吳 濤,王世芳

(1.武漢工程大學(xué)理學(xué)院,湖北 武漢 430074;2.湖北第二師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,湖北 武漢 430205)

0 引 言

在大學(xué)物理中,一般只介紹了均勻帶電圓環(huán)軸線上任意點(diǎn)的電勢(shì)以及均勻帶電圓盤(pán)軸線上任意點(diǎn)的電勢(shì),這些都是屬于比較規(guī)則的帶電體,計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單[1-5];至于均勻帶電圓錐面軸線上任意點(diǎn)電勢(shì),由于計(jì)算過(guò)程繁瑣,很少有文獻(xiàn)討論過(guò).本文從電勢(shì)疊加原理出發(fā),采用點(diǎn)電荷直接積分法與圓環(huán)帶微元積分法,利用數(shù)學(xué)軟件Maple13[6-7]計(jì)算了均勻帶電圓錐面軸線上任意一點(diǎn)電勢(shì)大小,并對(duì)結(jié)果做了相應(yīng)的分析和討論.

1 均勻帶電圓錐面軸線上電勢(shì)的分布

1.1 點(diǎn)電荷直接積分法

底面半徑和高均為h、面電荷密度為σ的均勻帶電圓錐面,以錐頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖1所示的坐標(biāo)系.由于電荷均勻分布在圓錐的表面上,為了計(jì)算的方便,采用球坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算.

圖1 均勻帶電的圓錐面

根據(jù)球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

r=xi+yj+zk=

rsinθcosφi+rsinθsinφj+rcosθk

則場(chǎng)點(diǎn)P的位矢r1為

r1=zk

在圓錐表面上任取一面積元,并設(shè)源點(diǎn)S的位矢r2為

r2=r2sinθcosφ2i+r2sinθsinφ2j+r2cosθk

源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)之間的矢量r12為:

r12=r1-r2=-r2sinθcosφ2i-

r2sinθsinφ2j+(z-r2cosθ)k

(1)

由于錐底面半徑等于錐高,故θ=π/4,錐面上任意一小面積元面積dA為:

dA=r2sinθdr2dφ2

(2)

面積元dA在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)dU為:

(3)

將(1)、(2)式代入(3),并兩邊積分,得到:

上式為二重積分,雖然手工可以計(jì)算出結(jié)果,但是計(jì)算復(fù)雜,費(fèi)時(shí)費(fèi)力,而且容易出錯(cuò),利用Maple數(shù)學(xué)軟件計(jì)算,不僅計(jì)算速度快,而且準(zhǔn)確,整理Maple的輸出結(jié)果,圓錐面軸線上任意點(diǎn)的電勢(shì)為:

(4)

為了考察圓錐體軸線上的電勢(shì)分布,假設(shè)圓錐體的高h(yuǎn)=1,根據(jù)(4)式畫(huà)出圓錐軸線上的電勢(shì)分布,如圖2所示.從圖2可以看出,在z的正半軸,電勢(shì)是先增大后逐漸減小,當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P離帶電體很遠(yuǎn)時(shí)(譬如z=30?h)電勢(shì)U→0,這是符合物理規(guī)律的,因?yàn)閷?duì)于電荷分布在有限區(qū)域的帶電體,一般取無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零電勢(shì).另外從圖2中,也可以看出在圓錐內(nèi)部軸線某處(本例中z=0.804),電勢(shì)將達(dá)到最大值.

圖2 均勻帶電的圓錐面軸線上電勢(shì)的分布

具體程序如下:

> with(LinearAlgebra):

> assume(r2>0,phi2,real,z>0,h>0);

> alpha:=Pi/4;

> x2:=r2*sin(alpha)*cos(phi2);y2:=r2*sin(alpha)*sin(phi2):

> z2:=r2*cos(alpha):

> r2vec:=:

> r1:=<0|0|z>;

> r12vec:=r1-r2vec;

> r12:=Norm(r12vec,2):

> r12:=simplify(r12);

> U:=1/(4*Pi*epsilon[0])*int(int(sigma*r2*sin(alpha)/r12,phi2=0..2*Pi),

r2=0..h/sin(alpha));

> U:=simplify(U);

> U:=simplify(U,{h=1,sigma=4*epsilon[0]});

> plot(U,z=0..20);

1.2 圓環(huán)帶微元積分法

根據(jù)電勢(shì)疊加原理,整個(gè)圓錐面在P點(diǎn)激發(fā)的電勢(shì)為:

(5)

圖3 帶電圓環(huán)帶微元積分法示意圖

式(5)同樣可以采用maple軟件計(jì)算得出,程序如下:

> with(LinearAlgebra):

> assume(y>0,h>0,z>0);

> U:= simplify(2*Pi*sigma/(4*Pi*epsilon[0])*int(sqrt(2)*y/sqrt((y^2+(z-y)^2)),y=0..h));

從式(4)和式(5)可以看出點(diǎn)電荷直接積分法與圓環(huán)帶微元積分法計(jì)算結(jié)果完全相同.

2 結(jié)果分析

a. 圓錐頂點(diǎn)O的電勢(shì).將z=0代入(4)式,得到頂點(diǎn)電勢(shì)為

b. 圓錐底面中心的電勢(shì).將z=h代入(4),計(jì)算出圓錐底面中心的電勢(shì)為

圓錐底面中心與頂點(diǎn)電勢(shì)之差為

3 結(jié) 語(yǔ)

采用點(diǎn)電荷直接積分法與圓環(huán)帶微元積分法,利用數(shù)學(xué)軟件Maple計(jì)算出了均勻帶電圓錐面軸線上電勢(shì)的解析表達(dá)式,通過(guò)Maple作圖看出圓錐軸線上電勢(shì)的大小是先增加后逐漸減小到零,并在圓錐內(nèi)部存在一個(gè)電勢(shì)最高的點(diǎn).軸線外任意一點(diǎn)的電勢(shì)的計(jì)算可以采用橢圓積分或多級(jí)展開(kāi)等方法,將另文討論.結(jié)果表明利用該軟件計(jì)算復(fù)雜物理問(wèn)題時(shí)Maple具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)——計(jì)算速度快,效率高,準(zhǔn)確無(wú)誤,尤其適合物理教學(xué);這種方法對(duì)于提高教師教學(xué)水平,提高學(xué)生學(xué)習(xí)物理興趣有極大促進(jìn)的作用.

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