張艷林 張義民 金雅娟 張艷芳

1.東北大學(xué)，沈陽，110004 2.防災(zāi)科技學(xué)院，三河，065201

0 引言

由于絕大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)的破壞形式是疲勞破壞，且破壞多由疲勞裂紋的擴(kuò)展所致，因此研究結(jié)構(gòu)疲勞破壞問題是很有意義的課題［1－4］。在實(shí)際構(gòu)件中，往往由于過載、裂紋尖端塑性區(qū)尺寸大小、裂紋尖端材料的微觀屬性等因素導(dǎo)致裂紋的分叉，而發(fā)生分叉后的裂紋擴(kuò)展行為與單一裂紋的擴(kuò)展行為是不同的，新產(chǎn)生的裂紋雖然很微小但對于原始主裂紋的擴(kuò)展有很大的影響，主要表現(xiàn)為對原始主裂紋擴(kuò)展方向及擴(kuò)展速率的影響，裂紋的分叉對主裂紋的擴(kuò)展起到抑制作用，進(jìn)而延長了裂紋擴(kuò)展壽命［5］，因此研究分叉裂紋的擴(kuò)展壽命可靠性問題具有重要的工程意義。

分叉裂紋擴(kuò)展研究通常是建立在確定性分析基礎(chǔ)上的，由于結(jié)構(gòu)尺寸、材料屬性、載荷等因素具有不可避免的隨機(jī)性，疲勞裂紋擴(kuò)展過程是一個(gè)隨機(jī)過程，因此建立在統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)上的裂紋擴(kuò)展壽命可靠性分析要比傳統(tǒng)確定性模擬給出的結(jié)果更加符合工程實(shí)際。在工程實(shí)際中，由于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的缺乏，使得一些隨機(jī)變量的具體分布形式未知，而僅僅知道它們的前幾階矩。在這種情況下，可以采用四階矩可靠性分析方法進(jìn)行近似的可靠性分析。

本文在隨機(jī)有限元法基礎(chǔ)上，結(jié)合計(jì)算可靠度的四階矩法及二維分叉裂紋擴(kuò)展分析方法、應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值計(jì)算方法，提出參數(shù)服從非正態(tài)分布時(shí)二維分叉裂紋擴(kuò)展壽命可靠度的分析方法。

1 攝動隨機(jī)有限元法

線性有限元方程為

式中，K為整體剛度矩陣；U為節(jié)點(diǎn)位移向量；P為節(jié)點(diǎn)力向量。

式中，下標(biāo)d表示隨機(jī)變量（向量）的均值。

將式（3）代入式（1）中并展開，比較ε的同次冪系數(shù)，略去高次冪系數(shù)，經(jīng)過化簡后可得方程：

由式（4）可求出?U／?Xi。

進(jìn)一步可求得位移U的均值、方差（協(xié)方差）、三階矩、四階矩：

式中，（·）［k］＝ （·）［k－1］? （·）＝ （·）? （·）? … ? （·），為（·）的Kronecker冪，符號?表示Kronecker積，定義為（A）p×q?（B）s×t＝［aijB］ps×qt；Var（X）、C3（X）、C4（X）分別為基本隨機(jī)參數(shù)X的方差（協(xié)方差）、三階矩、四階矩矢量。

2 四階矩可靠性設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)可靠度是計(jì)算聯(lián)合概率密度函數(shù)fx（X）在區(qū)域g（X）＞0內(nèi)的多維積分：

其中，g（X）為狀態(tài)函數(shù)，可表示零件的兩種狀態(tài)：

4.水質(zhì)管理 進(jìn)入6月后，逐漸將水位提高至1m。定期使用二氧化氯對水體進(jìn)行消毒，兩天后使用解毒活水寶改良水質(zhì)。隔一天后使用生物肥，用量為4kg/畝，至體長5cm以后停止使用。每10～15天用生石灰化漿潑灑一次，提高水體鈣含量，促進(jìn)蛻殼，用量為每畝每米水深5kg。養(yǎng)殖期間適時(shí)開啟增氧機(jī)，保證水體溶氧豐富。每15～20天左右使用微生物制劑一次。整個(gè)養(yǎng)殖期間保持水質(zhì)清新，透明度保持在40～50cm。

設(shè)狀態(tài)函數(shù)g的前四階矩分別為：均值μg、σg、α3g、α4g。

四階矩可靠性指標(biāo)定義為［7］

式中，βSM為二階矩可靠性指標(biāo)，定義為βSM＝μg／σg。

失效概率為

式中，Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

采用四階矩可靠性分析，可以避免對基本變量分布類型的依賴，與一次二階矩可靠性分析相比，可以求出更加精確的解。裂紋擴(kuò)展問題中，結(jié)構(gòu)材料常數(shù)、裂紋擴(kuò)展率常數(shù)、應(yīng)力強(qiáng)度因子等參數(shù)往往無法知道其分布類型，但對于其前幾階矩統(tǒng)計(jì)特性有時(shí)可以通過少量樣本獲得，因此可以采用四階矩法進(jìn)行可靠性近似分析。

3 應(yīng)力強(qiáng)度因子求解

在裂紋尖端處采用具有1／4節(jié)點(diǎn)的奇異單元，其他部分采用8節(jié)點(diǎn)常規(guī)等參元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，圖1顯示了裂紋尖端奇異單元及裂尖處局部坐標(biāo)。

圖1 裂紋尖端奇異單元及局部坐標(biāo)

應(yīng)力強(qiáng)度因子可采用式（9）、式（10）計(jì)算［8］：

式中，KⅠ、KⅡ分別為Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。

其中，當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力時(shí)，k＝（3－μ）／（1＋μ）；當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)變時(shí)，k＝3－4μ；G為材料的剪切模量；μ為材料的泊松比；L為裂尖處奇異單元的長度；ui、vi分別為節(jié)點(diǎn)i沿x方向、y方向的位移。

由于結(jié)構(gòu)的材料特性、載荷都是隨機(jī)變量，因此位移也是隨機(jī)量，因此等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Keq也是隨機(jī)變量，其前四階矩統(tǒng)計(jì)特性為

由最大周向應(yīng)力理論確定裂紋擴(kuò)展角，等效應(yīng)力強(qiáng)度因子 Keq為［9］

裂紋擴(kuò)展角θ為

4 擴(kuò)展壽命的可靠性分析

采用修正的Paris－Erdogan公式［10］，計(jì)算分叉裂紋擴(kuò)展壽命：

式中，a0、ac分別為裂紋初始長度和裂紋最終長度；C、m為裂紋擴(kuò)展率常數(shù)；ΔKth為應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍門檻值；ΔKeq為等效應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍分別為裂紋擴(kuò)展段中的最大和最小等效應(yīng)力強(qiáng)度因子。

將裂紋擴(kuò)展過程離散成s個(gè)裂紋擴(kuò)展段，則式（14）可寫成如下的分段形式：

式中，ai為第i段裂紋擴(kuò)展長度；ΔKeqi、Ni分別為與ai相對應(yīng)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍和裂紋擴(kuò)展壽命。

長短裂紋對應(yīng)的擴(kuò)展長度為

式中，Δc、Δb、ΔKc、ΔKb分別為每個(gè)擴(kuò)展段長短裂紋對應(yīng)的擴(kuò)展長度及其對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍。

疲勞擴(kuò)展壽命可靠性分析的功能函數(shù)為

式中，Nc為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)壽命。

裂紋總的擴(kuò)展壽命等于每段擴(kuò)展壽命之和：

要使用第2節(jié)中方法進(jìn)行裂紋擴(kuò)展壽命可靠性分析，需要已知g的前四階矩統(tǒng)計(jì)特性。首先要求出Ni（i＝1，2，…s）的前四階矩，由式（19）可知，Ni是ai、C、m、ΔKeqi的函數(shù)，其前四階矩為

疲勞裂紋擴(kuò)展壽命可靠度的具體計(jì)算步驟如下：①采用隨機(jī)有限元法，由式（4）計(jì)算位移對基本隨機(jī)參數(shù)（載荷、材料特性）的偏導(dǎo)數(shù)，通過式（5）算出位移的前四階矩；② 通過式（11）計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子Keq的前四階矩統(tǒng)計(jì)特性；③應(yīng)用式（20）計(jì)算Ni的前四階矩，進(jìn)而求出功能函數(shù)g的前四階矩；④采用第2節(jié)所述的四階矩可靠性設(shè)計(jì)方法計(jì)算疲勞裂紋擴(kuò)展壽命可靠度。

5 數(shù)值算例

如圖2所示有一長方形板，板的一側(cè)有已發(fā)生分叉的斜裂紋，兩裂紋的夾角為90°，板的上下兩邊受均布力作用，板的各個(gè)參數(shù)及其統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、三階矩、四階矩）如下［10-11］：長度L＝80mm，寬度b＝30mm，泊松比μ＝0.3；初始斜 裂 紋 長 度a0＝（3 ±0.05）mm，最 終 裂 紋 長 度ac＝（8±0.05）mm，彈性模量E的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（205 000，2050，2.6 × 108，5.3×1013）MPa，載荷σmax的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、 三 階 矩、 四 階 矩 ） 為 （60，1.8，0.525，31.6441）MPa，σmin的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（30，0.9，0.0656，1.9778）MPa，裂紋擴(kuò)展率參數(shù)C的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（9×10－11，0.45×10－11），m的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（2.2，0.11，2×10－4，4.5×10－4），應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值Kth的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（35，0.7，0.0206，0.7218）

圖2 兩邊受拉伸的分叉斜裂紋板

圖3為裂紋尖端網(wǎng)格的劃分圖。圖4為裂紋擴(kuò)展壽命隨裂紋擴(kuò)展長度的變化規(guī)律圖，圖5為裂紋擴(kuò)展壽命可靠度隨設(shè)計(jì)壽命變化的曲線圖。

圖3 整體網(wǎng)格圖與裂紋處網(wǎng)格放大圖

圖4 疲勞壽命隨裂紋擴(kuò)展長度的變化趨勢

圖5 可靠度隨設(shè)計(jì)壽命的變化趨勢

6 結(jié)論

基于隨機(jī)有限元法、四階矩可靠性分析方法、分叉裂紋擴(kuò)展方法、應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值算法，提出了隨機(jī)參數(shù)服從任意分布時(shí)的二維分叉裂紋擴(kuò)展壽命的可靠性分析方法。從結(jié)果可以看出，隨著裂紋的擴(kuò)展，裂紋板的剩余強(qiáng)度（剩余壽命）逐漸減小，壽命可靠度不斷降低。對分叉主裂紋及無分叉單一主裂紋擴(kuò)展行為進(jìn)行對比，當(dāng)裂紋擴(kuò)展長度相同時(shí)，發(fā)生分叉的裂紋擴(kuò)展壽命要比原始裂紋的擴(kuò)展壽命長，說明分叉裂紋對主裂紋擴(kuò)展有限制作用，與相關(guān)文獻(xiàn)得出的結(jié)論一致。新方法對具有二維分叉裂紋工程板結(jié)構(gòu)的疲勞破壞的評定、設(shè)備的檢修有一定指導(dǎo)意義。

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