胡俊娟

(浙江科技學院 理學院,杭州 310023)

具有GARCH-error類的單位根過程對常規(guī)ADF檢驗臨界值的影響程度如何,是進行ADF檢驗時需要認真分析的問題,因而備受關注[1-3]。由于GARCH族模型中,較多的金融數(shù)據(jù)中存在波動的杠桿效應和滯后系數(shù)對波動的影響,但EGARCH模型能較好地描述金融時間序列[4-6],因而EGARCH-error的單位根檢驗值得關注。王淑良[3]只給出了臨界值與標準ADF臨界值的比較,沒有給出其實際扭曲水平和勢及相應2個統(tǒng)計量對比。金融時間序列建模分析中,序列的ADF檢驗其理論基礎建立在泛函中心極限定理上。泛函中心極限定理是討論隨機過程極限分布的基礎,主要用于說明時間序列中誤差項的收斂情況。

1 泛函中心極限定理

這里引入泛函中心極限定理[7]:設{μt}是一平穩(wěn)序列,表示為無窮階的MA序列為:

其中 εt～ i.i.d.(0,σ2),t=1,2,…,σ2＜ ∞,且滿足構造前[r T]部分樣本做統(tǒng)計量:

下面不妨討論{μt}為AR序列的情況,統(tǒng)計量的分布見定理1。發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計量的分布并未改變,所以可以用檢驗統(tǒng)計量tρ＾和t(ρ＾)來分析有限項AR類的ADF單位根檢驗問題。

若用T×(ρ＾-1)除以1-φ1=B(1),就獲得具有通常Dickey-Fuller估計量分布的檢驗統(tǒng)計量tρ＾。這樣,關于ADF的t檢驗統(tǒng)計量t(ρ＾)并不需要任何調(diào)整。

考慮滯后階數(shù)為p,(p＞1)的情況:

假設{y t}為只含有一個單位根的序列,則{Δyt}為一平穩(wěn)序列。

所以,若用T×(ρ＾-1)除以1-φ1-φ2-…φp=D(1),就獲得具有通常Dickey-Fuller估計量分布的檢驗統(tǒng)計量tρ＾,而關于ADF的t-檢驗統(tǒng)計量t(ρ＾)并不需要任何調(diào)整。

2 EGARCH條件下的單位根檢驗

為了擴大EGARCH模型的應用,Nelson提出隨機擾動et服從零均值和單位方差的廣義誤差分布,其密度函數(shù):

當c=2,λ=1時,et服從標準正態(tài)分布。當0＜c＜2,其密度函數(shù)比正態(tài)分布有更厚的尾部,其峰態(tài)系數(shù)大于3;而當c＞0,其密度函數(shù)比正態(tài)分布有更薄的尾部,GED分布的優(yōu)點在于,在密度函數(shù)中加入尾部厚度指標c,以便研究密度函數(shù)相似尾部厚薄不同的一族分布,從而便于對厚尾特征不同的金融數(shù)據(jù)進行細化研究。

考慮AR(1)-EGARCH(1,1)-norm模型:

考慮數(shù)據(jù)生成過程:y t=yt-1+εt,且εt=etσt

對該數(shù)據(jù)生成過程分別產(chǎn)生樣本量為25,50,100,250,500,1 000的數(shù)據(jù),重復次數(shù)為2萬次,根據(jù)產(chǎn)生的{y t}序列運用加權最小二乘估計法計算t(ρ＾),tρ＾統(tǒng)計量的值。

表1給出了上述模型對于不同參數(shù)向量的t(ρ＾),tρ＾統(tǒng)計量的臨界值。為方便記w1:α0=0,θ=0.2,γ=0.1,β1=0.8;w2:α0=0,θ=-0.2,γ=0.1,β1=0.8;w3:α0=0,θ=0.2,γ=0.2,β1=0.8;w4:α0=0,θ=0.2,γ=0.1,β1=0.7 。

表1 對應w1～w4統(tǒng)計量的t(ρ＾),tρ＾臨界值表Table1 Critical values simulation of statistics t(ρ＾)and tρ＾correspond to w1～w4

從表1中可以看出,參數(shù)的改變并不會對統(tǒng)計量產(chǎn)生較大影響。與標準的ADF單位根檢驗統(tǒng)計量的分位數(shù)相比較,對具有AR(1)-EGARCH(1,1)正態(tài)誤差項的時間序列,對于t(ρ＾)統(tǒng)計量,其不同情形下臨界值波動較小,與標準的ADF單位根檢驗的分位數(shù)差異均在容許范圍,因而對于各類情況,可以參考使用ADF檢驗臨界值表。但對tρ＾統(tǒng)計量,其分位數(shù)在不同的參數(shù)設定條件下,相對于標準ADF單位根檢驗的臨界值有較大的偏離,且波動幅度較大。由此所得的提示是,在多數(shù)情形下,金融時序數(shù)據(jù)的單位根檢驗應當謹慎使用ADF檢驗臨界值表。為了比較運用這兩個統(tǒng)計量的效果,不妨以標準ADF臨界值作為基準分數(shù)線,重復模擬為2萬次,找出相應的實際顯著性水平,以此來考察標準ADF臨界值的有效性。

表2給出了實際顯著性水平扭曲的結果,發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計量t(ρ＾)對應的顯著水平與給定的顯著性水平較吻合,其不同情形下波動較小,因而對于各類情況,運用統(tǒng)計量t(ρ＾)進行推斷,可以直接使用ADF檢驗臨界值表。而tρ＾在不同的參數(shù)設定條件下,相對于給定的顯著性水平有較大的偏離,且波動幅度較大;特別是樣本容量為1 000時,這種現(xiàn)象更為突出。在多數(shù)情形下,金融時序數(shù)據(jù)的單位根檢驗應當謹慎使用ADF檢驗中tρ＾的臨界值表。從獲得的實際顯著水平扭曲結果來看,統(tǒng)計量tρ＾過度拒絕了單位根過程。在不知道序列是否異方差的條件下,選擇t(ρ＾)統(tǒng)計量比選擇tρ＾來進行單位根檢驗更好。

表2 實際顯著水平扭曲隨機模擬Table 2 Simulation of actual distortion level

為了進一步考證檢驗這兩個統(tǒng)計量的特性,對于y t=ρy t-1+εt,考察名義水平為0.05時得到的勢(表3),可以看出,相對而言當ρ遠離1時,t(ρ＾)和tρ＾有較高的勢。當ρ→1時,得到的勢較低。

表3 勢(名義檢驗水平為0.05,樣本量為250)Table 3 Power(nominal test level is 0.05,sample size is 250)

1)φj=0(j=1,…k);

2)φ1=0.6,φj=0(j=2,…,k);

3)φ1=-0.6,φj=0(j=2,…,k);

4)φ1=0.4,φ2=0.2,φj=0(j=3,…,k)。

從表4中可以看出,不同的滯后階數(shù)對統(tǒng)計量有一定的影響,用檢驗統(tǒng)計量t(ρ＾)比用tρ＾的穩(wěn)健性更好。特別當顯著性水平較大時,t(ρ＾)統(tǒng)計量的變動較小而且與參考的ADF臨界值接近。

表4 統(tǒng)計量的臨界值表Table 4 Critical value of statistics

3 結 語

在泛函中心極限定理基礎上,給出了帶有滯后階序列的檢驗統(tǒng)計量的極限分布及其證明,發(fā)現(xiàn)對于單整序列無論帶有AR類序列還是MA類序列滯后項,都可以采用統(tǒng)計量tρ＾和t(ρ＾)進行單位根檢驗。

由于異方差時間序列EGARCH過程能較好地描述大量金融時間序列,從隨機模擬的角度分析了在有限樣本情況下具有EGARCH-norm誤差項時間序列的ADF單位根檢驗問題,從中得到了如下結論:

1)在不同的情形下(包括模型不同的系數(shù)、不同的顯著水平,帶有不同的AR類滯后階數(shù)等),常用的檢驗統(tǒng)計量有著不同的分位數(shù)水平,采用標準的單位根檢驗表必須慎重;

2)在高頻金融時間序列數(shù)據(jù)的單位根檢驗中,即使設定相同的數(shù)據(jù)生成過程,相對而言tρ＾檢驗統(tǒng)計量比t(ρ＾)不適合運用于金融時序數(shù)據(jù)的單位根檢驗。

[1] 王莉莉,彭作祥.具有GJR-GARCH誤差項時序的ADF單位根檢驗[J].西南師范大學學報:自然科學版,2005,30(6):992-996.

[2] STEVEN C.Joint maximum likelihood estimation of unit root testing equations and GARCH processes:Some finitesample issues[J].Mathematics and Computers in Simulation,2008,77(1):109-116.

[3] 王淑良.具有EGARCH-SGED誤差項的時序的單位根檢驗[J].山東理工大學學報:自然科學版,2007,21(2):56-59,63.

[4] BRANDT M W,JONES C S.Volatility Forecasting With Range-Based EGA RCH Models[J].Journal of Business&Economic Statistics,2006,24(4):470-486.

[5] 戴曉楓,肖慶憲.時間序列分析方法及人民幣匯率預測的應用研究[J].上海理工大學學報,2005,27(4):341-344.

[6] 李亞靜,朱宏泉,彭育威.基于GARCH模型族的中國股市波動性預測[J].數(shù)學的實踐與認識,2003(11):65-71.

[7] 張世英,樊智.協(xié)整理論與波動模型[M].北京:清華大學出版社,2004:20-21.

[8] DICKEY D A,FULLER M A.Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root[J].Econometrica,1981,49(4):1057-1072.

[9] BEVERIDGE S,NELSON C R.A new approach to decomposition of economic time series into permanent and transitory component with particular attention to measurement of the business cycle[J].Journal of Monetary Economics,1981(7):151-174.