張 鵬
(武漢科技大學 管理學院,武漢 430081)
假設有n種風險資產(chǎn)可供選擇,Rit表示第t期第i種風險資產(chǎn)的收益率(隨機變量),其均值rit=E(Rit),協(xié)方差矩陣為=COV(Rit,Rjt),i,j=1,2,…,n,t=1,2,…,T,Gt為半正定矩陣;rft表示第t期無風險資產(chǎn)的收益率。xit表示第期初第i種風險資產(chǎn)的投資比例,ait和vit分別表示第t期第i種風險資產(chǎn)的購買和賣出量,表示第t期第i種風險資產(chǎn)的投資比例,i=1,2,…,n。c(ait)和c(vit))分別表示第t期第i種風險資產(chǎn)購買和賣出的單位交易成本,S0和St分別表示第0期和第t期財富增加的倍數(shù)。
rpt表示第t期投資組合的期望收益率,其表達式為:
金融市場存在各種不同的摩擦,如交易成本和交易量限制等。不同的投資者在不同的環(huán)境下其交易量具有不同的限制,而且交易成本函數(shù)也具有不同的類型。本文提出具有交易成本和交易量限制的均值—動態(tài)方差多階段投資組合模型如下:
其中,S0=1,ST在終期增長財富最大值和最小值之間取值,βt(βt>0)為各期風險權重因子。狀態(tài)轉移方程可以改寫為:
在模型(4)中,第一個約束條件表示第t-1和第t期末財富變化的狀態(tài)轉移方程;第二個約束條件表示第i種資產(chǎn)的購買量不能超過其它資產(chǎn)的擁有量,即投資過程不允許買空,也就是說不能借錢購買;第三個約束條件表示第i種資產(chǎn)的不允許賣空,即借股票賣;第四個約束條件表示不允許同時購買和賣出同一資產(chǎn)。模型(4)的經(jīng)濟含義是指,在滿足上述四個約束條件的前提下,投資者應如何分配各種資產(chǎn),使投資組合的總風險最小。模型(4)中的目標函數(shù)滿足可分離性。
定理 當存在交易成本時,模型(4)的第四個約束條件是恒成立的。
證明:要使得目標函數(shù)βtft中方差ft最小,必須使得Ipt盡量小。當Ipt不變時,若ait≠0和vit≠=0時,投資組合交易成本要大于ait≠0和vit=0以及ait=0和vit≠0兩種情況,則此時的xit+ait-vit變大,即方差ft變大。因此,為了使目標函數(shù)βtft最小化,不可能出現(xiàn)ait≠0和vit≠0,即aitvit=0,也就是說模型(4)的第四個約束條件是恒成立的,可以刪除該約束條件。即,當存在交易成本時,同時買賣等量的同種產(chǎn)品不會增加收益,但會增加總的風險。
離散近似迭代法的基本步驟[6]:
(1)計算每一階段狀態(tài)變量的最大值和最小值,將狀態(tài)變量按照從小到達離散成4等份,即形成5個值。
若m為充分小的數(shù)和M為充分大的正數(shù),每階段狀態(tài)變量的最小值和最大值分別按照下面方法確定:將模型(4)第t階段優(yōu)化可以轉化為:
運用線性規(guī)劃的旋轉算法[7,8,9]可以計算出模型(6)和模型(7)的最優(yōu)解,也可以計算出相應的Ipt,即得到了Ipt的最小值bt和最大值at。則ST的最小值和最大值分別為(1+bt)和1+at)。
(2)運用不等式組的旋轉算法求出不同狀態(tài)值所對應的目標函數(shù)值,并構造多階段有向賦權圖。
(3)運用極大代數(shù)方法求出多階段有向賦權圖的最短路[10,11];若第k+1次最短路的路長F(k+1)與第k次最短路路長F(k)的差小于等于 ε(ε≤10-6),則停止迭代,此時最短路路長為 F(k+1);否則。
(4)在上述最短路的基礎上繼續(xù)迭代。將第k+1次最短路的每階段的狀態(tài)值與該階段狀態(tài)值的最小值和最大值分別等分成2等份并轉(2)。
從上證50中選擇6只權重股票,分別為S1(武鋼股份,600005)、S2(民生銀行,600016)、S3(中國聯(lián)通,600050)、S4(上海汽車,600104)、S5(中國平安 601318)、S6(方正科技,600601),以2006年4月1日至2008年9月30日每一季度末收益率為樣本數(shù)據(jù),如表1所示(數(shù)據(jù)來源于廣發(fā)證券至強版基本資料數(shù)據(jù)庫)。 假設模型(7)中的 βt=1,計算誤差 ε=10-6,買賣交易成本函數(shù)均為cit(xit)=0.008|xit|,t=1,…,3時,文中采用加權移動平均法估計6種股票未來兩階段的收益率。當ST分別在終期財富最大值和最小值之間取不同的值時,均值—動態(tài)方差三階段投資組合的最優(yōu)投資策略分別為多少?
解:采用加權移動平均法估計6種股票未來兩階段的收益率。運用不等式組的旋轉算法計算出第一階段、第二階段和第三階段投資組合凈期望收益率的最大值和最小值Ip1max=0.1510,Ip1min=0.0518,Ip2max=0.1510,Ip2min=0.0484,Ip3max=0.1505,Ip3min=0.0515,則終期財富S3的最大值和最小值分別為1.5241和 1.1595。 以下計算 S3分別為 1.1595、1.2560、1.3417、1.4328和1.5125所對應的最優(yōu)投資策略:
(1)S3=1.1595
第一階段的最優(yōu)投資策略為 a11=a21=0,a31=0.7638,a41=0.0615,a51=0,a61=0.1748,vit=0
第二階段的最優(yōu)投資策略為不進行任何買賣
第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=0,a23=0,a33=0.0020,a43=a53=a63=0,v13=v23=v33=v53=0,v43=0.008,v63=0.0013。
(2)S3=1.2560
第一階段的最優(yōu)投資策略為 a11=a21=0,a31=0.7638,a41=0.0615,a51=0,a61=0.1748,vi1=0
第二階段的最優(yōu)投資策略為不進行任何買賣
第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=0.7469,a23=0.2059,a33=a43=0,a53=0.0472,a63=0,v13=v23=0,v33=0.7658,v43=0.0607,v53=0,v63=0.1735。
表1 6種股票3年的季度收益率 (%)
(3)S3=1.3417
第一階段的最優(yōu)投資策略為a11=a21=a31=0,a41=0.5166,a51=0,a61=0.4834,vi1=0
第二階段的最優(yōu)投資策略為a12=1,a22=a32=a42=a52=a62=0,v12=v22=v62=0,v32=0.7638,v42=0.0615,v52=0.1748
第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=a33=a63=0,a23=0.3393,a43=0.1076,a53=0.270,v13=0.7339,v23=v33=v43=v53=v63=0。
(4)S3=1.4328
第一階段的最優(yōu)投資策略為a11=1,a21=a31=a41=a51=a61=0,vi1=0
第二階段的最優(yōu)投資策略為不進行任何買賣
第三階段的最優(yōu)投資策略為a13=a33=a63=0,a23=0.3891,a43=0.5255,a53=0.0814,v13=0.9961,v23=v33=v43=v53=v63=0。
(5)S5=1.5241
第一階段的最優(yōu)投資策略為a11=1,a21=a31=a41=a51=a61=0,vi1=0
第二階段的最優(yōu)投資策略為不進行任何買賣
第三階段的最優(yōu)投資策略為不進行任何買賣。
依照同樣的方法,可以很快地計算出不同ST所對應的各階段最優(yōu)投資策略。
本文綜合考慮金融市場的實際情況,提出具有交易成本和交易量限制的均值—動態(tài)方差多階段投資組合模型,并運用離散近似迭代求解,為求解多階段投資組合提出了一種新的思路。最后,以一個具體的算例驗證了算法的有效性。離散近似迭代方法較好地解決了多階段投資組合的 “維數(shù)災”問題,還有助于求解連續(xù)型動態(tài)規(guī)劃問題、隨機動態(tài)規(guī)劃問題和序貫決策問題,具有較大的應用前景。筆者認為,以下兩點值得進一步研究:(1)根據(jù)市場的實際情況,研究其它風險度量方法的多階段投資組合優(yōu)化;(2)研究終止時間不確定的多階段投資組合優(yōu)化的計算方法。
[1]Markowitz H M.Portfolio Selection[J].Journal of Finance,1952,(7).
[2]Wei Yan,Rong Miao,Shurong Li.Multi-period Semi-variance Portfolio Selection:Model and Numerical Solution[J].Applied Mathematics and Computation,2007,194.
[3]Giuseppe Carlo Calafiore.Multi-period Portfolio Optimization with Linear Control Policies[J].Automatica,2008,(44).
[4]史宇峰,張世英.動態(tài)投資組合風險控制策略[J].系統(tǒng)工程,2008,(1).
[5]史宇峰,張世英.基于時變相關系數(shù)的動態(tài)投資組合策略[J].管理科學,2008,(10).
[6]張鵬.多階段M-SV投資組合優(yōu)化的離散近似迭代法研究[J].經(jīng)濟數(shù)學,2008,(3).
[7]張鵬,張忠楨,岳超源.限制性賣空的均值-半絕對偏差投資組合模型及其旋轉算法研究[J].中國管理科學,2006,(2).
[8]張鵬,張忠楨,曾永泉.限制性賣空的均值-方差投資組合優(yōu)化[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2008,(1).
[9]張鵬.不允許賣空情況下均值-方差和均值-VaR投資組合比較研究[J].中國管理科學,2008,(4).
[10]Heidergott B,Olsder G.J.der Woude J.V.Max Plus at Work—Modeling and Analysis of Synchronized Systems:A Course on Max-Plus Algebra and Its Applications[M].New Jersey:Princeton University Press,2006.
[11]Qin Yuyuan.Optimum Path Problems in Networks[M].Wuhan:Hubei Education Press,1992.
[12]張忠楨.凸規(guī)劃-投資組合與網(wǎng)絡優(yōu)化的旋轉算法[M].武漢:武漢大學出版社,2004.