn)動慣性矩J＝bh3/12.在力學模型簡化過程中，假定魚尾沒有扭轉(zhuǎn)變形，并且魚尾擺動所受的液體阻力近似與其在流場中產(chǎn)生的阻力相等[12、13].根據(jù) Gerhart等[14]在低雷諾數(shù)情況下給出的阻力Fd＝αv∞L（其中α為常數(shù)，v∞為無窮遠來流速度，L為特征長度），當魚尾擺動時，其微元上產(chǎn)生的阻力為

其 中v∞＝w（x，t）/t，C為 阻 尼 系 數(shù)，C＝μ0π2L/2[ln（2L/b）－0.5＋ln 2]，μ0為液體粘性系數(shù).

依據(jù)方程（4）～（6），可以得到魚尾擺動的控制方程：

其中γ＝－E1bd B0（ξ0/L）2.模型所對應(yīng)的邊界條件可以寫成

2 控制方程的求解

求解控制方程（7），采用分離變量方法，即

將式（9）代入式（7），則控制方程可以分離成兩個獨立的常微分方程組[15].

2.1 系統(tǒng)的固有頻率[15]

無阻尼系統(tǒng)的自由振動第j階固有頻率可以表示為

相應(yīng)的振型函數(shù)可以表示為

其中k1＝ 1.875/L；k2＝ 4.694/L；kj＝ （2j－1）π/2L，j≥3.

2.2 控制方程求解

依據(jù)振型函數(shù)的正交性，將控制方程乘以Yj（x），并沿梁長方向積分，則式（12）有如下形式：

通過簡化，固有頻率式（14）與式（10）是一致的.將控制方程（13）進一步簡化，得

在討論機器魚穩(wěn)態(tài)游動時，控制方程（15）的穩(wěn)態(tài)通解為

從式（9）、（11）和（16）可以得到魚尾擺動的橫向位移函數(shù)表達式.在此若為數(shù)值計算不妨取n階振型疊加，即

2.3 魚尾擺動驅(qū)動力

魚尾在可變外磁場控制驅(qū)動下，產(chǎn)生相應(yīng)的擺動，對應(yīng)的魚尾擺動橫向位移函數(shù)隨魚尾軸向位置和時間的變化而變化.在一個外部磁場變化周期內(nèi)，魚尾擺動時，其軸向每個微元所受的液體阻力為

因而在一個外部磁場變化周期內(nèi)，魚尾擺動產(chǎn)生的平均驅(qū)動力可以寫成如下形式：

其中Tω＝2π/ω，是外部磁場變化的一個周期.應(yīng)該指出，機器魚魚尾擺動引起的流場對該魚是有影響的.根據(jù)文獻[12、13]對振動板附近的流場分析、數(shù)值模擬和實驗的研究結(jié)果，阻尼系數(shù)隨振動的最大幅值w0降低，此時阻尼系數(shù)Cw＝C（1－χw0/L），χ是由實驗等確定的參數(shù).因此在計算式（19）時，應(yīng)該用Cw代替C，這樣計算是一個迭代的過程.

2.4 機器魚游動速度

考慮機器魚在魚尾擺動向前游動中，其質(zhì)心在x方向的位移和速度分別為u和v，v＝u，其運動方程可表示為

其中m為魚體質(zhì)量，Cr為x方向的阻尼系數(shù).討論機器魚穩(wěn)態(tài)游動，方程（20）的穩(wěn)態(tài)解，即速度表達式可被解出：

3 數(shù)值結(jié)果與分析

為了定性和定量地研究該問題，在這里給出一個具體的數(shù)值算例，參數(shù)選擇如下：ξ0＝1.0×10－5m，b＝1.0×10－2m，h＝1.0×10－4m.魚尾擺動的液體媒介為甘油，它的動力粘性系數(shù)μ0＝1.494 Pa·s.合金薄板采用鋁合金材料（E＝7.0×1010Pa，ρ＝2.6×103kg/m3），超磁致伸縮材料[11]選擇 TbFe2（E1＝9.4×1010Pa，d＝3.77×10－6m/A，B0＝10 T）.采用文獻[12、13]的結(jié)果，取參數(shù)χ＝1.2.魚尾長度是一個重要的幾何參數(shù)，它也直接影響系統(tǒng)的固有頻率.而外磁場頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時會有特殊的現(xiàn)象.外磁場頻率為系統(tǒng)的固有頻率時，魚尾長度與平均驅(qū)動力的關(guān)系如圖2所示.圖中Fn（n＝1，2，…，5）曲線代表外磁場頻率為系統(tǒng)的n階固有頻率時的情況.從圖中可以看出，魚尾較長時平均驅(qū)動力則相當?shù)男?當魚尾長度選擇0.22 m時，一階固有頻率響應(yīng)的平均驅(qū)動力最大為0.15×10－6N；二階固有頻率響應(yīng)的最佳長度為0.09 m，此時平均驅(qū)動力最大為1.53×10－6N；三階固有頻率響應(yīng)的最佳長度為0.11 m，此時平均驅(qū)動力最大為0.28×10－6N；四階與五階固有頻率響應(yīng)的最佳長度分別為0.13 m和0.14 m，對應(yīng)的平均最大驅(qū)動力分別為0.61×10－6N和0.25×10－6N.從圖中還可以看出在限制魚尾不太長的情況下，二階固有頻率響應(yīng)的最佳長度對應(yīng)的最大驅(qū)動力比其他的幾個都大.也說明在一般情況下外磁場頻率調(diào)整為系統(tǒng)的二階固有頻率會達到最佳效果.此外，對于不同的魚尾長度存在一個最佳的外磁場頻率，在此外磁場頻率激勵下平均驅(qū)動力最大.

圖2 魚尾長度與平均驅(qū)動力關(guān)系Fig.2 Relations between lengths of the fishtail and average propulsions

圖3顯示出在給定的魚尾長度下外磁場頻率與平均驅(qū)動力的關(guān)系曲線.圖3（a）中5個固有頻率分 別 為ω1＝65 Hz，ω2＝407 Hz，ω3＝1141 Hz，ω4＝2236 Hz，ω5＝3696 Hz.圖3（b）中5個固有頻率分別為ω1＝13 Hz，ω2＝83 Hz，ω3＝231 Hz，ω4＝453 Hz，ω5＝748 Hz.從該圖可以看出當外界磁場頻率接近系統(tǒng)固有頻率時，平均驅(qū)動力會出現(xiàn)一個峰值.說明在控制機器魚游動時應(yīng)選取接近系統(tǒng)固有頻率的外界磁場頻率.圖3（a）顯示二階固有頻率響應(yīng)的平均驅(qū)動力比其他幾階情況都大.并且外界磁場頻率為偶數(shù)階固有頻率時的平均驅(qū)動力要比相鄰奇數(shù)階情況要大，這種現(xiàn)象與魚尾擺動的模態(tài)（振型）有關(guān).然而并非所有情況都是如此，圖3（b）就給出了不同的結(jié)果和現(xiàn)象.由于魚尾相對長一些，此時四階固有頻率響應(yīng)的平均驅(qū)動力相對最大.但從平均驅(qū)動力的數(shù)值上看其最大值要比圖3（a）最大值小得多.因此圖2討論的最佳魚尾長度在機器魚的設(shè)計中有著重要意義.

圖3 外磁場頻率與平均驅(qū)動力關(guān)系Fig.3 The relationship between the average propulsion and the frequency of the external magnetic fields

圖3（a）、（b）中的第二階和第四階固有頻率響應(yīng)的平均驅(qū)動力是特殊的和關(guān)鍵的點.考察其對應(yīng)的魚尾擺動振型（模態(tài)）是必要的.圖4中W為量綱一位移，圖4（a）、（c）給出L＝0.09 m時外界磁場分別在第二階和第四階固有頻率激勵下一個周期內(nèi)的魚尾擺動振型.圖4（b）、（d）給出L＝0.20 m時相應(yīng)的情況.從圖4（a）、（c）的比較可以看出，隨著固有頻率階數(shù)的增加對應(yīng)的振型波數(shù)也增加.比較圖4（c）、（d），同樣都是第四階固有頻率的激勵，但振動模態(tài)差異很大.在擺動過程中，圖4（d）的振型明顯有一個向后傳播的波，而圖4（c）的振型接近于駐波.正是向后傳播的波才使得機器魚向前游動.圖4（a）、（b）也有類似現(xiàn)象.圖4（a）的魚尾擺動模態(tài)與自然界魚類巡游模式[16]有同樣的規(guī)律.

圖4 在外界磁場激勵下魚尾模態(tài)Fig.4 The modals of the fishtail under the external magnetic fields

為了說明圖2中所得到的最佳魚尾長度，以L為0.07、0.09和0.11 m 為例，在外磁場0～1000 Hz頻率段比較和分析其平均驅(qū)動力特點，從圖5不難看出它們的最大峰值均對應(yīng)其第二階固有頻率（674、407、273 Hz）.比較它們峰值處的平均驅(qū)動力數(shù)值大小，知L＝0.09 m的魚尾驅(qū)動力最大.這就說明了比其長或短的魚尾都不能達到最好的游動效果，再次驗證了圖2中存在最佳魚尾長度的結(jié)論.對圖2中的其他情況計算有類似的規(guī)律和結(jié)論.

圖5 不同魚尾長度對應(yīng)的平均驅(qū)動力比較Fig.5 Comparison of average propulsions for different lengths of the fishtail

在機器魚穩(wěn)態(tài)游動中，其尾呈周期性擺動.在這一個周期內(nèi)，魚體游動速度是不均勻的并有獨特的規(guī)律.為說明這種規(guī)律，不妨選取參數(shù)m/Cr＝4×10－6s和C/Cr＝10－2.由式（21）可得到速度分布.圖3的結(jié)果表明對于不同的魚尾長度存在一個最佳的外磁場頻率ωopt，在此外磁場頻率激勵下平均驅(qū)動力最大.選取魚尾長度L為0.05、0.10、0.20和0.30 m，圖6（a）給出了其速度分布.從圖中可以看出，魚尾較長時，雖速度分布比較均勻但平均速度較?。霍~尾較短時，幅值較大，快慢不均勻，甚至會出現(xiàn)反向的速度（L＝0.05 m）.綜合評價，魚尾長度為0.10 m 的情況相對理想，其平均速度最大.由此可知魚尾過長和過短都不利于機器魚的游動.事實上L＝0.10 m的魚尾比較接近圖2中的最佳魚尾長度0.09 m.所以在機器魚的設(shè)計中，魚尾長度是首要問題.當給定了魚尾長度，外磁場頻率也會對一個周期內(nèi)的速度分布有一定的影響.對照圖3（a），取魚尾長度為0.09 m，考慮圖3（a）峰值情況，即特別考慮外磁場頻率為固有頻率時的特點.圖6（b）給出了外磁場頻率為前5個固有頻率時的速度分布.結(jié)果表明對應(yīng)于高階固有頻率響應(yīng)的速度分布幅值較小，魚尾游動較均勻，當然平均速度也?。欢鴮?yīng)于低階固有頻率響應(yīng)的速度幅值較大.從圖6（b）還可以看到外磁場在奇數(shù)階（第一、第三和第五階）固有頻率激勵下的速度分布中存在反向的速度，這是由對應(yīng)的振型特征所決定的；外磁場在偶數(shù)階（第二和第四）固有頻率激勵下的速度分布中就不存在反向速度問題.因此，在機器魚的設(shè)計和控制中應(yīng)該特別關(guān)注這個問題.

圖6 機器魚穩(wěn)態(tài)游動中的速度分布Fig.6 The velocity distribution in the steady swimming of the robot fish

這里應(yīng)該指出，在討論中薄板（魚尾）的寬度和厚度等是給定的參數(shù)，因而最佳的魚尾長度0.09 m是被計算得到的.若這些參數(shù)被調(diào)整小一些，則可得到對應(yīng)的最佳魚尾長度.這樣可以同樣設(shè)計出小型或微型的超磁機器魚.

4 結(jié) 論

通過外磁場控制超磁機器魚的游動是可行的.此設(shè)計思想避免了攜帶動力系統(tǒng)，可以實現(xiàn)機器魚的微型化.在外磁場作用下，機器魚魚尾被激勵和擺動.魚尾的擺動模態(tài)可以通過調(diào)節(jié)外部磁場頻率來控制.當外磁場頻率接近魚尾系統(tǒng)固有頻率時，魚尾擺動的模態(tài)與系統(tǒng)該階固有頻率對應(yīng)的模態(tài)一致，同時所產(chǎn)生的驅(qū)動力達到一個較大的峰值.因此，可以通過調(diào)整外磁場頻率達到超磁機器魚游動控制的目的.數(shù)值結(jié)果表明一般情況下系統(tǒng)的二階固有頻率的響應(yīng)（魚尾擺動模態(tài)）有最佳的工作效率.同時魚尾長度對機器魚的游動也有較大的影響.在魚尾長度增加時，最佳的工作效率會出現(xiàn)在高階的固有頻率響應(yīng)上.結(jié)果說明了各階擺動模態(tài)都存在一個最佳魚尾長度.這樣通過改變魚尾的長度，也可以調(diào)整機器魚游動的姿態(tài)，以適應(yīng)具體環(huán)境.機器魚在穩(wěn)態(tài)游動時，平均游動速度與平均驅(qū)動力成線性比例關(guān)系.本文研究結(jié)果和結(jié)論可為設(shè)計同類特種機器人提供借鑒.

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